Ficha de exames nº2

Provas de 2012–2015

10.º ano – Matemática A – Tema 1 (Modelos matemáticos para a cidadania)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 2 fáceis10 médios3 difíceis

1Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2012, 2.ª fase, item 3.3

O preço de venda ao público de um automóvel novo é: preço base + imposto sobre veículos (ISV) + IVA, sendo o IVA calculado sobre a soma do preço base com o ISV. O ISV é a soma de uma componente de cilindrada com uma componente ambiental (emissões de CO $_{2}$ ); cada componente calcula-se multiplicando o valor (cc ou g/km) pela taxa e subtraindo a parcela a abater. Em 2011 as tabelas eram as seguintes.

Cilindrada (cc)	Taxa por cc (€)	Parcela a abater (€)
Até 1250	0,92	684,74
Mais de 1250	4,34	4964,37

Gasóleo: CO₂ (g/km)	Taxa (€)	Parcela a abater (€)
Até 95	17,18	1364,58
De 96 a 120	49,16	4450,15
De 121 a 140	109,02	11 734,52
De 141 a 160	121,24	13 490,65
Mais de 160	166,53	20 761,61

Considere um automóvel a gasóleo, com 1598 cc e emissões de 119 g/km, com preço base de 18 014,40€. Em 2010, a componente de cilindrada era 1934€, a componente ambiental era 1372€ e a taxa de IVA era 21%; em 2011 a taxa de IVA passou a 23%. Determine a diferença entre os preços de venda ao público em 2011 e em 2010.

Resolução

2010: ISV $= 1934 + 1372 = 3306$ €. Preço base + ISV $= 18 014,40 + 3306 = 21 320,40$ €.

IVA 2010: $21 320,40 \times 0,21 \approx 4477,28$ €. Preço 2010: $21 320,40 + 4477,28 = 25 797,68$ €.

2011, cilindrada ( $1598 > 1250$ ): $1598 \times 4,34 - 4964,37 = 6935,32 - 4964,37 = 1970,95$ €.

2011, ambiental ( $119$ g/km, escalão 96–120): $119 \times 49,16 - 4450,15 = 5850,04 - 4450,15 = 1399,89$ €. ISV $= 1970,95 + 1399,89 = 3370,84$ €.

Preço base + ISV $= 18 014,40 + 3370,84 = 21 385,24$ €; IVA: $21 385,24 \times 0,23 \approx 4918,61$ €; preço 2011: $26 303,85$ €.

Diferença: $26 303,85 - 25 797,68 = 506,17$ €.

Em 2011 o automóvel custava mais 506,17€ do que em 2010.

2Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, 1.ª fase, item 1.1

Para escolher o tema da semana cultural, $985$ alunos ordenaram três temas.

Número de eleitores	415	370	200
1.ª preferência	Bullying	Solidariedade	Festas
2.ª preferência	Solidariedade	Festas	Bullying
3.ª preferência	Festas	Bullying	Solidariedade

Usa-se o método de Borda (3, 2 e 1 pontos). Determine o tema escolhido. Se o tema Festas fosse retirado (mantendo a ordem dos outros dois), o tema escolhido seria o mesmo?

Resolução

Com os três temas: Bullying $415 \times 3 + 370 \times 1 + 200 \times 2 = 2015$ ; Solidariedade $415 \times 2 + 370 \times 3 + 200 \times 1 = 2140$ ; Festas $415 \times 1 + 370 \times 2 + 200 \times 3 = 1755$ . Ganha Solidariedade.

Sem Festas (2 e 1 pontos): Bullying $415 \times 2 + 370 \times 1 + 200 \times 2 = 1600$ ; Solidariedade $415 + 370 \times 2 + 200 = 1355$ . Ganha Bullying.

O vencedor muda: retirar uma opção que não ganha pode alterar o resultado do método de Borda.

3Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, 1.ª fase, item 1.2 (adaptado a 21 lugares e aos métodos do programa)

Uma comissão de $21$ alunos é distribuída pelos anos proporcionalmente ao número de alunos: 10.º ano $140$ , 11.º ano $120$ , 12.º ano $160$ . Distribua os lugares pelos métodos de Hondt e de Sainte-Laguë.

