Teste nº5 – Lugares geométricos e sólidos no espaço

Como $P$ pertence ao 2.º quadrante, $a<0$ e $b>0$; logo, $-a>0$ e $-b<0$.

$(-a,-b)$ (imagem de $P$ pela meia-volta de centro $O$) tem abcissa positiva e ordenada negativa: 4.º quadrante.

$(-a,b)$ está no 1.º quadrante (reflexão de eixo $Oy$); $(a,-b)$ e $(-b,a)$ estão no 3.º quadrante.

Opção (A)

Completando os quadrados: $(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)=-k+1+4$.

$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5-k$.

Define uma circunferência se e só se $5-k>0\iff k<5$ (se $k=5$, define apenas o ponto $(1,-2)$; se $k>5$, o conjunto vazio).

Opção (C)

3.1.

$P(x,y)$ pertence à mediatriz de $[AB]$ se e só se $(x+1{)}^2+(y+2{)}^2=(x-6{)}^2+(y+1{)}^2$.

$2x+1+4y+4=-12x+36+2y+1$.

$14x+2y=32\iff y=-7x+16$.

Verificação: o ponto médio $(\frac{5}{2},-\frac{3}{2})$ satisfaz $-7\times \frac{5}{2}+16=-\frac{3}{2}$.

$y=-7x+16$

3.2.

O centro é equidistante de $A$, $B$ e $C$, logo pertence às mediatrizes de $[AB]$ e de $[BC]$.

Mediatriz de $[BC]$: $(x-6{)}^2+(y+1{)}^2=(x-5{)}^2+(y-6{)}^2\iff -12x+37+2y=-10x+61-12y\iff y=\frac{1}{7}x+\frac{12}{7}$.

Interseção com $y=-7x+16$: $-7x+16=\frac{x+12}{7}\iff -49x+112=x+12\iff x=2$, e $y=-14+16=2$.

Raio: $\overline{A{O}^{\prime }}$ com $O^{\prime }(2,2)$: $\sqrt{3^2+4^2}=5$ (e também $\sqrt{4^2+3^2}=5$ para $B$ e $\sqrt{3^2+4^2}=5$ para $C$).

Centro $(2,2)$; equação: $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=25$

3.3.

Considere-se o retângulo de lados paralelos aos eixos com vértices $(-1,-2)$, $(6,-2)$, $(6,6)$ e $(-1,6)$, que contém o triângulo ($A$ é um vértice, $B$ está no lado $x=6$ e $C$ no lado $y=6$).

Área do retângulo: $7\times 8=56$.

Triângulos retângulos a retirar: o de vértices $A$, $B$, $(6,-2)$, com catetos $7$ e $1$ (área $\frac{7}{2}$); o de vértices $B$, $C$, $(6,6)$, com catetos $1$ e $7$ (área $\frac{7}{2}$); o de vértices $C$, $A$, $(-1,6)$, com catetos $6$ e $8$ (área $24$).

Área de $[ABC]$: $56-\frac{7}{2}-\frac{7}{2}-24=25$.

A área do triângulo $[ABC]$ é $25$.

$1\le x^2+y^2\le 9$ define a coroa circular limitada pelas circunferências de centro $O$ e raios $1$ e $3$.

Área da coroa: $9\pi -\pi =8\pi$.

A condição $y\ge 0$ seleciona metade da coroa: $\frac{8\pi }{2}=4\pi$.

(A) esquece a conjunção com $y\ge 0$; (C) é a área do semicírculo de raio $3$.

Opção (D)

Os pontos equidistantes de $P_1$ e $P_2$ formam a mediatriz de $[P_1{P}_2]$: $x^2+y^2=(x-8{)}^2+(y-4{)}^2$.

$0=-16x+64-8y+16\iff 8y=-16x+80\iff y=-2x+10$.

Os pontos a $5$ metros da fonte formam a circunferência $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=25$.

Substituindo $y=-2x+10$: $(x-1{)}^2+(7-2x{)}^2=25\iff 5x^2-30x+50=25\iff x^2-6x+5=0$.

$x=1\vee x=5$, donde $y=8$ ou $y=0$, respetivamente.

Verificação: $(1,8)$ dista $\sqrt{65}$ de ambos os postes e $(5,0)$ dista $5$ de ambos.

O banco pode ser colocado em $(1,8)$ ou em $(5,0)$.

A reta $s$ tem equação reduzida $y=2x+5$, logo tem declive $2$.

Retas não verticais são paralelas se e só se têm o mesmo declive: $k^2-3=2\iff k^2=5\iff k=\pm \sqrt{5}$.

