Teste nº3

Vetores no espaço, retas e superfície esférica

10.º ano – Matemática A – Tema 6 (Vetores no plano e no espaço)

Grau de dificuldade do teste: Médio

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 14 itens cotados (5 de escolha múltipla, 9 de resposta aberta)

Fácil 64

Médio 120

Difícil 16

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Fácil (12 pontos) Na figura, está representado o paralelepípedo retângulo $[A B C D E F G H]$ .
Qual é o vetor igual a $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E}$ ?

(A) $\vec{A C}$

(B) $\vec{A H}$

(C) $\vec{A G}$

(D) $\vec{B H}$

Resolução

Pela regra do paralelogramo, $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Como $\vec{A E} = \vec{C G}$ (arestas laterais paralelas, com o mesmo sentido e comprimento), $\vec{A C} + \vec{A E} = \vec{A C} + \vec{C G} = \vec{A G}$ (regra do triângulo).

A soma é a diagonal espacial com origem em $A$ . A opção (A) esquece a parcela $\vec{A E}$ .

Opção (C)

2Difícil (16 pontos) Na figura, está representado o triângulo $[A B C]$ . O ponto $P$ pertence ao lado $[B C]$ e é tal que $\overset{―}{B P} = 2 \overset{―}{P C}$ .
Mostre que $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ .

Resolução

Pela regra do triângulo, $\vec{A P} = \vec{A B} + \vec{B P}$ .

Como $P \in [B C]$ e $\overset{―}{B P} = 2 \overset{―}{P C}$ , tem-se $\overset{―}{B P} = \frac{2}{3} \overset{―}{B C}$ , e $\vec{B P}$ e $\vec{B C}$ têm o mesmo sentido; logo $\vec{B P} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ .

Por outro lado, $\vec{B C} = \vec{B A} + \vec{A C} = - \vec{A B} + \vec{A C}$ .

Então $\vec{A P} = \vec{A B} + \frac{2}{3} (- \vec{A B} + \vec{A C}) = \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ .

Logo, $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ , como se queria mostrar.

3Fácil (12 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere o ponto $A (1, - 2, 3)$ e o vetor $\vec{u} (2, 0, - 1)$ .
Quais são as coordenadas do ponto $B$ tal que $\vec{A B} = 3 \vec{u}$ ?

(A) $(6, 0, - 3)$

(B) $(7, - 2, 0)$

(C) $(- 5, - 2, 6)$

(D) $(3, - 2, 2)$

Resolução

$\vec{A B} = 3 \vec{u} \Leftrightarrow B = A + 3 \vec{u}$ .

$3 \vec{u} = (6, 0, - 3)$ , logo $B = (1 + 6, - 2 + 0, 3 - 3) = (7, - 2, 0)$ .

(A) é o próprio vetor $3 \vec{u}$ ; (C) corresponde a $A - 3 \vec{u}$ ; (D) a $A + \vec{u}$ .

Opção (B)

4Fácil (12 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere os vetores $\vec{u} (1, - 2, 2)$ e $\vec{v} (1, 4, - 1)$ .
Qual é o valor de $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖$ ?

(A) $5$

(B) $3 + 3 \sqrt{2}$

(C) $3$

(D) $9$

Resolução

$\vec{u} + \vec{v} = (1 + 1, - 2 + 4, 2 - 1) = (2, 2, 1)$ .

$‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9} = 3$ .

(B) é $‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖ = 3 + \sqrt{18}$ , que em geral é diferente de $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖$ ; (A) soma as coordenadas; (D) esquece a raiz quadrada.

Opção (C)

5Médio Na figura, está representado, num referencial o.n. $O x y z$ , o cubo $[O A B C D E F G]$ , de aresta $4$ . O vértice $O$ é a origem do referencial e os vértices $A$ , $C$ e $D$ pertencem, respetivamente, aos semieixos positivos $O x$ , $O y$ e $O z$ . O ponto $M$ é o ponto médio da aresta $[E F]$ .

5.1. Fácil (14 pontos) Determine as coordenadas do vetor $\vec{O M}$ , a sua norma e as coordenadas do ponto $P = C + \frac{1}{2} \vec{O M}$ .

5.2. Médio (16 pontos) Escreva uma equação vetorial da reta $C M$ e determine as coordenadas do ponto de interseção desta reta com o plano $x O z$ .

Resolução

5.1.

Tem-se $E (4, 0, 4)$ e $F (4, 4, 4)$ , logo $M = (4, \frac{0 + 4}{2}, 4) = (4, 2, 4)$ .

$\vec{O M} = M - O = (4, 2, 4)$ e $‖ \vec{O M} ‖ = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$ .

