Teste nº5

Vetores com parâmetros, figuras e problemas no espaço

10.º ano – Matemática A – Tema 6 (Vetores no plano e no espaço)

Grau de dificuldade do teste: Difícil

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 14 itens cotados (6 de escolha múltipla, 8 de resposta aberta)

Médio 88

Difícil 112

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Médio (12 pontos) Na figura, está representado o cubo $[A B C D E F G H]$ .
Qual é o ponto $H + \vec{A B} + \vec{F B}$ ?

(A) $G$

(B) $D$

(C) $C$

(D) $F$

Resolução

$\vec{A B} = \vec{H G}$ (arestas paralelas, mesmo sentido e comprimento), logo $H + \vec{A B} = H + \vec{H G} = G$ .

$\vec{F B} = \vec{G C}$ (arestas verticais, ambas «a descer»), logo $G + \vec{F B} = G + \vec{G C} = C$ .

(A) esquece $\vec{F B}$ ; (B) esquece $\vec{A B}$ ; (D) não corresponde a nenhuma das translações.

Opção (C)

2Médio (14 pontos) Considere o cubo $[A B C D E F G H]$ do item anterior.
Mostre que $\vec{A G} + \vec{C E} = 2 \vec{A E}$ .

Resolução

Pela regra do triângulo, $\vec{A G} = \vec{A C} + \vec{C G}$ .

$\vec{C E} = \vec{C A} + \vec{A E}$ .

Somando: $\vec{A G} + \vec{C E} = \vec{A C} + \vec{C A} + \vec{C G} + \vec{A E} = \vec{0} + \vec{C G} + \vec{A E}$ (pois $\vec{C A} = - \vec{A C}$ ).

Como $\vec{C G} = \vec{A E}$ (arestas laterais do cubo), obtém-se $\vec{A G} + \vec{C E} = 2 \vec{A E}$ .

$\vec{A G} + \vec{C E} = 2 \vec{A E}$ , como se queria mostrar.

3Difícil (16 pontos) Na figura, está representado o paralelogramo $[A B C D]$ . O ponto $M$ é o ponto médio do lado $[C D]$ e o ponto $P$ é a interseção dos segmentos $[A M]$ e $[B D]$ .
Sejam $\vec{u} = \vec{A B}$ e $\vec{v} = \vec{A D}$ . Mostre que $\vec{A P} = \frac{2}{3} \vec{A M}$ .

Resolução

$\vec{A M} = \vec{A D} + \vec{D M} = \vec{v} + \frac{1}{2} \vec{u}$ (pois $\vec{D C} = \vec{A B}$ e $M$ é ponto médio de $[D C]$ ).

Como $P \in [A M]$ , existe $λ$ tal que $\vec{A P} = λ \vec{A M} = \frac{λ}{2} \vec{u} + λ \vec{v}$ .

Como $P \in [B D]$ , existe $μ$ tal que $\vec{B P} = μ \vec{B D}$ , logo $\vec{A P} = \vec{A B} + μ (\vec{A D} - \vec{A B}) = (1 - μ) \vec{u} + μ \vec{v}$ .

Como $\vec{u}$ e $\vec{v}$ não são colineares, a decomposição é única: $\frac{λ}{2} = 1 - μ$ e $λ = μ$ , donde $\frac{3 λ}{2} = 1 \Leftrightarrow λ = \frac{2}{3}$ .

Logo, $\vec{A P} = \frac{2}{3} \vec{A M}$ , como se queria mostrar.

4Difícil (12 pontos) Considere o hexágono regular $[A B C D E F]$ , de centro $O$ , representado na figura. Sejam $\vec{u} = \vec{O A}$ e $\vec{v} = \vec{O B}$ .
Qual das igualdades seguintes é verdadeira?

