Teste nº5 – Coligações e métodos em confronto

Separados: A 27 300; 13 650; 9100; 6825; 5460; 4550; B $14100;7050;4700$; C $4600$; D $4000$. Os 7 maiores: 27 300, 14 100, 13 650, 9100, 7050, 6825, 5460 → A 5, B 2, C 0, D 0.

Coligados, C+D têm $8600$ votos, quociente que entra entre $9100$ e $7050$.

Os 7 maiores passam a ser 27 300, 14 100, 13 650, 9100, 8600, 7050, 6825 → A 4, B 2, coligação 1.

A coligação elege um deputado, que deixa de pertencer a A (o seu 5.º quociente, $5460$, sai).

Opção (B)

2.1.

Quocientes (a negrito os eleitos):

A: $\mathbf{28}\mathbf{100};\mathbf{14}\mathbf{050};\mathbf{9366}\mathbf{,}\mathbf{7};\mathbf{7025}$
B: $\mathbf{19}\mathbf{000};\mathbf{9500};\mathrm{6333,3};4750$
C: $\mathbf{10}\mathbf{700};5350;\mathrm{3566,7};2675$
D: $6200;3100;\mathrm{2066,7};1550$

Os sete maiores quocientes: $28100$ (A), $19000$ (B), $14050$ (A), $10700$ (C), $9500$ (B), $\mathrm{9366,7}$ (A), $7025$ (A).

A: 4; B: 2; C: 1; D: 0.

2.2.

A coligação teria $10700+6200=16900$ votos. Quocientes (a negrito os eleitos):

A: $\mathbf{28}\mathbf{100};\mathbf{14}\mathbf{050};\mathbf{9366}\mathbf{,}\mathbf{7};7025$
B: $\mathbf{19}\mathbf{000};\mathbf{9500};\mathrm{6333,3};4750$
C+D: $\mathbf{16}\mathbf{900};\mathbf{8450};\mathrm{5633,3};4225$

Os sete maiores: $28100$ (A), $19000$ (B), $16900$ (C+D), $14050$ (A), $9500$ (B), $\mathrm{9366,7}$ (A), $8450$ (C+D).

Coligados, C e D elegem $2$ deputados, mais do que $1+0=1$ quando separados (A passa de $4$ para $3$).

A coligação obtém $2$ mandatos, mais um do que C e D separados. No método de Hondt, os votos de D ($6200$) não chegavam para eleger e eram «desperdiçados»; somados aos de C, o 2.º quociente da coligação ($8450$) supera o 4.º quociente de A ($7025$). O método de Hondt favorece os partidos com mais votos, o que incentiva as coligações.

Quotas-padrão: A $\mathrm{0,462}\times 10=\mathrm{4,62}$; B $\mathrm{3,15}$; C $\mathrm{1,53}$; D $\mathrm{0,70}$.

Valores admissíveis: A $4$ ou $5$; B $3$ ou $4$; C $1$ ou $2$; D $0$ ou $1$.

Na opção (C), A recebe $6$ lugares, mais do que $5$, a sua quota arredondada por excesso; as outras opções respeitam a regra.

Opção (C)

4.1.

Quocientes, com divisores $1,3,5,7,9$ (a negrito os eleitos):

P: $\mathbf{38}\mathbf{900};\mathbf{12}\mathbf{966}\mathbf{,}\mathbf{7};\mathbf{7780};\mathbf{5557}\mathbf{,}\mathbf{1};\mathrm{4322,2}$
Q: $\mathbf{28}\mathbf{400};\mathbf{9466}\mathbf{,}\mathbf{7};\mathbf{5680};\mathrm{4057,1};\mathrm{3155,6}$
R: $\mathbf{9300};3100;1860;\mathrm{1328,6};\mathrm{1033,3}$
S: $\mathbf{5200};\mathrm{1733,3};1040;\mathrm{742,9};\mathrm{577,8}$

Os nove maiores: $38900$ (P), $28400$ (Q), $12\mathrm{966,7}$ (P), $\mathrm{9466,7}$ (Q), $9300$ (R), $7780$ (P), $5680$ (Q), $\mathrm{5557,1}$ (P), $5200$ (S).