$C (0, 4, 0)$ e $\frac{1}{2} \vec{O M} = (2, 1, 2)$ , logo $P = (0 + 2, 4 + 1, 0 + 2) = (2, 5, 2)$ .

$\vec{O M} = (4, 2, 4)$ , $‖ \vec{O M} ‖ = 6$ , $P (2, 5, 2)$

5.2.

$\vec{C M} = M - C = (4, 2 - 4, 4 - 0) = (4, - 2, 4)$ .

$C M : (x, y, z) = (0, 4, 0) + k (4, - 2, 4), k \in ℝ$ .

Um ponto genérico da reta é $(4 k, 4 - 2 k, 4 k)$ . O plano $x O z$ tem equação $y = 0$ : $4 - 2 k = 0 \Leftrightarrow k = 2$ .

Para $k = 2$ : $(8, 0, 8)$ .

$(x, y, z) = (0, 4, 0) + k (4, - 2, 4), k \in ℝ$ ; ponto $(8, 0, 8)$

6Médio (14 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere os pontos $A (2, - 1, 3)$ , $B (4, 3, - 1)$ e $D (5, 5, - 3)$ .
Mostre que os pontos $A$ , $B$ e $D$ são colineares e determine o número real $λ$ tal que $\vec{A D} = λ \vec{A B}$ .

Resolução

$\vec{A B} = B - A = (2, 4, - 4)$ e $\vec{A D} = D - A = (3, 6, - 6)$ .

$\frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{- 6}{- 4} = \frac{3}{2}$ : as coordenadas são proporcionais.

Logo $\vec{A D} = \frac{3}{2} \vec{A B}$ ; os vetores são colineares e têm o ponto $A$ em comum, pelo que $A$ , $B$ e $D$ pertencem à mesma reta.

Os pontos são colineares e $λ = \frac{3}{2}$

7Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere os vetores $\vec{u} (2, a, - 4)$ e $\vec{v} (- 1, 3, b)$ , com $a, b \in ℝ$ .
Para que valores de $a$ e de $b$ os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são colineares?

(A) $a = 6$ e $b = - 2$

(B) $a = - 6$ e $b = 2$

(C) $a = - 6$ e $b = - 2$

(D) $a = 6$ e $b = 2$

Resolução

$\vec{u}$ e $\vec{v}$ são colineares se existir $λ$ tal que $\vec{u} = λ \vec{v}$ .

Primeira coordenada: $2 = λ \times (- 1) \Leftrightarrow λ = - 2$ .

Segunda: $a = - 2 \times 3 = - 6$ . Terceira: $- 4 = - 2 b \Leftrightarrow b = 2$ .

Nas restantes opções, os quocientes das coordenadas não são todos iguais a $- 2$ .

Opção (B)

8Médio (16 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , considere os pontos $A (- 1, 4)$ e $B (3, - 2)$ .
Escreva uma equação vetorial da reta $A B$ , determine a sua equação reduzida e as coordenadas do ponto de interseção da reta $A B$ com o eixo $O x$ .

Resolução

$\vec{A B} = (4, - 6)$ , logo $A B : (x, y) = (- 1, 4) + k (4, - 6), k \in ℝ$ .

Declive: $m = \frac{- 6}{4} = - \frac{3}{2}$ .

$y - 4 = - \frac{3}{2} (x + 1) \Leftrightarrow y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} + 4 \Leftrightarrow y = - \frac{3}{2} x + \frac{5}{2}$ . (Verificação com $B$ : $- \frac{9}{2} + \frac{5}{2} = - 2$ .)

Eixo $O x$ ( $y = 0$ ): $- \frac{3}{2} x + \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3}$ .

$(x, y) = (- 1, 4) + k (4, - 6), k \in ℝ$ ; $y = - \frac{3}{2} x + \frac{5}{2}$ ; ponto $(\frac{5}{3}, 0)$

9Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere a reta $r$ definida por $(x, y, z) = (0, 1, - 1) + k (1, - 2, 3), k \in ℝ$ .
Qual dos pontos seguintes pertence à reta $r$ ?

(A) $(1, 3, 2)$

(B) $(2, - 3, 4)$

(C) $(1, - 1, 2)$

(D) $(- 1, 3, 2)$

Resolução

Os pontos de $r$ são da forma $(k, 1 - 2 k, - 1 + 3 k)$ ; a primeira coordenada dá diretamente o valor de $k$ .

(A) $k = 1$ : $(1, - 1, 2) \neq (1, 3, 2)$ . (B) $k = 2$ : $(2, - 3, 5) \neq (2, - 3, 4)$ .

