Teste nº6

Desafios de estatística II

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

Grau de dificuldade do teste: Difícil

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 15 itens cotados (6 de escolha múltipla, 9 de resposta aberta)

Fácil 12

Médio 48

Difícil 140

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Médio (12 pontos) Considere as variáveis seguintes, relativas aos atletas de um clube:
I – número de golos marcados numa época;
II – tempo de reação a um sinal de partida;
III – grupo sanguíneo;
IV – temperatura corporal após um treino.
Quais destas variáveis são quantitativas contínuas?

(A) I e II

(B) II e IV

(C) II, III e IV

(D) Apenas IV

Resolução

I resulta de uma contagem: quantitativa discreta.

III toma como valores categorias (A, B, AB, O): qualitativa.

II e IV resultam de medições e podem tomar qualquer valor de um intervalo: quantitativas contínuas.

Opção (B) – só II e IV são quantitativas contínuas.

2Difícil (14 pontos) A tabela seguinte resume o tempo, em minutos, que $50$ clientes de uma loja esperaram para serem atendidos, sendo $a$ e $b$ números naturais.

Tempo (min)	$[0, 4 [$	$[4, 8 [$	$[8, 12 [$	$[12, 16 [$
Número de clientes	$8$	$a$	$20$	$b$

Sabe-se que a média estimada, calculada a partir das marcas das classes, é $9,2$ minutos. Determine $a$ e $b$ e indique a classe modal.

Resolução

O número de clientes é $50$ : $8 + a + 20 + b = 50 \Leftrightarrow a + b = 22$ .

Marcas das classes: $2, 6, 10, 14$ . Média estimada: $\frac{2 \times 8 + 6 a + 10 \times 20 + 14 b}{50} = 9,2 \Leftrightarrow 216 + 6 a + 14 b = 460 \Leftrightarrow 6 a + 14 b = 244$ .

Substituindo $a = 22 - b$ : $132 - 6 b + 14 b = 244 \Leftrightarrow 8 b = 112 \Leftrightarrow b = 14$ , e $a = 8$ .

As frequências são $8, 8, 20, 14$ : a classe modal é $[8, 12 [$ .

$a = 8$ , $b = 14$ ; classe modal $[8, 12 [$ .

3Difícil (12 pontos) A um conjunto de $n$ dados ( $n \geq 2$ ), não todos iguais, acrescenta-se um novo dado igual à média do conjunto. Relativamente à média e ao desvio-padrão, o que se pode concluir?

(A) A média e o desvio-padrão mantêm-se.

(B) A média mantém-se e o desvio-padrão diminui.

(C) A média mantém-se e o desvio-padrão aumenta.

(D) A média e o desvio-padrão diminuem.

Resolução

A nova média é $\frac{n \bar{x} + \bar{x}}{n + 1} = \bar{x}$ : mantém-se.

O novo dado tem desvio $0$ , logo a soma dos quadrados dos desvios, $S S = \sum (x_{i} - \bar{x})^{2} > 0$ , não se altera.

A variância passa de $\frac{S S}{n - 1}$ para $\frac{S S}{n}$ , que é menor; logo o desvio-padrão diminui.

Por exemplo, com $3, 5, 8, 9, 15$ ( $\bar{x} = 8$ ): $s \approx 4,58$ ; acrescentando $8$ : $s \approx 4,1$ .

Opção (B) – a média mantém-se e o desvio-padrão diminui.

4Difícil Os diagramas de extremos e quartis seguintes resumem os tempos, em segundos, obtidos numa prova de $400$ metros pelos atletas de dois clubes: o clube A, com $21$ atletas, e o clube B, com $20$ atletas.

4.1. Médio (12 pontos) Qual dos clubes apresenta, em geral, melhores tempos? E qual apresenta tempos mais homogéneos na parte central da distribuição? Justifique.

4.2. Difícil (14 pontos) Mostre que pelo menos $15$ atletas do clube B obtiveram um tempo inferior ao tempo mediano do clube A.

Resolução

4.1.

Leitura: A – mín. $48$ , $Q_{1} = 52$ , $\tilde{x} = 55$ , $Q_{3} = 58$ , máx. $63$ ; B – mín. $46$ , $Q_{1} = 49$ , $\tilde{x} = 51$ , $Q_{3} = 54$ , máx. $60$ .

Numa corrida, tempos menores são melhores: a mediana de B ( $51$ s) é inferior à de A ( $55$ s), assim como todos os quartis e extremos de B.