O quociente seguinte é $\mathrm{4322,2}$ (P).

P: 4; Q: 3; R: 1; S: 1.

4.2.

Total de votos: $38900+28400+9300+5200=81800$. Quota-padrão $=9\times {\displaystyle \frac{\text{votos}}{81800}}$.

Quotas: P $\mathrm{4,280}$; Q $\mathrm{3,125}$; R $\mathrm{1,023}$; S $\mathrm{0,572}$.

Hondt: $|5-\mathrm{4,280}|+|3-\mathrm{3,125}|+|1-\mathrm{1,023}|+|0-\mathrm{0,572}|\approx \mathrm{1,44}$.

Sainte-Laguë: $|4-\mathrm{4,280}|+|3-\mathrm{3,125}|+|1-\mathrm{1,023}|+|1-\mathrm{0,572}|\approx \mathrm{0,86}$.

Como $\mathrm{0,86}<\mathrm{1,44}$, o método de Sainte-Laguë conduz, neste caso, a uma distribuição mais próxima da proporcionalidade.

O método de Hondt dá a P, o partido mais votado, $5$ dos $9$ mandatos (maioria absoluta) com apenas cerca de $\mathrm{47,6}\%$ dos votos: é menos proporcional, mas favorece maiorias estáveis e governabilidade.

Maioria simples: B $12$, A $9$, D $8$, C $5$; vence B (sem maioria absoluta, que exigiria $18$ votos).

Segunda volta entre B e A: preferem A a B os membros das colunas de $9$, $8$ e $5$ votos, isto é, $22$; preferem B os $12$ restantes. Vence A.

Borda: A $12\times 1+9\times 4+8\times 3+5\times 3=87$; B $12\times 4+9\times 1+8\times 1+5\times 1=70$.

C $12\times 3+9\times 3+8\times 2+5\times 4=99$; D $12\times 2+9\times 2+8\times 4+5\times 2=84$. Vence C.

Os vencedores são B, A e C, respetivamente: três vencedores diferentes.

Comentário: o resultado depende do método escolhido. B tem mais primeiros lugares mas é o último para $22$ membros; C quase não tem primeiros lugares, mas é bem aceite por todos (nunca fica em 4.º). Por isso, o método deve ser fixado antes da votação.

Seja $s$ o preço sem IVA. Preço atual: $\mathrm{1,13}s$; novo preço: $\mathrm{1,23}s$.

Aumento relativo: ${\displaystyle \frac{\mathrm{1,23}s-\mathrm{1,13}s}{\mathrm{1,13}s}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,10}}{\mathrm{1,13}}}\approx \mathrm{0,0885}$, isto é, cerca de $\mathrm{8,85}\%$.

$10\%$ é a diferença em pontos percentuais entre as taxas; $\mathrm{8,13}\%$ resulta de dividir $\mathrm{0,10}$ por $\mathrm{1,23}$.

Opção (B)

7.1.

Segurança Social: $\mathrm{0,11}\times 2350=\mathrm{258,50}$ €.

$2350$ € está no 4.º escalão: retenção $=2350\times \mathrm{0,335}-\mathrm{444,70}=\mathrm{787,25}-\mathrm{444,70}=\mathrm{342,55}$ €.

Salário líquido: $2350-\mathrm{258,50}-\mathrm{342,55}=\mathrm{1748,95}$ €.

O salário líquido é $\mathrm{1748,95}$ €.

7.2.

No 3.º escalão: $L(R)=R-\mathrm{0,11}R-(\mathrm{0,26}R-\mathrm{287,20})=R-\mathrm{0,11}R-\mathrm{0,26}R+\mathrm{287,20}$.

Logo, $L(R)=\mathrm{0,63}R+\mathrm{287,20}$, como se queria mostrar.