As ordenadas na origem ($1$ e $5$) são diferentes, logo as retas são estritamente paralelas.

(A) esquece a solução negativa; (C) resulta de $k^2-3=-2$ (erro de sinal); (D) não resolve $k^2=5$.

Opção (B)

Cada uma das equações $x=2$ e $z=-1$ define um plano (paralelo a $yOz$ e a $xOy$, respetivamente).

A conjunção define a interseção desses dois planos, que é uma reta.

Nessa reta, $x$ e $z$ são fixos e só $y$ varia: é paralela ao eixo $Oy$ (passa, por exemplo, em $(2,0,-1)$).

Opção (A)

8.1.

$B(4,6,0)$ e $F(4,6,3)$: a aresta é vertical, com $x=4$, $y=6$ e cota entre $0$ e $3$.

Aresta $[BF]$: $x=4\wedge y=6\wedge 0\le z\le 3$.

$O(0,0,0)$ e $C(0,6,0)$: o plano mediador é perpendicular a $[OC]$ (paralelo a $xOz$) e passa no ponto médio $(0,3,0)$.

$[BF]$: $x=4\wedge y=6\wedge 0\le z\le 3$; plano mediador de $[OC]$: $y=3$

8.2.

O centro é o centro do paralelepípedo, ponto médio da diagonal $[OF]$: $(2,3,\frac{3}{2})$.

O raio é metade da diagonal: $\overline{OF}=\sqrt{16+36+9}=\sqrt{61}$, logo $r=\frac{\sqrt{61}}{2}$ e $r^2=\frac{61}{4}$.

Equação: $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+{(z-\frac{3}{2})}^2=\frac{61}{4}$.

Com $z=0$: $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+\frac{9}{4}=\frac{61}{4}\iff (x-2{)}^2+(y-3{)}^2=13$.

No plano $xOy$, é a circunferência de centro $(2,3,0)$ e raio $\sqrt{13}$ (que passa em $O$, $A$, $B$ e $C$).

$(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+{(z-\frac{3}{2})}^2=\frac{61}{4}$; interseção com $xOy$: circunferência de centro $(2,3,0)$ e raio $\sqrt{13}$

8.3.

$A(4,0,0)$ e $G(0,6,3)$. $P(x,y,z)$ pertence ao plano mediador se e só se $(x-4{)}^2+y^2+z^2=x^2+(y-6{)}^2+(z-3{)}^2$.

$-8x+16=-12y+36-6z+9\iff 8x-12y-6z+29=0$.

Verificação: o ponto médio de $[AG]$, $(2,3,\frac{3}{2})$, satisfaz $16-36-9+29=0$.

A aresta $[DG]$ é definida por $x=0\wedge z=3\wedge 0\le y\le 6$; substituindo: $-12y-18+29=0\iff y=\frac{11}{12}$.

Como $0\le \frac{11}{12}\le 6$, o ponto pertence à aresta.

Plano mediador: $8x-12y-6z+29=0$; ponto de interseção: $(0,\frac{11}{12},3)$

Completando os quadrados: $(x-2{)}^2-4+(y+3{)}^2-9+(z-1{)}^2-1+5=0\iff (x-2{)}^2+(y+3{)}^2+(z-1{)}^2=9$.

$S$ tem centro $(2,-3,1)$ e raio $3$.

Plano $xOz$ ($y=0$): $(x-2{)}^2+9+(z-1{)}^2=9\iff (x-2{)}^2+(z-1{)}^2=0\iff x=2\wedge z=1$.

Logo, a interseção com $xOz$ é apenas o ponto $(2,0,1)$ (o plano é tangente a $S$).

Plano $xOy$ ($z=0$): $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2+1=9\iff (x-2{)}^2+(y+3{)}^2=8$.

Interseção com $xOz$: o ponto $(2,0,1)$; interseção com $xOy$: circunferência de centro $(2,-3,0)$ e raio $2\sqrt{2}$

Se a distância do centro ao plano é $d$, o círculo de interseção tem raio $\sqrt{16-d^2}$; pretende-se $16-d^2=7$, ou seja, $d=3$.

Distâncias de $C$ aos planos: $x=-1$: $|1-(-1)|=2$; $y=2$: $|-2-2|=4$; $z=6$: $|3-6|=3$; $z=-1$: $|3-(-1)|=4$.

Só o plano $z=6$ está à distância $3$. (Os planos $y=2$ e $z=-1$ tocam a esfera num só ponto; $x=-1$ dá um círculo de raio $\sqrt{12}$.)

Opção (C)