Resumo nº3 – Função quadrática

💡 Ideia principal

Uma função quadrática é definida por $f(x)=a{x}^2+bx+c$, com $a\ne 0$. O gráfico é uma parábola.

📌 Forma canónica e vértice

Toda a função quadrática pode escrever-se na forma $f(x)=a(x-h{)}^2+k$.

O vértice da parábola é o ponto $V(h,k)$, com $h=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ e $k=f(h)$.

O eixo de simetria é a reta vertical $x=h$.

📌 Número de zeros: binómio discriminante $\Delta =b^2-4ac$

$\Delta >0$: dois zeros distintos (a parábola corta o eixo $Ox$ em dois pontos).

$\Delta =0$: um zero (duplo); o vértice está no eixo $Ox$.

$\Delta <0$: não há zeros; a parábola não intersecta o eixo $Ox$.

✏️ Exemplo

$f(x)=x^2-2x-3$. Como $a=1>0$, a concavidade está voltada para cima. $h=-{\displaystyle \frac{-2}{2}}=1$ e $k=f(1)=-4$, logo $V(1,-4)$, mínimo $-4$ e $D_f^{\prime }=[-4,+\infty [$. Zeros: $x={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}}={\displaystyle \frac{2\pm 4}{2}}$, ou seja, $x=-1$ ou $x=3$.

✅ Inequações do 2.º grau: passar tudo para um membro, calcular os zeros e esboçar a parábola (concavidade e zeros chegam). A solução lê-se no gráfico: onde está acima ($>0$) ou abaixo ($<0$) do eixo $Ox$.