Resolução

Hondt:

Lista	÷ 1	÷ 2	÷ 3	÷ 4	÷ 5	÷ 6	÷ 7	÷ 8	÷ 9	÷ 10	÷ 11	÷ 12	÷ 13	÷ 14	÷ 15	÷ 16	÷ 17	÷ 18	÷ 19	÷ 20	÷ 21
10.º ano	140	70	46,7	35	28	23,3	20	17,5	15,6	14	12,7	11,7	10,8	10	9,3	8,8	8,2	7,8	7,4	7	6,7
11.º ano	120	60	40	30	24	20	17,1	15	13,3	12	10,9	10	9,2	8,6	8	7,5	7,1	6,7	6,3	6	5,7
12.º ano	160	80	53,3	40	32	26,7	22,9	20	17,8	16	14,5	13,3	12,3	11,4	10,7	10	9,4	8,9	8,4	8	7,6

$10 . º a n o$ : 7, $11 . º a n o$ : 6, $12 . º a n o$ : 8.

Sainte-Laguë:

Lista	÷ 1	÷ 3	÷ 5	÷ 7	÷ 9	÷ 11	÷ 13	÷ 15	÷ 17	÷ 19	÷ 21	÷ 23	÷ 25	÷ 27	÷ 29	÷ 31	÷ 33	÷ 35	÷ 37	÷ 39	÷ 41
10.º ano	140	46,7	28	20	15,6	12,7	10,8	9,3	8,2	7,4	6,7	6,1	5,6	5,2	4,8	4,5	4,2	4	3,8	3,6	3,4
11.º ano	120	40	24	17,1	13,3	10,9	9,2	8	7,1	6,3	5,7	5,2	4,8	4,4	4,1	3,9	3,6	3,4	3,2	3,1	2,9
12.º ano	160	53,3	32	22,9	17,8	14,5	12,3	10,7	9,4	8,4	7,6	7,0	6,4	5,9	5,5	5,2	4,8	4,6	4,3	4,1	3,9

$10 . º a n o$ : 7, $11 . º a n o$ : 6, $12 . º a n o$ : 8.

Neste caso os dois métodos coincidem.

4Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, 1.ª fase, item 2.1

Uma instituição oferece juros simples trimestrais. Aplicaram-se $1500$ € durante seis meses e obtiveram-se $1680$ €. Qual é a taxa de juro trimestral?

Resolução

Seis meses são $2$ trimestres. $1680 = 1500 (1 + 2 i)$ ⇔ $1 + 2 i = 1,12$ ⇔ $i = 0,06$ .

A taxa trimestral é $6 %$ .

5Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, 1.ª fase, item 2.2

Duas contas começam com $1500$ €. Na conta X, o saldo aumenta $20$ € por mês (juros simples). Na conta Y, o saldo aumenta $1 %$ por mês (juros compostos). Mostre que a conta Y só ultrapassa a conta X entre o 56.º e o 57.º mês.

Resolução

Ao fim de $n$ meses: $X (n) = 1500 + 20 n$ e $Y (n) = 1500 \times 1, 01^{n}$ .

$n = 56$ : $X = 2620$ e $Y \approx 2618,71$ (X ainda maior).

$n = 57$ : $X = 2640$ e $Y \approx 2644,90$ (Y já é maior).

Logo a conta Y ultrapassa a conta X entre o 56.º e o 57.º mês.

6Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, época especial, item 1.1

Numa eleição foram distribuídos 8 mandatos por cinco partidos.

Partido	A	B	C	D	E
Votos	5243	3475	1211	1153	657

Um candidato não eleito afirma que teria sido eleito se fosse usado o método de Sainte-Laguë (divisores 1, 3, 5, 7, …) em vez do método de Hondt. Distribua os mandatos pelos dois métodos (quocientes com uma casa decimal) e determine a que partido pertence esse candidato.

Resolução

Hondt: A: $5243$ ; $2621,5$ ; $1747,7$ ; $1310,8$ ; $1048,6$ . B: $3475$ ; $1737,5$ ; $1158,3$ ; $868,8$ . C: $1211$ ; $605,5$ . D: $1153$ . E: $657$ .

8 maiores: $5243$ (A), $3475$ (B), $2621,5$ (A), $1747,7$ (A), $1737,5$ (B), $1310,8$ (A), $1211$ (C), $1158,3$ (B). Hondt: A – 4, B – 3, C – 1, D – 0, E – 0 (o seguinte seria $1153$ , de D).

Sainte-Laguë: A: $5243$ ; $1747,7$ ; $1048,6$ ; $749$ ; $582,6$ . B: $3475$ ; $1158,3$ ; $695$ . C: $1211$ ; $403,7$ . D: $1153$ ; $384,3$ . E: $657$ .

