Ficha nº6

Voltar a: 10.º Ano – Matemática A

Funções definidas por ramos e função módulo

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

📝 15 exercícios, do mais fácil ao mais difícil

5 fáceis8 médios2 difíceis

Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução.

🟢 Nível fácil

1Fácil Qual é o conjunto-solução da condição $| x - 1 | < 2$ ?

(A) $] - 1, 3 [$

(B) $] - 3, 1 [$

(C) $] - \infty, - 1 [\cup] 3, + \infty [$

(D) $] 1, 3 [$

Resolução

A distância de $x$ a $1$ é menor que $2$ : $- 2 < x - 1 < 2$ ⇔ $- 1 < x < 3$ .

Opção (A)

2Fácil Calcule $| - 7 | + | 3 - 10 |$ .

Resolução

$| - 7 | = 7$ e $| 3 - 10 | = | - 7 | = 7$ . Soma: $14$ .

3Fácil Considere $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} & se x \leq 1 \\ 2 x & se x > 1 \end{matrix}$ . Calcule $f (- 2)$ , $f (1)$ e $f (3)$ .

Resolução

$f (- 2) = (- 2)^{2} = 4$ ; $f (1) = 1^{2} = 1$ ( $1 \leq 1$ , 1.º ramo); $f (3) = 2 \times 3 = 6$ .

4Fácil Determine os zeros da função $g (x) = | x | - 5$ .

Resolução

$| x | - 5 = 0$ ⇔ $| x | = 5$ ⇔ $x = - 5 \lor x = 5$ .

5Fácil Resolva, em $ℝ$ :

5.1. $| x - 3 | = 5$

5.2. $| 2 x + 1 | = - 4$

5.3. $| x | + | x | = 8$

Resolução

5.1. $x - 3 = 5 \lor x - 3 = - 5$ ⇔ $x = 8 \lor x = - 2$ .

5.2. Um módulo nunca é negativo: equação impossível, conjunto-solução $\emptyset$ .

5.3. $2 | x | = 8 ⟺ | x | = 4 ⟺ x = \pm 4$ .

🟠 Nível médio

6Médio Considere a função $f$ definida por $f (x) = {\begin{matrix} x + 3 & se x < - 1 \\ x^{2} - 2 & se x \geq - 1 \end{matrix}$ , cujo gráfico está representado na figura.

6.1. Calcule $f (- 4)$ , $f (- 1)$ e $f (2)$ .

6.2. Determine os zeros de $f$ .

6.3. Indique o contradomínio de $f$ .

Resolução

6.1. $f (- 4) = - 1$ ; $f (- 1) = (- 1)^{2} - 2 = - 1$ (2.º ramo, porque $- 1 \geq - 1$ ); $f (2) = 2$ .

6.2. 1.º ramo: $x + 3 = 0 ⟺ x = - 3$ , e $- 3 < - 1$ : é zero. 2.º ramo: $x^{2} = 2 ⟺ x = \pm \sqrt{2}$ ; só $\sqrt{2} \geq - 1$ serve ( $- \sqrt{2} \approx - 1,41$ não pertence a este ramo). Zeros: $- 3$ e $\sqrt{2}$ .

6.3. 1.º ramo: $] - \infty, 2 [$ . 2.º ramo (para $x \geq - 1$ ): mínimo $f (0) = - 2$ , logo $[- 2, + \infty [$ . União: $D_{f}^{'} = ℝ$ .

7Médio Considere $g (x) = | x + 2 | - 3$ .

7.1. Escreva $g$ como função definida por ramos, sem usar o símbolo de módulo.

7.2. Indique o vértice do gráfico, o contradomínio e os zeros.

Resolução

7.1. $g (x) = {\begin{matrix} x - 1 & se x \geq - 2 \\ - x - 5 & se x < - 2 \end{matrix}$ .

7.2. Translação de $y = | x |$ de vetor $(- 2, - 3)$ : vértice $(- 2, - 3)$ , $D_{g}^{'} = [- 3, + \infty [$ . Zeros: $| x + 2 | = 3 ⟺ x = 1 \lor x = - 5$ .

8Médio Um parque de estacionamento cobra $1,50$ € pela primeira hora e $1$ € por cada hora adicional, até um máximo de $8$ € por dia. Seja $P (t)$ o preço por $t$ horas inteiras, $t \in {1, 2, \dots, 24}$ .

