Teste nº3

Segunda volta, Sainte-Laguë e poupança

10.º ano – Matemática A – Tema 1 (Modelos matemáticos para a cidadania)

Grau de dificuldade do teste: Médio

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 15 itens cotados (5 de escolha múltipla, 10 de resposta aberta)

Fácil 36

Médio 134

Difícil 30

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Médio (12 pontos) Numa eleição com três candidatos, A, B e C, cada eleitor ordenou os candidatos por preferência, como se mostra na tabela.

N.º de votos	9	7	6
1.ª preferência	A	B	C
2.ª preferência	B	C	B
3.ª preferência	C	A	A

O vencedor é eleito por maioria absoluta; se nenhum candidato a obtiver, realiza-se uma segunda volta entre os dois mais votados na primeira.
Qual das afirmações é verdadeira?

(A) O candidato A vence na primeira volta, com maioria absoluta.

(B) O candidato A vence na segunda volta, contra B.

(C) O candidato B vence na segunda volta, contra A.

(D) O candidato C vence na segunda volta, contra A.

Resolução

Há $22$ eleitores; a maioria absoluta exige pelo menos $12$ votos. Na primeira volta: A $9$ , B $7$ , C $6$ , logo não há maioria absoluta.

Passam à segunda volta A e B (os dois mais votados); C é eliminado.

Os $6$ eleitores de C preferem B a A; logo, B obtém $7 + 6 = 13$ votos e A obtém $9$ .

B vence na segunda volta.

Opção (C)

2Fácil Numa eleição presidencial com quatro candidatos, A, B, C e D, as preferências dos eleitores, em percentagem, são as indicadas na tabela.

Percentagem de eleitores	34 %	28 %	22 %	16 %
1.ª preferência	A	B	C	D
2.ª preferência	C	D	D	C
3.ª preferência	D	C	B	B
4.ª preferência	B	A	A	A

É eleito o candidato que obtiver maioria absoluta dos votos; se nenhum a obtiver na primeira volta, realiza-se uma segunda volta entre os dois candidatos mais votados. Admita que todos os eleitores votam nas duas voltas, de acordo com as suas preferências.

2.1. Fácil (12 pontos) Justifique que é necessária uma segunda volta e indique os candidatos que a disputam.

2.2. Médio (14 pontos) Determine o vencedor da eleição e comente o resultado, tendo em conta a primeira volta.

Resolução

2.1.

Na primeira volta conta-se a 1.ª preferência: A $34 %$ , B $28 %$ , C $22 %$ , D $16 %$ .

Nenhum candidato tem mais de $50 %$ dos votos, logo não há maioria absoluta e é necessária uma segunda volta.

A segunda volta é disputada por A ( $34 %$ ) e B ( $28 %$ ).

2.2.

Na segunda volta, cada eleitor vota no candidato, entre A e B, que coloca mais acima.

Votam em A apenas os eleitores da 1.ª coluna: $34 %$ .

Votam em B os restantes: $28 % + 22 % + 16 % = 66 %$ (em todas estas colunas B aparece antes de A).

B vence com $66 %$ dos votos.

Comentário: A, o mais votado na primeira volta, é o último na preferência de $66 %$ dos eleitores; a segunda volta permite que os votos dos candidatos eliminados se transfiram, e o vencedor passa a ter maioria absoluta.

3Médio (12 pontos) Num círculo eleitoral que elege $6$ deputados, os partidos A, B e C obtiveram, respetivamente, $5400$ , $3300$ e $1300$ votos. Os mandatos são distribuídos pelo método de Sainte-Laguë (divisores $1, 3, 5, 7, \dots$ ).
Qual é a distribuição dos mandatos?

(A) A: 4; B: 2; C: 0

(B) A: 3; B: 2; C: 1

(C) A: 3; B: 3; C: 0

(D) A: 2; B: 2; C: 2

Resolução

Quocientes de A: $5400; 1800; 1080; 771,4$ . De B: $3300; 1100; 660$ . De C: $1300; 433,3$ .

Os seis maiores são $5400, 3300, 1800, 1300, 1100$ e $1080$ .

A obtém $3$ mandatos, B obtém $2$ e C obtém $1$ .

A opção (A) corresponde, por engano, ao método de Hondt.

Opção (B)

4Médio Na eleição para a câmara municipal de um concelho, que tem $7$ vereadores, os partidos PA, PB, PC e PD obtiveram os votos indicados na tabela.

Partido	PA	PB	PC	PD
N.º de votos	12 480	9020	4310	2150

4.1. Médio (14 pontos) Determine a distribuição dos vereadores pelo método de Hondt.

4.2. Médio (16 pontos) Determine a distribuição dos vereadores pelo método de Sainte-Laguë e, comparando com o item anterior, indique, justificando, qual dos métodos favorece, neste caso, os partidos menos votados.

Resolução

4.1.

Quocientes (divisores $1, 2, 3, 4$ ; a negrito os eleitos):

PA: $12 480; 6240; 4160; 3120$
PB: $9020; 4510; 3006,7; 2255$
PC: $4310; 2155; 1436,7; 1077,5$
PD: $2150; 1075; 716,7; 537,5$

Os sete maiores quocientes são, por ordem: $12 480$ (PA), $9020$ (PB), $6240$ (PA), $4510$ (PB), $4310$ (PC), $4160$ (PA), $3120$ (PA).