${AIQ}_{A} = 58 - 52 = 6$ e ${AIQ}_{B} = 54 - 49 = 5$ : os $50 %$ centrais dos tempos de B estão mais concentrados.

O clube B tem, em geral, melhores tempos e também tempos centrais mais homogéneos ( $AIQ = 5$ contra $6$ ).

4.2.

No clube B, $n = 20$ ; com o método das metades, $Q_{3}$ é a mediana dos $10$ maiores dados: $Q_{3} = \frac{x_{(15)} + x_{(16)}}{2} = 54$ .

Como $x_{(15)} \leq x_{(16)}$ , tem-se $x_{(15)} \leq \frac{x_{(15)} + x_{(16)}}{2} = 54$ ; logo $x_{(1)} \leq \dots \leq x_{(15)} \leq 54$ .

A mediana do clube A é $55$ e $54 < 55$ .

Logo, os $15$ atletas de B correspondentes a $x_{(1)}, \dots, x_{(15)}$ têm tempo inferior a $55$ s.

Pelo menos $15$ atletas do clube B ( $75 %$ ) fizeram tempo inferior ao tempo mediano do clube A.

5Difícil (12 pontos) Um conjunto tem $50$ dados, todos diferentes, ordenados por ordem crescente: $x_{(1)} < x_{(2)} < \dots < x_{(50)}$ . Para qual dos valores de $k$ seguintes o percentil de ordem $k$ é igual a $x_{(40)}$ ?

(A) $78$

(B) $79$

(C) $80$

(D) $81$

Resolução

Calcula-se $\frac{50 k}{100} = \frac{k}{2}$ . Se for inteiro, $P_{k}$ é a média de dois dados consecutivos (diferentes), que não é nenhum dos dados; se não for inteiro, $P_{k} = x_{(⌈ k / 2 ⌉)}$ .

$k = 78$ : $39$ inteiro, $P_{78} = \frac{x_{(39)} + x_{(40)}}{2} \neq x_{(40)}$ . $k = 80$ : $40$ inteiro, $P_{80} = \frac{x_{(40)} + x_{(41)}}{2} \neq x_{(40)}$ .

$k = 81$ : $40,5$ , $P_{81} = x_{(41)}$ . $k = 79$ : $39,5$ , não inteiro, logo $P_{79} = x_{(40)}$ .

Opção (B) – $P_{79} = x_{(40)}$ .

6Difícil (18 pontos) Considere $n$ dados $x_{1}, \dots, x_{n}$ , com média $\bar{x}$ e desvio-padrão $s_{x}$ , e os dados $y_{i} = a x_{i} + b$ , com $a, b \in ℝ$ .
a) Sabendo que $\bar{y} = a \bar{x} + b$ , mostre que $s_{y} = | a | s_{x}$ .
b) As temperaturas máximas diárias de uma cidade americana, em julho, tiveram média $68$ °F e desvio-padrão $9$ °F. Sabendo que $C = \frac{F - 32}{1,8}$ , determine a média e o desvio-padrão dessas temperaturas em graus Celsius.

Resolução

a) Desvios: $y_{i} - \bar{y} = a x_{i} + b - (a \bar{x} + b) = a (x_{i} - \bar{x})$ .

$s_{y}^{2} = \frac{\sum (y_{i} - \bar{y})^{2}}{n - 1} = \frac{\sum a^{2} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1} = a^{2} \frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1} = a^{2} s_{x}^{2}$ .

Como os desvios-padrão são não negativos, $s_{y} = \sqrt{a^{2} s_{x}^{2}} = | a | s_{x}$ , como se queria mostrar.

b) $C = \frac{1}{1,8} F - \frac{32}{1,8}$ , ou seja, $a = \frac{1}{1,8}$ . Média: $\bar{C} = \frac{68 - 32}{1,8} = \frac{36}{1,8} = 20$ °C.

Desvio-padrão: $s_{C} = \frac{1}{1,8} \times 9 = 5$ °C.

Média $20$ °C e desvio-padrão $5$ °C.

7Médio (12 pontos) Num conjunto de dados bivariados, a reta de regressão de $y$ sobre $x$ é $y = 0,8 x + 3$ e a média dos valores de $x$ é $10$ . Qual é a média dos valores de $y$ ?

(A) $8$

(B) $10$

(C) $11$

(D) $13$

Resolução

A reta de regressão dos mínimos quadrados passa sempre pelo ponto $(\bar{x}, \bar{y})$ , o centro de gravidade da nuvem de pontos.