Opção (C)

10Médio (16 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere a reta $r$ definida por $(x, y, z) = (1, - 2, 3) + k (2, 1, - 1), k \in ℝ$ .
Verifique se o ponto $P (- 3, - 4, 5)$ pertence à reta $r$ e determine as coordenadas do ponto de interseção de $r$ com o plano $x O y$ .

Resolução

Ponto genérico de $r$ : $(1 + 2 k, - 2 + k, 3 - k)$ .

$P \in r$ : $1 + 2 k = - 3 \Leftrightarrow k = - 2$ ; $- 2 + k = - 4 \Leftrightarrow k = - 2$ ; $3 - k = 5 \Leftrightarrow k = - 2$ . O mesmo valor de $k$ , logo $P$ pertence a $r$ .

Plano $x O y$ : $z = 0 \Leftrightarrow 3 - k = 0 \Leftrightarrow k = 3$ .

Para $k = 3$ : $(1 + 6, - 2 + 3, 0) = (7, 1, 0)$ .

$P \in r$ ( $k = - 2$ ); interseção com $x O y$ : $(7, 1, 0)$

11Médio Num referencial o.n. $O x y z$ , considere o ponto $C (1, 2, - 1)$ e a superfície esférica $S$ de centro $C$ que passa no ponto $A (3, 1, 1)$ .

11.1. Fácil (14 pontos) Escreva uma equação da superfície esférica $S$ .

11.2. Médio (16 pontos) Considere a reta $s$ definida por $(x, y, z) = (1, 2, 2) + k (2, - 1, - 1), k \in ℝ$ .
Determine as coordenadas dos pontos de interseção da reta $s$ com a superfície esférica $S$ .

Resolução

11.1.

O raio é $\overset{―}{C A} = ‖ \vec{C A} ‖$ , com $\vec{C A} = (2, - 1, 2)$ .

$\overset{―}{C A} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ .

Equação da superfície esférica de centro $(a, b, c)$ e raio $r$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}$ .

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 9$

11.2.

Ponto genérico de $s$ : $(1 + 2 k, 2 - k, 2 - k)$ .

Substituindo na equação de $S$ : $(2 k)^{2} + (- k)^{2} + (3 - k)^{2} = 9$ .

$4 k^{2} + k^{2} + 9 - 6 k + k^{2} = 9 \Leftrightarrow 6 k^{2} - 6 k = 0 \Leftrightarrow 6 k (k - 1) = 0 \Leftrightarrow k = 0 \lor k = 1$ .

$k = 0$ : $(1, 2, 2)$ ; $k = 1$ : $(3, 1, 1)$ .

$(1, 2, 2)$ e $(3, 1, 1)$

12Médio (18 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ (unidade: metro), o plano $x O y$ representa o solo, horizontal. Um drone levanta voo do ponto $A (2, 1, 0)$ e desloca-se em linha reta, com velocidade constante. Um segundo após a partida, encontra-se no ponto $(4, 3, 1)$ .
Mostre que o drone, mantendo esta trajetória, passa no ponto $B (20, 19, 9)$ e determine quanto tempo demora a chegar a $B$ e a distância, em metros, que percorre desde a partida até $B$ .

Resolução

Em cada segundo o drone desloca-se segundo o vetor $\vec{v} = (4, 3, 1) - (2, 1, 0) = (2, 2, 1)$ ; a sua posição ao fim de $t$ segundos é $P (t) = (2, 1, 0) + t (2, 2, 1), t \geq 0$ .

$\vec{A B} = (18, 18, 9) = 9 (2, 2, 1)$ , logo $B = P (9)$ : o drone passa em $B$ ao fim de $9$ segundos.

Distância percorrida: $‖ \vec{A B} ‖ = \sqrt{18^{2} + 18^{2} + 9^{2}} = \sqrt{729} = 27$ m.

(Confirmação: a velocidade é $‖ \vec{v} ‖ = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ m/s e $9 \times 3 = 27$ .)

Passa em $B$ ao fim de 9 segundos, depois de percorrer 27 metros.

Cotações

Item	1	2	3	4	5.1	5.2	6	7
Cotação (pontos)	12	16	12	12	14	16	14	12
Dificuldade
Tipo	EM	RA	EM	EM	RA	RA	RA	EM

Item	8	9	10	11.1	11.2	12	Total
Cotação (pontos)	16	12	16	14	16	18	200
Dificuldade
Tipo	RA	EM	RA	RA	RA	RA

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 5 itens – 60 pontos

Resposta aberta: 9 itens – 140 pontos

Por grau de dificuldade

Fácil 5 itens – 64 pontos

Médio 8 itens – 120 pontos

Difícil 1 itens – 16 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

Teste nº3 – Vetores no espaço, retas e superfície esférica

Teste nº3

10.º ano – Matemática A – Tema 6 (Vetores no plano e no espaço)

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