8 maiores: $5243$ (A), $3475$ (B), $1747,7$ (A), $1211$ (C), $1158,3$ (B), $1153$ (D), $1048,6$ (A), $749$ (A). Sainte-Laguë: A – 4, B – 2, C – 1, D – 1, E – 0.

O candidato pertence ao partido D, que não obtém mandatos pelo método de Hondt e obtém 1 mandato pelo de Sainte-Laguë.

7Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, época especial, item 1.2

Para escolher o tipo de música de uma festa, 10 504 alunos ordenaram três tipos de música (pop, gospel e jazz).

N.º de votos	1024	4328	5152
1.ª preferência	jazz	pop	gospel
2.ª preferência	pop	jazz	pop
3.ª preferência	gospel	gospel	jazz

Usa-se o método de comparação por pares: em cada par, conta-se o número de votantes que coloca cada tipo à frente do outro; vence o tipo de música que ganhar todas as comparações, se existir. Por exemplo, na comparação jazz/gospel, o jazz tem 5352 votos e o gospel 5152.
Determine, caso exista, o tipo de música escolhido.

Resolução

Jazz contra gospel (dado): jazz $5352$ , gospel $5152$ . Vence jazz.

Jazz contra pop: jazz à frente de pop só na coluna de 1024 votos: $1024$ ; pop à frente de jazz: $4328 + 5152 = 9480$ . Vence pop.

Pop contra gospel: pop à frente de gospel: $1024 + 4328 = 5352$ ; gospel à frente de pop: $5152$ . Vence pop.

O pop vence todas as comparações: é o tipo de música escolhido.

8Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2014, 1.ª fase, item 1.1

$500$ alunos ordenaram quatro temas $V$ , $L$ , $S$ e $R$ .

Número de eleitores	50	205	145	100
1.ª preferência	V	S	V	L
2.ª preferência	L	R	L	V
3.ª preferência	S	L	R	R
4.ª preferência	R	V	S	S

Determine o tema vencedor por maioria simples e pelo método de Borda (4, 3, 2 e 1 pontos). Comente.

Resolução

Maioria simples: $S$ tem $205$ primeiras preferências, $V$ tem $195$ , $L$ tem $100$ . Vence $S$ (sem maioria absoluta: $205 < 251$ ).

Borda: $V$ : 1285, $L$ : 1395, $S$ : 1165, $R$ : 1155. Vence $L$ .

$L$ quase nunca é a primeira escolha, mas é bem aceite por quase todos; $S$ é muito apoiado por um grupo mas fica em último para $245$ alunos.

9Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2014, 1.ª fase, item 1.2 (adaptado ao método de Hondt)

Uma escola vai distribuir $35$ calculadoras pelos anos, proporcionalmente ao número de alunos: 9.º ano $120$ , 10.º ano $210$ , 11.º ano $170$ e 12.º ano $162$ . Faça a distribuição pelo método de Hondt.

Resolução

Calculam-se os quocientes de cada ano por $1, 2, 3, \dots$ e escolhem-se os $35$ maiores. O $35 . º$ quociente é $18$ (por exemplo, $162 \div 9 = 18$ ) e o primeiro excluído é $17,5$ ( $210 \div 12$ ).

Distribuição: $9 . º a n o$ : 6, $10 . º a n o$ : 11, $11 . º a n o$ : 9, $12 . º a n o$ : 9 (total $35$ ).

10Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2014, 1.ª fase, item 3.2

O valor patrimonial tributário (VPT) de um apartamento calcula-se por $VPT = V_{c} \times A \times C_{a} \times C_{l} \times C_{q} \times C_{v}$ , arredondado à dezena de euros imediatamente superior. O IMI (Imposto Municipal sobre Imóveis) de 2014 é $0,6 %$ do VPT.

Parâmetro	Valor
Área bruta de construção e área excedente ( $A$ )	312,32 m²
Coeficiente de afetação ( $C_{a}$ )	1,00
Coeficiente de localização ( $C_{l}$ )	1,40
Coeficiente de qualidade e conforto ( $C_{q}$ )	1,10
Coeficiente de vetustez ( $C_{v}$ )	0,85
Valor base dos prédios edificados ( $V_{c}$ )	603,00€

Determine o IMI que o Francisco pagou em 2014.

Resolução

$VPT = 603 \times 312,32 \times 1 \times 1,4 \times 1,1 \times 0,85$ .