Logo $\bar{y} = 0,8 \times 10 + 3 = 11$ .

$8$ esquece a ordenada na origem; $10$ supõe $\bar{y} = \bar{x}$ ; $13$ resulta de $10 + 3$ .

Opção (C) – $\bar{y} = 0,8 \bar{x} + 3 = 11$ .

8Difícil (16 pontos) Considere os dados $10, 12, 14, 16, x$ , onde $x$ é um número real positivo.
Determine todos os valores de $x$ para os quais a média é igual à mediana.

Resolução

A média é $\frac{52 + x}{5}$ . A mediana é o $3 .^{\circ}$ dado ordenado, que depende da posição de $x$ .

Se $x \leq 12$ : os dados ordenados têm $12$ na $3 .^{a}$ posição; $\frac{52 + x}{5} = 12 \Leftrightarrow x = 8$ , e $8 \leq 12$ (válido).

Se $12 < x < 14$ : a mediana é $x$ ; $\frac{52 + x}{5} = x \Leftrightarrow 52 = 4 x \Leftrightarrow x = 13$ , e $12 < 13 < 14$ (válido).

Se $x \geq 14$ : a mediana é $14$ ; $\frac{52 + x}{5} = 14 \Leftrightarrow x = 18$ , e $18 \geq 14$ (válido).

$x = 8$ , $x = 13$ ou $x = 18$ .

9Fácil (12 pontos) Uma reta de regressão foi obtida a partir de dados em que a variável $x$ tomou valores entre $10$ e $50$ . Para qual dos valores de $x$ seguintes a previsão de $y$ obtida com essa reta é, em princípio, mais fiável?

(A) $x = 5$

(B) $x = 30$

(C) $x = 60$

(D) $x = 100$

Resolução

Previsões para valores de $x$ dentro do intervalo observado ( $[10, 50]$ ) são interpolações; fora dele são extrapolações.

$5$ , $60$ e $100$ estão fora de $[10, 50]$ : nada garante que a relação linear se mantenha.

$30 \in [10, 50]$ : interpolação, a previsão mais fiável.

Opção (B) – $x = 30$ corresponde a uma interpolação.

10Difícil Num parque florestal mediu-se o diâmetro do tronco $x$ , em centímetros, e a altura $y$ , em metros, de dez árvores da mesma espécie.

$x$ (cm)	$12$	$15$	$18$	$20$	$23$	$25$	$28$	$30$	$33$	$35$
$y$ (m)	$6,1$	$7,0$	$8,2$	$8,9$	$9,8$	$10,5$	$11,6$	$12,0$	$13,1$	$13,9$

10.1. Médio (12 pontos) Recorrendo à calculadora, determine a equação da reta de regressão de $y$ sobre $x$ (coeficientes arredondados às centésimas) e o valor de $r$ (arredondado às milésimas). Estime a altura de uma árvore desta espécie com $27$ cm de diâmetro.

10.2. Difícil (14 pontos) Mediu-se depois uma décima primeira árvore, com $32$ cm de diâmetro e apenas $6,0$ m de altura, por ter a copa partida. Recorrendo à calculadora, determine o novo valor de $r$ e a nova reta de regressão e comente o efeito deste ponto.

Resolução

10.1.

Introduzem-se os dados em duas listas e efetua-se a regressão linear.

$y = 0,34 x + 2,08$ e $r \approx 0,999$ (associação linear positiva muito forte).

Para $x = 27$ (interpolação, $27 \in [12, 35]$ ): $y = 0,34 \times 27 + 2,08 \approx 11,26$ .

$y = 0,34 x + 2,08$ ; $r \approx 0,999$ ; altura estimada $\approx 11,26$ m.

10.2.

Acrescenta-se o ponto $(32; 6,0)$ às listas e repete-se a regressão linear.

Obtém-se $y \approx 0,25 x + 3,55$ e $r \approx 0,703$ .

O ponto está muito afastado da tendência dos restantes (para $x = 32$ o modelo inicial previa cerca de $13$ m): $r$ desce de $0,999$ para $0,703$ e o declive da reta diminui bastante.

Um único ponto atípico pode alterar muito $r$ e a reta de regressão: estas medidas não são resistentes. Como a causa é conhecida (copa partida), justifica-se analisá-lo à parte.

$r \approx 0,703$ e $y \approx 0,25 x + 3,55$ : a associação linear passa de muito forte a moderada por efeito de um só ponto atípico.