(A) $\vec{C E} = 2 \vec{v} - \vec{u}$

(B) $\vec{C E} = \vec{u} - 2 \vec{v}$

(C) $\vec{C E} = \vec{u} - \vec{v}$

(D) $\vec{C E} = - 2 \vec{u} + \vec{v}$

Resolução

$\vec{O C} = \vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = \vec{v} - \vec{u}$ ( $[O A B C]$ é um losango).

$E$ é diametralmente oposto a $B$ , logo $\vec{O E} = - \vec{v}$ .

$\vec{C E} = \vec{C O} + \vec{O E} = - (\vec{v} - \vec{u}) - \vec{v} = \vec{u} - 2 \vec{v}$ .

(A) é o simétrico; (C) é $\vec{B A}$ ; (D) não tem a direção de $\vec{C E}$ .

Opção (B)

5Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , considere os vetores $\vec{u} (k - 1, 3)$ e $\vec{v} (2, k)$ , com $k \in ℝ$ .
Qual é o conjunto dos valores de $k$ para os quais $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são colineares?

(A) ${3}$

(B) ${- 2, 3}$

(C) ${- 3, 2}$

(D) ${- 3, - 2}$

Resolução

Dois vetores do plano $(a_{1}, a_{2})$ e $(b_{1}, b_{2})$ são colineares se e só se $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ .

$(k - 1) k - 3 \times 2 = 0 \Leftrightarrow k^{2} - k - 6 = 0$ .

$k = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \Leftrightarrow k = 3 \lor k = - 2$ . Verificação: $k = - 2$ dá $\vec{u} (- 3, 3) = - \frac{3}{2} (2, - 2)$ .

(A) esquece uma das soluções; (C) e (D) têm erros de sinal.

Opção (B)

6Difícil (16 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere o vetor $\vec{u} (a, 2, a - 1)$ , com $a \in ℝ$ .
Determine os valores de $a$ para os quais $‖ \vec{u} ‖ = 3$ e, para o maior desses valores, determine as coordenadas do vetor colinear com $\vec{u}$ , de sentido contrário ao de $\vec{u}$ e com norma $12$ .

Resolução

$‖ \vec{u} ‖ = 3 \Leftrightarrow a^{2} + 4 + (a - 1)^{2} = 9 \Leftrightarrow 2 a^{2} - 2 a + 5 = 9$ .

$2 a^{2} - 2 a - 4 = 0 \Leftrightarrow a^{2} - a - 2 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1 \pm 3}{2} \Leftrightarrow a = 2 \lor a = - 1$ .

Para $a = 2$ : $\vec{u} (2, 2, 1)$ , com $‖ \vec{u} ‖ = 3$ .

O vetor pedido é $λ \vec{u}$ com $λ < 0$ e $| λ | \times 3 = 12$ , ou seja, $λ = - 4$ : $- 4 \vec{u} = (- 8, - 8, - 4)$ .

$a = - 1$ ou $a = 2$ ; vetor $(- 8, - 8, - 4)$

7Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere os pontos $A (1, 2, - 1)$ , $B (3, - 1, 4)$ e $C (0, 5, 2)$ .
Quais são as coordenadas do ponto $D$ tal que $\vec{C D} = \vec{B A}$ ?

(A) $(2, 2, 7)$

(B) $(- 2, 8, - 3)$

(C) $(4, - 4, 1)$

(D) $(- 2, 3, - 5)$

Resolução

$\vec{B A} = A - B = (- 2, 3, - 5)$ .

$\vec{C D} = \vec{B A} \Leftrightarrow D = C + \vec{B A} = (0 - 2, 5 + 3, 2 - 5) = (- 2, 8, - 3)$ .

(A) é $C + \vec{A B}$ (sentido trocado); (C) é $B + \vec{C A}$ ; (D) é o próprio vetor $\vec{B A}$ .

Opção (B)

8Difícil (16 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere os pontos $A (m, 1, 2)$ , $B (2, m, 0)$ e $C (0, 7, - 4)$ , com $m \in ℝ$ .
Determine o valor de $m$ para o qual os pontos $A$ , $B$ e $C$ são colineares.