$603 \times 312,32 = 188 328,96$ ; $1,4 \times 1,1 \times 0,85 = 1,309$ ; $188 328,96 \times 1,309 \approx 246 522,61$ €.

Arredondando à dezena de euros imediatamente superior: $VPT = 246 530$ €.

IMI: $0,006 \times 246 530 = 1479,18$ €.

O IMI de 2014 foi 1479,18€.

11Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2014, 2.ª fase, item 1.1

Numa eleição foram distribuídos 15 mandatos por cinco listas.

Lista	A	B	C	D	E
Votos	22 010	17 124	15 144	12 333	11 451

Determine as diferenças entre os mandatos obtidos por cada lista pelo método de Hondt e pelo método de Sainte-Laguë (quocientes com uma casa decimal).

Resolução

Hondt (divisores 1 a 6): A: $22 010$ ; $11 005$ ; $7336,7$ ; $5502,5$ ; $4402$ ; $3668,3$ . B: $17 124$ ; $8562$ ; $5708$ ; $4281$ . C: $15 144$ ; $7572$ ; $5048$ ; $3786$ . D: $12 333$ ; $6166,5$ ; $4111$ . E: $11 451$ ; $5725,5$ ; $3817$ .

Os 15 maiores quocientes vão de $22 010$ até $4402$ (15.º, A); o 16.º seria $4281$ (B). Hondt: A – 5, B – 3, C – 3, D – 2, E – 2.

Sainte-Laguë (divisores 1, 3, 5, 7, …): A: $22 010$ ; $7336,7$ ; $4402$ ; $3144,3$ ; $2445,6$ . B: $17 124$ ; $5708$ ; $3424,8$ ; $2446,3$ . C: $15 144$ ; $5048$ ; $3028,8$ ; $2163,4$ . D: $12 333$ ; $4111$ ; $2466,6$ . E: $11 451$ ; $3817$ ; $2290,2$ .

Os 15 maiores vão de $22 010$ até $2466,6$ (15.º, D); o 16.º seria $2446,3$ (B). Sainte-Laguë: A – 4, B – 3, C – 3, D – 3, E – 2.

A lista A obtém 5 mandatos com Hondt e 4 com Sainte-Laguë; a lista D obtém 2 com Hondt e 3 com Sainte-Laguë; B, C e E mantêm 3, 3 e 2 mandatos.

12Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2014, 2.ª fase, item 1.2

Para escolher a cor de uma camisola, 430 alunos ordenaram três cores (amarelo – A, vermelho – V, castanho – C).

N.º de votos	150	180	100
1.ª preferência	C	A	C
2.ª preferência	A	V	V
3.ª preferência	V	C	A

O Manuel afirma que o método A (comparação por pares: vence a cor que ganha a todas as outras nas comparações duas a duas) e o método B (Borda: 3 pontos para a 1.ª preferência, 2 para a 2.ª e 1 para a 3.ª) dão vencedores diferentes. Mostre que o Manuel tem razão.

Resolução

Método A – castanho contra amarelo: C à frente de A: $150 + 100 = 250$ ; A à frente de C: $180$ . Vence C.

Castanho contra vermelho: C à frente de V: $150 + 100 = 250$ ; V à frente de C: $180$ . Vence C. Logo, pelo método A vence o castanho.

Método B – amarelo: $150 \times 2 + 180 \times 3 + 100 \times 1 = 940$ ; vermelho: $150 \times 1 + 180 \times 2 + 100 \times 2 = 710$ ; castanho: $150 \times 3 + 180 \times 1 + 100 \times 3 = 930$ .

Pelo método B vence o amarelo (940 pontos).

O Manuel tem razão: pelo método A vence o castanho e pelo método B vence o amarelo.

13Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2015, 1.ª fase, item 1

Nas eleições para uma associação, distribuíram-se $9$ lugares pelo método de Sainte-Laguë. As listas obtiveram $A$ 220, $B$ 530, $C$ 650 e $D$ 150 votos. Determine a distribuição e compare com a obtida arredondando às unidades a quota de cada lista ( $9 \times$ proporção de votos).

Resolução

Lista	÷ 1	÷ 3	÷ 5	÷ 7	÷ 9	÷ 11	÷ 13	÷ 15	÷ 17
A	220	73,3	44	31,4	24,4	20	16,9	14,7	12,9
B	530	176,7	106	75,7	58,9	48,2	40,8	35,3	31,2
C	650	216,7	130	92,9	72,2	59,1	50	43,3	38,2
D	150	50	30	21,4	16,7	13,6	11,5	10	8,8

Sainte-Laguë: $A$ : 1, $B$ : 3, $C$ : 4, $D$ : 1.