O quociente seguinte seria $3006,7$ (PB), menor do que o último eleito.

PA: 4; PB: 2; PC: 1; PD: 0.

4.2.

Quocientes (divisores $1, 3, 5, 7$ ; a negrito os eleitos):

PA: $12 480; 4160; 2496; 1782,9$
PB: $9020; 3006, 7; 1804; 1288,6$
PC: $4310; 1436,7; 862; 615,7$
PD: $2150; 716,7; 430; 307,1$

Os sete maiores quocientes são: $12 480$ (PA), $9020$ (PB), $4310$ (PC), $4160$ (PA), $3006,7$ (PB), $2496$ (PA), $2150$ (PD).

Sainte-Laguë: PA: 3; PB: 2; PC: 1; PD: 1.

Com Sainte-Laguë, PA (o partido mais votado) perde um vereador, que passa para PD (o menos votado). Como os divisores crescem mais depressa ( $1, 3, 5, \dots$ ), os partidos grandes são mais penalizados nos mandatos seguintes; neste caso, o método de Sainte-Laguë favorece os partidos menos votados.

5Difícil (16 pontos) Num círculo eleitoral que elege $4$ deputados pelo método de Hondt, o partido A obteve $9000$ votos e o partido B obteve $5000$ votos. Um terceiro partido, C, também concorreu. Admita que, em caso de empate entre quocientes, o mandato é atribuído ao partido com mais votos.
Mantendo os votos de A e de B, determine o número mínimo de votos que C teria de obter para eleger um deputado.

Resolução

Quocientes de A: $9000; 4500; 3000; 2250$ . Quocientes de B: $5000; 2500$ .

Sem C, os quatro maiores quocientes são $9000, 5000, 4500$ e $3000$ : o 4.º mandato é de A, com o quociente $3000$ .

Para eleger um deputado, o primeiro quociente de C (o seu número de votos, $c$ ) tem de ultrapassar o quociente $3000$ de A, que é o menor dos eleitos.

Se $c = 3000$ , há empate e o mandato vai para A (mais votos); logo, é preciso $c > 3000$ .

Com $c = 3001$ , os quatro maiores quocientes são $9000, 5000, 4500$ e $3001$ : C elege um deputado.

C teria de obter, no mínimo, $3001$ votos.

6Médio (12 pontos) Em janeiro, o preço de um bem aumentou $5 %$ ; em fevereiro, o novo preço diminuiu $5 %$ .
Relativamente ao preço inicial, o preço no final de fevereiro é:

(A) igual

(B) $0,25 %$ superior

(C) $0,25 %$ inferior

(D) $0,5 %$ inferior

Resolução

Fator total: $1,05 \times 0,95 = 0,9975$ .

O preço final é $99,75 %$ do inicial, isto é, $0,25 %$ inferior.

A opção (A) resulta de somar as percentagens ( $+ 5 % - 5 % = 0$ ), o que é incorreto.

Opção (C)

7Médio (12 pontos) Uma lâmpada inteligente custa $61,50$ €, com IVA incluído à taxa de $23 %$ .
Qual é o preço da lâmpada sem IVA?

(A) $47,36$ €

(B) $38,50$ €

(C) $50,00$ €

(D) $75,65$ €

Resolução

Preço com IVA $=$ preço sem IVA $\times 1,23$ .

Preço sem IVA: $\frac{61,50}{1,23} = 50,00$ €.

Retirar $23 %$ a $61,50$ € (opção (A)) é um erro: os $23 %$ incidem sobre o preço sem IVA e não sobre o preço com IVA.

Opção (C)

8Médio (14 pontos) Num restaurante, a conta de um jantar, com IVA incluído à taxa de $13 %$ , foi de $45,20$ €.
Determine o valor do IVA pago e mostre que esse valor corresponde a cerca de $11,5 %$ do valor pago.

Resolução

Seja $s$ o valor sem IVA: $1,13 s = 45,20$ , logo $s = \frac{45,20}{1,13} = 40,00$ €.

IVA pago: $45,20 - 40,00 = 5,20$ €.

Em relação ao valor pago: $\frac{5,20}{45,20} \approx 0,1150$ , isto é, cerca de $11,5 %$ .

Em geral, $\frac{0,13}{1,13} \approx 0,115$ : a taxa de $13 %$ incide sobre o preço sem IVA, por isso o imposto é menos de $13 %$ do preço final.

IVA pago: $5,20$ €, cerca de $11,5 %$ do valor pago.

9Médio (14 pontos) O Tiago recebe um salário líquido mensal de $1300,50$ €. Ao seu salário bruto são descontados $11 %$ para a Segurança Social e é feita uma retenção na fonte de IRS de $12,5 %$ do salário bruto. Não há outros descontos.
Determine o salário bruto mensal do Tiago.

Resolução

Seja $b$ o salário bruto. Os descontos totalizam $11 % + 12,5 % = 23,5 %$ de $b$ .