Resolução

$\vec{A B} = (2 - m, m - 1, - 2)$ e $\vec{A C} = (- m, 6, - 6)$ .

$A$ , $B$ e $C$ colineares $\Leftrightarrow$ existe $λ$ tal que $\vec{A C} = λ \vec{A B}$ . Pela terceira coordenada: $- 6 = - 2 λ \Leftrightarrow λ = 3$ .

Primeira coordenada: $- m = 3 (2 - m) \Leftrightarrow - m = 6 - 3 m \Leftrightarrow m = 3$ .

Segunda coordenada: $6 = 3 (m - 1) \Leftrightarrow m = 3$ . As duas condições são compatíveis.

Para $m = 3$ : $\vec{A B} = (- 1, 2, - 2)$ e $\vec{A C} = (- 3, 6, - 6) = 3 \vec{A B}$ .

$m = 3$

9Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , as retas $r : (x, y) = (1, 2) + k (3, - a), k \in ℝ$ , e $s : y = 2 x + 1$ são paralelas.
Qual é o valor de $a$ ?

(A) $6$

(B) $- \frac{3}{2}$

(C) $\frac{3}{2}$

(D) $- 6$

Resolução

Retas paralelas (não verticais) têm o mesmo declive. O declive de $s$ é $2$ .

O declive de $r$ é $\frac{- a}{3}$ .

$\frac{- a}{3} = 2 \Leftrightarrow a = - 6$ . (Verifica-se que $(1, 2) \notin s$ , pelo que as retas são estritamente paralelas.)

(A) erro de sinal; (B) resulta de $\frac{3}{- a} = 2$ (quociente invertido).

Opção (D)

10Difícil (18 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , considere as retas $r : (x, y) = (- 1, 3) + k (2, - 1), k \in ℝ$ , e $s : y = 2 x - 4$ .
Determine as coordenadas do ponto de interseção das retas $r$ e $s$ e a área do triângulo limitado pelas retas $r$ e $s$ e pelo eixo $O y$ .

Resolução

Declive de $r$ : $- \frac{1}{2}$ . Equação reduzida: $y - 3 = - \frac{1}{2} (x + 1) \Leftrightarrow y = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$ .

Interseção: $2 x - 4 = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{5}{2} x = \frac{13}{2} \Leftrightarrow x = \frac{13}{5}$ ; $y = \frac{26}{5} - 4 = \frac{6}{5}$ . Ponto $I (\frac{13}{5}, \frac{6}{5})$ .

Interseções com $O y$ : $r$ em $(0, \frac{5}{2})$ e $s$ em $(0, - 4)$ .

Tomando como base o segmento sobre $O y$ , de comprimento $\frac{5}{2} + 4 = \frac{13}{2}$ , a altura é a abcissa de $I$ , $\frac{13}{5}$ .

Área $= \frac{\frac{13}{2} \times \frac{13}{5}}{2} = \frac{169}{20} = 8,45$ .

$I (\frac{13}{5}, \frac{6}{5})$ ; área $= \frac{169}{20}$

11Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere a reta $r$ definida por $(x, y, z) = (1, - 1, 2) + k (2, 1, - 2), k \in ℝ$ .
Em que ponto a reta $r$ interseta o plano $y O z$ ?

(A) $(3, 0, 0)$

(B) $(0, - 1, 2)$

(C) $(0, - \frac{3}{2}, 3)$

(D) $(0, - \frac{1}{2}, 1)$

Resolução

O plano $y O z$ tem equação $x = 0$ : $1 + 2 k = 0 \Leftrightarrow k = - \frac{1}{2}$ .

Para $k = - \frac{1}{2}$ : $(0, - 1 - \frac{1}{2}, 2 + 1) = (0, - \frac{3}{2}, 3)$ .

(A) é a interseção com o plano $x O z$ ; (B) só anula a abcissa; (D) usa $k = \frac{1}{2}$ nas outras coordenadas.