Nos limites do escalão: $L(\mathrm{1400,01})\approx \mathrm{1169,21}$ e $L(2100)=\mathrm{1610,20}$; como $1500$ está entre estes valores, a solução está no 3.º escalão.

$\mathrm{0,63}R+\mathrm{287,20}=1500$ ⇔ $R={\displaystyle \frac{\mathrm{1212,80}}{\mathrm{0,63}}}\approx \mathrm{1925,08}$.

O salário bruto deve ser $\mathrm{1925,08}$ €.

A taxa mensal $i$ é equivalente se $(1+i{)}^{12}=\mathrm{1,06}$.

$1+i=\sqrt[12]{\mathrm{1,06}}\approx \mathrm{1,00487}$, logo $i\approx \mathrm{0,49}\%$.

$\mathrm{0,50}\%=6\%:12$ seria a taxa proporcional, que dá uma taxa efetiva anual superior a $6\%$ ($1,{005}^{12}\approx \mathrm{1,0617}$).

Opção (B)

Banco P: taxa mensal ${\displaystyle \frac{\mathrm{3,6}\%}{12}}=\mathrm{0,3}\%$; num ano, o capital é multiplicado por $1,{003}^{12}$.

$1,{003}^{12}\approx \mathrm{1,03660}$, que corresponde a uma taxa anual efetiva de cerca de $\mathrm{3,66}\%$.

Banco Q: fator anual $\mathrm{1,0365}$. Como $\mathrm{1,03660}>\mathrm{1,0365}$, a aplicação do banco P é mais vantajosa (para qualquer prazo em anos completos).

Capital no banco P ao fim de $n$ meses: $C(n)=10000\times 1,{003}^n$. Representam-se $y=10000\times 1,{003}^x$ e $y=20000$, por exemplo em $[0;300]\times [9000;22000]$.

O ponto de interseção tem abcissa $x\approx \mathrm{231,4}$; como $n$ é inteiro, $C(231)\approx 19\mathrm{976,32}<20000$ e $C(232)\approx 20\mathrm{036,25}\ge 20000$.

O capital duplica ao fim de $232$ meses.

Ao fim de $12$ meses, uma dívida $D$ passa a $D\times 1,{009}^{12}$.

TAEG $=1,{009}^{12}-1\approx \mathrm{0,1135}$, isto é, cerca de $\mathrm{11,35}\%$.

$\mathrm{10,8}\%=12\times \mathrm{0,9}\%$ é a taxa nominal, que ignora a capitalização dos juros.

Opção (C)

Multiplicando ambos os membros por $(1+i{)}^2=x^2$ (que é positivo): $1200x^2=680x+680$.

Logo, $1200x^2-680x-680=0$, como se queria mostrar.

Fórmula resolvente: $x={\displaystyle \frac{680\pm \sqrt{{680}^2+4\times 1200\times 680}}{2\times 1200}}={\displaystyle \frac{680\pm \sqrt{3726400}}{2400}}$.

$\sqrt{3726400}\approx \mathrm{1930,39}$; como $x=1+i>0$, $x\approx {\displaystyle \frac{680+\mathrm{1930,39}}{2400}}\approx \mathrm{1,08766}$.

$i\approx \mathrm{0,08766}$. TAEG $\approx \mathrm{8,77}\%$.

Ao fim de $3$ anos, o salário é multiplicado por $1,{02}^3$ e os preços por $1,{03}^3$.

O poder de compra é proporcional a ${\displaystyle \frac{\text{salário}}{\text{preços}}}$, pelo que fica multiplicado por ${\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,02}}{\mathrm{1,03}}}\right)}^3$.

${\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,02}}{\mathrm{1,03}}}\right)}^3\approx \mathrm{0,9712}$, logo a variação é de cerca de $-\mathrm{2,88}\%$.

O poder de compra diminuiu cerca de $\mathrm{2,88}\%$, mais de $\mathrm{2,5}\%$. (Não basta subtrair as taxas: $3\times (3\%-2\%)=3\%$ é apenas uma aproximação.)