Resumo nº2 – Coordenadas de vetores, norma e colinearidade

📌 Coordenadas

No plano, $\overrightarrow{u}(u_1,u_2)$; no espaço, $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$.

Vetor definido por dois pontos: $\overrightarrow{AB}=B-A$ (subtraem-se as coordenadas). Ex.: $A(1,2)$, $B(4,-2)$, $\overrightarrow{AB}=(3,-4)$.

Soma e produto por escalar fazem-se coordenada a coordenada: $(1,3)+(2,-1)=(3,2)$; $3(1,-2,0)=(3,-6,0)$.

Ponto mais vetor: $A(1,2)+\overrightarrow{u}(3,-4)=(4,-2)$.

📌 Norma

No plano: $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{u_1^2+u_2^2}$. Ex.: $\Vert (3,-4)\Vert =5$.

No espaço: $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$. Ex.: $\Vert (2,-1,2)\Vert =3$.

A distância entre $A$ e $B$ é a norma de $\overrightarrow{AB}$.

📌 Colinearidade e declive

$\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ (não nulos) são colineares se as coordenadas forem proporcionais: $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$. Ex.: $(2,-6)$ e $(-1,3)$ são colineares ($k=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$).

Três pontos $A$, $B$ e $C$ estão alinhados se $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ forem colineares.

Uma reta com vetor diretor $\overrightarrow{u}(u_1,u_2)$, com $u_1\ne 0$, tem declive $m={\displaystyle \frac{u_2}{u_1}}$. Uma reta de declive $m$ tem vetor diretor $(1,m)$.

✅ Para obter um vetor com a mesma direção e sentido de $\overrightarrow{u}$ e norma $1$ (vetor unitário), divide-se $\overrightarrow{u}$ pela sua norma: ${\displaystyle \frac{1}{\Vert \overrightarrow{u}\Vert }}\overrightarrow{u}$.