O salário líquido é $76,5 %$ do bruto: $0,765 b = 1300,50$ .

$b = \frac{1300,50}{0,765} = 1700$ .

Verificação: $1700 - 0,11 \times 1700 - 0,125 \times 1700 = 1700 - 187 - 212,50 = 1300,50$ €.

O salário bruto do Tiago é $1700$ €.

10Fácil (12 pontos) Aplicaram-se $2000$ € a juro composto, à taxa anual de $4 %$ , com capitalização anual.
Qual das expressões dá o capital acumulado, em euros, ao fim de $n$ anos?

(A) $2000 \times (1 + 0,04 n)$

(B) $2000 \times 1, 4^{n}$

(C) $2000 + 1, 04^{n}$

(D) $2000 \times 1, 04^{n}$

Resolução

Em regime de juro composto, no fim de cada ano o capital é multiplicado por $1 + 0,04 = 1,04$ .

Ao fim de $n$ anos: $2000 \times 1, 04^{n}$ .

A expressão (A) é a do juro simples; (B) usa a taxa de $40 %$ .

Opção (D)

11Médio A Marta tem $5000$ € para aplicar e hesita entre duas opções:
• opção I: regime de juro simples, à taxa anual de $3,5 %$ ;
• opção II: regime de juro composto, à taxa anual de $3 %$ , com capitalização anual.

11.1. Fácil (12 pontos) Determine o capital acumulado ao fim de $4$ anos em cada uma das opções. Apresente os valores em euros, arredondados aos cêntimos.

11.2. Difícil (14 pontos) Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine o número mínimo de anos completos ao fim dos quais a opção II é mais vantajosa do que a opção I. Na sua resposta, reproduza o(s) gráfico(s) visualizado(s), devidamente identificado(s), e assinale o(s) ponto(s) relevante(s).

Resolução

11.1.

Opção I: $5000 \times (1 + 0,035 \times 4) = 5000 \times 1,14 = 5700,00$ €.

Opção II: $5000 \times 1, 03^{4} \approx 5627,54$ €.

Opção I: $5700,00$ €; opção II: $5627,54$ €.

11.2.

Capital na opção I: $f (n) = 5000 (1 + 0,035 n)$ ; na opção II: $g (n) = 5000 \times 1, 03^{n}$ .

Representam-se graficamente $y = 5000 (1 + 0,035 x)$ e $y = 5000 \times 1, 03^{x}$ , por exemplo na janela $[0; 20] \times [4000; 10 000]$ .

Os gráficos intersetam-se em $x = 0$ e num ponto de abcissa $x \approx 11,13$ (ordenada $\approx 6947$ ).

Para $x > 11,13$ , o gráfico de $g$ está acima do de $f$ . Confirmação: $g (11) \approx 6921,17 < f (11) = 6925,00$ e $g (12) \approx 7128,80 > f (12) = 7100,00$ .

A opção II passa a ser mais vantajosa a partir de $12$ anos.

12Médio (14 pontos) O rendimento mensal líquido de uma família é $2600$ €. O gráfico seguinte representa as suas despesas mensais, em euros.
A renda da casa (habitação) vai aumentar $8 %$ . A família pretende continuar a poupar, todos os meses, pelo menos $10 %$ do rendimento, reduzindo apenas as despesas de lazer.
Mostre que a família terá de reduzir as despesas de lazer e determine o valor mínimo dessa redução.

Resolução

Despesas atuais: $780 + 610 + 290 + 95 + 180 + 210 + 155 = 2320$ €.

Nova renda: $780 \times 1,08 = 842,40$ €; novas despesas: $2320 - 780 + 842,40 = 2382,40$ €.

Poupança sem cortes: $2600 - 2382,40 = 217,60$ €.

Poupança pretendida: $0,10 \times 2600 = 260$ €. Como $217,60 < 260$ , é necessário reduzir as despesas de lazer.

Redução mínima: $260 - 217,60 = 42,40$ € (as despesas de lazer passam a ser, no máximo, $167,60$ €).

A redução mínima nas despesas de lazer é $42,40$ €.

Cotações

Item	1	2.1	2.2	3	4.1	4.2	5	6
Cotação (pontos)	12	12	14	12	14	16	16	12
Dificuldade
Tipo	EM	RA	RA	EM	RA	RA	RA	EM

Item	7	8	9	10	11.1	11.2	12	Total
Cotação (pontos)	12	14	14	12	12	14	14	200
Dificuldade
Tipo	EM	RA	RA	EM	RA	RA	RA

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 5 itens – 60 pontos

Resposta aberta: 10 itens – 140 pontos

Por grau de dificuldade

Fácil 3 itens – 36 pontos

Médio 10 itens – 134 pontos

Difícil 2 itens – 30 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

Teste nº3 – Segunda volta, Sainte-Laguë e poupança

Teste nº3

10.º ano – Matemática A – Tema 1 (Modelos matemáticos para a cidadania)

Cotações

Deixe um comentário Cancelar resposta

1468

3887

198

17

Receba novidades

Cursos

Links úteis

Utilizador