8.1. Calcule $P (1)$ , $P (4)$ e $P (12)$ .

8.2. Escreva $P$ como função definida por ramos.

Resolução

8.1. $P (1) = 1,50$ ; $P (4) = 1,50 + 3 = 4,50$ ; $1,50 + 11 = 12,50 > 8$ , logo $P (12) = 8$ .

8.2. $1,50 + (t - 1) \leq 8$ ⇔ $t \leq 7,5$ . $P (t) = {\begin{matrix} t + 0,5 & se 1 \leq t \leq 7 \\ 8 & se 8 \leq t \leq 24 \end{matrix}$ ( $t$ inteiro).

9Médio Resolva a equação $| 2 x - 4 | = 6$ .

Resolução

$2 x - 4 = 6 \lor 2 x - 4 = - 6$ ⇔ $x = 5 \lor x = - 1$ .

10Médio Escreva $h (x) = | 3 - x |$ como função definida por ramos.

Resolução

$3 - x \geq 0 ⟺ x \leq 3$ .

$h (x) = {\begin{matrix} 3 - x & se x \leq 3 \\ x - 3 & se x > 3 \end{matrix}$ .

11Médio Determine o contradomínio da função $f (x) = {\begin{matrix} - x & se x < 0 \\ x^{2} + 1 & se x \geq 0 \end{matrix}$ .

Resolução

1.º ramo: para $x < 0$ , $- x > 0$ ; toma todos os valores de $] 0, + \infty [$ .

2.º ramo: para $x \geq 0$ , $x^{2} + 1 \geq 1$ ; toma $[1, + \infty [$ .

União: $D_{f}^{'} =] 0, + \infty [$ .

12Médio Resolva a inequação $| x + 1 | \geq 3$ .

Resolução

$x + 1 \geq 3 \lor x + 1 \leq - 3$ ⇔ $x \geq 2 \lor x \leq - 4$ .

Solução: $] - \infty, - 4] \cup [2, + \infty [$ .

13Médio Uma empresa de águas cobra $0,50$ € por $m^{3}$ até $10 m^{3}$ e $0,80$ € por cada $m^{3}$ acima desse valor. Escreva o custo $C (v)$ de $v m^{3}$ como função definida por ramos e calcule $C (15)$ .

Resolução

Até $10 m^{3}$ : $C (v) = 0,5 v$ . Acima: $C (v) = 5 + 0,8 (v - 10) = 0,8 v - 3$ .

$C (v) = {\begin{matrix} 0,5 v & se 0 \leq v \leq 10 \\ 0,8 v - 3 & se v > 10 \end{matrix}$

$C (15) = 12 - 3 = 9$ €.

🔴 Nível difícil

14Difícil Considere $f (x) = {\begin{matrix} x + a & se x < 2 \\ x^{2} & se x \geq 2 \end{matrix}$ . Determine $a$ de modo que o gráfico de $f$ não tenha “salto” em $x = 2$ .

Resolução

Para não haver salto, o 1.º ramo deve aproximar-se do mesmo valor que o 2.º ramo toma em $x = 2$ , que é $f (2) = 4$ .

$2 + a = 4 ⟺ a = 2$ .

15Difícil Resolva a equação $| x - 2 | = 2 x + 1$ .

Resolução

Como um módulo é não negativo, é necessário $2 x + 1 \geq 0$ ⇔ $x \geq - \frac{1}{2}$ .

$x - 2 = 2 x + 1 ⟺ x = - 3$ : rejeitado ( $- 3 < - \frac{1}{2}$ ).

$x - 2 = - (2 x + 1)$ ⇔ $3 x = 1$ ⇔ $x = \frac{1}{3}$ : aceite. Verificação: $| \frac{1}{3} - 2 | = \frac{5}{3}$ e $2 \times \frac{1}{3} + 1 = \frac{5}{3}$ .

Solução: ${\frac{1}{3}}$ .

Ficha nº6 – Funções definidas por ramos e função módulo

Ficha nº6

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

Deixe um comentário Cancelar resposta

1468

3887

198

17

Receba novidades

Cursos

Links úteis

Utilizador