Opção (C)

12Difícil (16 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere, para cada número real $a$ , a reta $r_{a}$ definida por $(x, y, z) = (a, 2, 1) + t (1, - 1, 3), t \in ℝ$ .
Determine o valor de $a$ para o qual a reta $r_{a}$ interseta o eixo $O z$ e indique as coordenadas do ponto de interseção.

Resolução

Os pontos do eixo $O z$ são da forma $(0, 0, z)$ .

Ponto genérico de $r_{a}$ : $(a + t, 2 - t, 1 + 3 t)$ .

$2 - t = 0 \Leftrightarrow t = 2$ (única possibilidade para anular a ordenada).

$a + t = 0$ com $t = 2$ dá $a = - 2$ ; então $z = 1 + 3 \times 2 = 7$ .

$a = - 2$ ; ponto $(0, 0, 7)$

13Difícil Num referencial o.n. $O x y z$ (unidade: metro), o plano $x O y$ representa o chão de uma sala. Um dispositivo situado no ponto $L (1, 2, 3)$ emite um raio laser que segue a semirreta definida por $(x, y, z) = (1, 2, 3) + k (2, 1, - 1), k \geq 0$ .

13.1. Médio (14 pontos) Determine as coordenadas do ponto do chão que o raio atingiria se não encontrasse nenhum obstáculo.

13.2. Difícil (18 pontos) Na sala existe uma bola cuja superfície é a superfície esférica de centro $Q (5, 4, 2)$ e raio $1$ .
Mostre que o raio laser atinge a bola e determine as coordenadas do ponto em que a atinge.

Resolução

13.1.

Ponto genérico: $(1 + 2 k, 2 + k, 3 - k)$ , $k \geq 0$ .

Chão: $z = 0 \Leftrightarrow 3 - k = 0 \Leftrightarrow k = 3$ (e $3 \geq 0$ ).

Para $k = 3$ : $(7, 5, 0)$ .

$(7, 5, 0)$

13.2.

Superfície da bola: $(x - 5)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 1$ .

Substituindo: $(2 k - 4)^{2} + (k - 2)^{2} + (1 - k)^{2} = 1 \Leftrightarrow 4 k^{2} - 16 k + 16 + k^{2} - 4 k + 4 + k^{2} - 2 k + 1 = 1$ .

$6 k^{2} - 22 k + 20 = 0 \Leftrightarrow 3 k^{2} - 11 k + 10 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6} \Leftrightarrow k = \frac{5}{3} \lor k = 2$ .

Há soluções com $k \geq 0$ , logo o raio atinge a bola. Como o laser parte de $L$ ( $k = 0$ ), atinge primeiro o ponto com menor $k$ , isto é, $k = \frac{5}{3}$ (e ambas antes do chão, $k = 3$ ).

$k = \frac{5}{3}$ : $(1 + \frac{10}{3}, 2 + \frac{5}{3}, 3 - \frac{5}{3}) = (\frac{13}{3}, \frac{11}{3}, \frac{4}{3})$ .

Atinge a bola no ponto $(\frac{13}{3}, \frac{11}{3}, \frac{4}{3})$ .

Cotações

Item	1	2	3	4	5	6	7	8
Cotação (pontos)	12	14	16	12	12	16	12	16
Dificuldade
Tipo	EM	RA	RA	EM	EM	RA	EM	RA

Item	9	10	11	12	13.1	13.2	Total
Cotação (pontos)	12	18	12	16	14	18	200
Dificuldade
Tipo	EM	RA	EM	RA	RA	RA

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 6 itens – 72 pontos

Resposta aberta: 8 itens – 128 pontos

Por grau de dificuldade

Médio 7 itens – 88 pontos

Difícil 7 itens – 112 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

Teste nº5 – Vetores com parâmetros, figuras e problemas no espaço

Teste nº5

10.º ano – Matemática A – Tema 6 (Vetores no plano e no espaço)

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