Teste nº1 – Referencial, distâncias e primeiras equações

Na reflexão de eixo $Oy$, a abcissa troca de sinal e a ordenada mantém-se: $(x,y)\mapsto (-x,y)$.

Logo, a imagem de $P(3,-5)$ é o ponto $(-3,-5)$.

A opção (A) corresponde à reflexão de eixo $Ox$, a opção (C) à meia-volta de centro $O$ e a opção (D) resulta de trocar as coordenadas.

Opção (B)

O ponto médio de $[AB]$ é $M(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})$.

$M(\frac{-1+5}{2},\frac{4+(-2)}{2})=M(2,1)$.

A opção (B) é metade de $B-A$, a opção (C) é a soma das coordenadas sem dividir por $2$ e a opção (D) é metade de $A-B$.

Opção (A)

3.1.

$\overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$.

$\overline{AB}=\sqrt{(4-(-2){)}^2+(-3-1{)}^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$.

Como $52=4\times 13$, tem-se $\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

$\overline{AB}=2\sqrt{13}$

3.2.

$\overline{CA}=\sqrt{(-2-5{)}^2+(1-5{)}^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}$.

$\overline{CB}=\sqrt{(4-5{)}^2+(-3-5{)}^2}=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}$.

Como $\overline{CA}=\overline{CB}$, o triângulo tem dois lados iguais, logo é isósceles.

Pelo item anterior, $\overline{AB}=\sqrt{52}\ne \sqrt{65}$, pelo que os três lados não são iguais.

O triângulo $[ABC]$ é isósceles ($\overline{CA}=\overline{CB}=\sqrt{65}$) e não é equilátero ($\overline{AB}=\sqrt{52}$).

Declive: $m=\frac{7-3}{2-0}=\frac{4}{2}=2$.

O ponto $(0,3)$ pertence ao eixo $Oy$, logo a ordenada na origem é $b=3$.

A equação reduzida é $y=2x+3$ (confirmação: $2\times 2+3=7$).

A opção (C) usa $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ em vez de $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ e a opção (A) troca o declive com a ordenada na origem.

Opção (B)

Retas paralelas (não verticais) têm o mesmo declive, logo $s:y=-3x+b$.

Como $P(2,-1)\in s$: $-1=-3\times 2+b\iff b=5$. Assim, $s:y=-3x+5$.

Interseção com o eixo $Ox$ ($y=0$): $0=-3x+5\iff x=\frac{5}{3}$.

$s:y=-3x+5$; ponto de interseção com $Ox$: $(\frac{5}{3},0)$

A circunferência de centro $(a,b)$ e raio $r$ tem equação $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$.

Com $a=2$, $b=-3$ e $r=4$: $(x-2{)}^2+(y-(-3){)}^2=4^2$, ou seja, $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=16$.

A opção (B) usa $r$ em vez de $r^2$; as opções (A) e (D) têm erros de sinal nas coordenadas do centro.

Opção (C)

7.1.

A região regada é o círculo de centro $S(3,2)$ e raio $5$.

Condição: $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2\le 25$.

Para $B(7,6)$: $(7-3{)}^2+(6-2{)}^2=16+16=32$.

Como $32>25$, o ponto $B$ não pertence ao círculo.

Condição: $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2\le 25$; o banco não fica molhado.

7.2.

Os pontos do caminho regados verificam $y=-1\wedge (x-3{)}^2+(y-2{)}^2\le 25$.

Substituindo: $(x-3{)}^2+(-3{)}^2\le 25\iff (x-3{)}^2\le 16$.

$(x-3{)}^2\le 16\iff -4\le x-3\le 4\iff -1\le x\le 7$.

O troço regado tem extremos $(-1,-1)$ e $(7,-1)$, com comprimento $7-(-1)=8$.

O troço regado mede $8$ metros.

Substitui-se cada ponto na condição $y>2x-1$.

(A): $0>1$ (falso); (B): $4>3$ (verdadeiro).

(C): $5>5$ (falso: o ponto está na reta fronteira, que não pertence ao semiplano aberto); (D): $-2>-1$ (falso).

Opção (B)

Os planos paralelos ao plano $xOz$ são perpendiculares ao eixo $Oy$ e têm equação da forma $y=b$.

Todos os pontos de um desses planos têm a mesma ordenada; como $A$ tem ordenada $-1$, o plano é $y=-1$.

A opção (C) define o próprio plano $xOz$, que não contém $A$; (A) e (B) são paralelos a $yOz$ e a $xOy$.

Opção (D)

10.1.

$B$ pertence ao plano $xOy$, com $x=4$ e $y=4$: $B(4,4,0)$; $F$ está por cima de $B$, à altura $4$: $F(4,4,4)$.

Os vértices da face são $B(4,4,0)$, $C(0,4,0)$, $G(0,4,4)$ e $F(4,4,4)$.

Todos têm ordenada $4$, logo a face está contida no plano paralelo a $xOz$ de equação $y=4$.

$F(4,4,4)$; plano da face $[BCGF]$: $y=4$

10.2.

$A(4,0,0)$ e $G(0,4,4)$.

$\overline{AG}=\sqrt{(0-4{)}^2+(4-0{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.

O centro do cubo é o ponto médio de qualquer diagonal espacial: $(\frac{4+0}{2},\frac{0+4}{2},\frac{0+4}{2})=(2,2,2)$.

$\overline{AG}=4\sqrt{3}$; centro do cubo: $(2,2,2)$

10.3.

$E(4,0,4)$ e $F(4,4,4)$: só a ordenada varia, logo a reta $EF$ é paralela ao eixo $Oy$.

Todos os pontos da reta têm $x=4$ e $z=4$: reta $EF$: $x=4\wedge z=4$.

Na aresta, a ordenada varia entre $0$ (em $E$) e $4$ (em $F$).

Reta $EF$: $x=4\wedge z=4$; aresta $[EF]$: $x=4\wedge z=4\wedge 0\le y\le 4$

O centro é o ponto médio de $[AB]$: $M(\frac{1+3}{2},\frac{-2+2}{2},\frac{3-1}{2})=M(2,0,1)$.

$\overline{AB}=\sqrt{(3-1{)}^2+(2+2{)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{4+16+16}=6$, logo o raio é $3$.

Equação: $(x-2{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=9$.

Para a origem: $(0-2{)}^2+0^2+(0-1{)}^2=5$ e $5\le 9$.

$(x-2{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=9$; a origem pertence à esfera (é um ponto interior).