11Difícil (12 pontos) Os dados $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ têm média $6$ . Qual é a média do conjunto de $20$ dados formado por $x_{1}, \dots, x_{10}$ e por $2 x_{1} + 1, \dots, 2 x_{10} + 1$ ?

(A) $9$

(B) $9,5$

(C) $13$

(D) $19$

Resolução

A média dos dados $2 x_{i} + 1$ é $2 \times 6 + 1 = 13$ .

Os dois subconjuntos têm o mesmo número de dados ( $10$ ), logo a média do conjunto é $\frac{10 \times 6 + 10 \times 13}{20} = \frac{190}{20} = 9,5$ .

$13$ é só a média dos dados transformados; $19$ é a soma $6 + 13$ ; $9$ resulta de esquecer a parcela $1$ ( $\frac{6 + 12}{2}$ ).

Opção (B) – a média é $9,5$ .

12Difícil (14 pontos) Numa escola registou-se o número de visitas de estudo realizadas por cada turma do 10.º ano num ano letivo. Os resultados estão na tabela seguinte, onde $k$ é um número natural.

Visitas de estudo	$1$	$2$	$3$	$4$
Número de turmas	$4$	$k$	$8$	$3$

Sabendo que a média é $2,5$ visitas, determine $k$ e mostre que o desvio-padrão é igual a $1$ .

Resolução

Número de turmas: $4 + k + 8 + 3 = 15 + k$ ; soma dos dados: $1 \times 4 + 2 k + 3 \times 8 + 4 \times 3 = 40 + 2 k$ .

$\frac{40 + 2 k}{15 + k} = 2,5 \Leftrightarrow 40 + 2 k = 37,5 + 2,5 k \Leftrightarrow 0,5 k = 2,5 \Leftrightarrow k = 5$ ; há $20$ turmas.

Desvios: $- 1,5; - 0,5; 0,5; 1,5$ . $\sum n_{i} (x_{i} - \bar{x})^{2} = 4 (2,25) + 5 (0,25) + 8 (0,25) + 3 (2,25) = 9 + 1,25 + 2 + 6,75 = 19$ .

$s^{2} = \frac{19}{20 - 1} = 1$ , logo $s = 1$ .

$k = 5$ e $s = 1$ .

13Difícil (14 pontos) Os salários mensais líquidos, em euros, dos $12$ trabalhadores de uma pequena empresa familiar são:

780, 820, 850, 900, 920, 950, 980, 1000, 1050, 1100, 1200, 3800

Determine o percentil de ordem $90$ , identifique os eventuais outliers (critério $1,5 \times AIQ$ ) e indique, justificando, se a média ou a mediana descreve melhor o salário típico nesta empresa.

Resolução

$P_{90}$ : $\frac{12 \times 90}{100} = 10,8$ (não inteiro), logo $P_{90} = x_{(11)} = 1200$ euros.

Mediana: $\frac{x_{(6)} + x_{(7)}}{2} = \frac{950 + 980}{2} = 965$ . $Q_{1} = \frac{850 + 900}{2} = 875$ e $Q_{3} = \frac{1050 + 1100}{2} = 1075$ ; $AIQ = 200$ .

Limites: $875 - 300 = 575$ e $1075 + 300 = 1375$ ; só $3800 > 1375$ é outlier.

Média: $\bar{x} = \frac{14 350}{12} \approx 1195,83$ euros, superior a $10$ dos $12$ salários, por influência do outlier.

A mediana ( $965$ €) não é afetada pelo valor extremo e representa melhor o salário típico.

$P_{90} = 1200$ €; outlier: $3800$ €; a mediana ( $965$ €) descreve melhor o salário típico.

Cotações

Item	1	2	3	4.1	4.2	5	6	7
Cotação (pontos)	12	14	12	12	14	12	18	12
Dificuldade
Tipo	EM	RA	EM	RA	RA	EM	RA	EM

Item	8	9	10.1	10.2	11	12	13	Total
Cotação (pontos)	16	12	12	14	12	14	14	200
Dificuldade
Tipo	RA	EM	RA	RA	EM	RA	RA

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 6 itens – 72 pontos

Resposta aberta: 9 itens – 128 pontos

Por grau de dificuldade

Fácil 1 itens – 12 pontos

Médio 4 itens – 48 pontos

Difícil 10 itens – 140 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

Teste nº6 – Desafios de estatística II

Teste nº6

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

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