Quotas: $A$ $1,277$ ; $B$ $3,077$ ; $C$ $3,774$ ; $D$ $0,871$ . Arredondando: $1, 3, 4, 1$ (soma $9$ ).

Neste caso os dois processos dão a mesma distribuição.

14Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2015, 1.ª fase, item 4

Em Portugal, o preço de venda ao público (PVP) de um automóvel novo obtém-se assim: ao preço base (sem impostos) adiciona-se o Imposto Sobre Veículos (ISV) e, sobre essa soma, aplica-se IVA à taxa de 23%. Por exemplo, um automóvel com preço base de 12 500 euros e ISV de 7883 euros tem $PVP = (12 500 + 7883) \times 1,23 = 25 071,09$ euros.
O Ivo vive noutro país, onde a taxa de IVA é 18% e incide apenas sobre o preço base; o ISV é adicionado depois e, nesse país, é 28% superior ao português.
O automóvel que interessa ao Ivo tem preço base de 18 000 euros nos dois países e, em Portugal, o ISV é de 9251 euros.
Onde é mais barato o Ivo comprar o automóvel? Justifique.

Resolução

Em Portugal: $PVP = (18 000 + 9251) \times 1,23 = 27 251 \times 1,23 = 33 518,73$ euros.

No país do Ivo, o ISV é 28% superior: $9251 \times 1,28 = 11 841,28$ euros.

Preço base com IVA a 18%: $18 000 \times 1,18 = 21 240$ euros.

PVP no país do Ivo: $21 240 + 11 841,28 = 33 081,28$ euros.

Comparação: $33 081,28 < 33 518,73$ (diferença de $437,45$ euros).

É mais barato comprar o automóvel no país onde o Ivo vive (33 081,28€ contra 33 518,73€).

15Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2015, época especial, item 1

Nas eleições autárquicas usa-se o método de Hondt. Num município, foram eleitos 9 vereadores; os votos validamente expressos (sem brancos e nulos) estão na tabela.

Partido	A	B	C	D	E
N.º de votos	10 918	5947	2022	1483	660

A Maria afirmou: «Em comparação com o método de Hondt, o método de Hamilton (quotas com maiores restos) possibilita uma maior representação dos partidos menos votados.»
O método de Hamilton consiste em: calcular o divisor padrão (total de votos ÷ n.º de mandatos); calcular a quota padrão de cada partido (votos ÷ divisor padrão); atribuir a cada partido a parte inteira da sua quota; atribuir os mandatos que faltam aos partidos cujas quotas tenham as maiores partes decimais.
Mostre que a Maria tem razão, aplicando os dois métodos.

Resolução

Hondt: dividimos os votos por $1, 2, 3, \dots$ e escolhemos os 9 maiores quocientes: $10 918$ (A), $5947$ (B), $5459$ (A), $3639,3$ (A), $2973,5$ (B), $2729,5$ (A), $2183,6$ (A), $2022$ (C), $1982,3$ (B).

Mandatos (Hondt): A – 5, B – 3, C – 1, D – 0, E – 0. (O 10.º quociente seria $1483$ , de D.)

Hamilton: total de votos $= 21 030$ ; divisor padrão $= \frac{21 030}{9} \approx 2336,667$ .

Quotas padrão: A $\approx 4,672$ ; B $\approx 2,545$ ; C $\approx 0,865$ ; D $\approx 0,635$ ; E $\approx 0,282$ . Partes inteiras: $4 + 2 + 0 + 0 + 0 = 6$ mandatos; faltam 3.

Maiores partes decimais: C ( $0,865$ ), A ( $0,672$ ), D ( $0,635$ ) recebem mais um mandato cada: A – 5, B – 2, C – 1, D – 1, E – 0.

A Maria tem razão: com Hamilton o partido D (dos menos votados) obtém 1 mandato, que com Hondt não obtém (Hondt: 5, 3, 1, 0, 0; Hamilton: 5, 2, 1, 1, 0).

Ficha de exames nº2 – Modelos matemáticos para a cidadania (2012–2015)

Ficha de exames nº2

10.º ano – Matemática A – Tema 1 (Modelos matemáticos para a cidadania)

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