Ficha de exames nº7

Provas de 2022–2024

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 2 fáceis12 médios1 difícil

1Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2022, 1.ª fase, item 8

A tabela indica a idade, à data da inauguração (3 de janeiro de 2015), dos funcionários de uma agência, que lá continuavam a trabalhar a 3 de janeiro de 2018.

Idade (anos)	20	22	26	31	40
N.º de funcionários	1	3	2	$b$	2

A 3 de janeiro de 2018, a média das idades destes funcionários era $31,5$ anos. Quantos funcionários tinham $31$ anos na inauguração?

Resolução

De 2015 para 2018 todos envelheceram $3$ anos, por isso a média em 2015 era $31,5 - 3 = 28,5$ anos.

Há $8 + b$ funcionários e a soma das idades em 2015 é $20 + 66 + 52 + 31 b + 80 = 218 + 31 b$ .

$\frac{218 + 31 b}{8 + b} = 28,5 \Leftrightarrow 218 + 31 b = 228 + 28,5 b \Leftrightarrow 2,5 b = 10$ .

$b = 4$ : quatro funcionários tinham $31$ anos.

2Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2022, 1.ª fase, item 5

Numa escola, registou-se a massa, em quilogramas, das mochilas dos alunos do 2.º ano. Os resultados foram organizados no histograma cujos dados se apresentam na tabela seguinte.

Massa (kg)	[0; 0,5[	[0,5; 1[	[1; 1,5[	[1,5; 2[	[2; 2,5[	[2,5; 3[	[3; 3,5[
N.º de alunos	3	14	8	17	5	5	6

Determine o valor médio da massa das mochilas, em quilogramas, arredondado às centésimas.

Resolução

Com dados agrupados em classes, usamos as marcas de classe (pontos médios): 0,25; 0,75; 1,25; 1,75; 2,25; 2,75; 3,25.

Número total de alunos: $n = 3 + 14 + 8 + 17 + 5 + 5 + 6 = 58$ .

$\sum x_{i} f_{i} = 0,25 \times 3 + 0,75 \times 14 + 1,25 \times 8 + 1,75 \times 17 + 2,25 \times 5 + 2,75 \times 5 + 3,25 \times 6 = 0,75 + 10,5 + 10 + 29,75 + 11,25 + 13,75 + 19,5 = 95,5$ .

$\bar{x} = \frac{95,5}{58} \approx 1,6466$ .

O valor médio da massa das mochilas é aproximadamente 1,65 kg.

3Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2022, 2.ª fase, item 6

Um parque de campismo tem $380$ lugares: $175$ para tendas, $80$ para autocaravanas e $125$ para automóveis. Durante uma semana estiveram sempre ocupados os mesmos $200$ lugares; num gráfico circular desses $200$ lugares ocupados, as tendas correspondem a $70 %$ , e sabe-se que estavam ocupados $20$ lugares de autocaravanas. Determine a percentagem de lugares para automóveis que estavam ocupados.

Resolução

Lugares de tendas ocupados: $0,70 \times 200 = 140$ .

Lugares de automóveis ocupados: $200 - 140 - 20 = 40$ .

Percentagem em relação aos lugares para automóveis: $\frac{40}{125} = 0,32$ .

Estavam ocupados $32 %$ dos lugares para automóveis.

4Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2022, 2.ª fase, itens 7.1 e 7.2

O grupo A tem $14$ pessoas; a média das suas idades é $20$ anos e a amplitude é $19$ anos.

a) Qual dos diagramas de caule e folhas (caule: dezenas; folhas: unidades) pode representar as idades do grupo A?

(A) 1 | 8 8 8 8 9 9; 2 | 0 0 0 0 0 0 0; 3 | 0

(B) 1 | 2 2 3 3 5 5 5; 2 | 0 1 2; 3 | 0 0 1 1

(C) 1 | 4 6; 2 | 0 2; 3 | 1 2 2 5 5 6 6 6 7 9

(D) 1 | 2 2 2 3 3 5 5 7 8 9; 2 | 1 1 2; 3 | 1

b) Ao grupo A junta-se o grupo B, cuja média das idades é $18$ anos. A média das idades de todas as pessoas passa a ser $18,7$ anos. Quantas pessoas tem o grupo B?

Resolução

a) (A): soma $280$ , média $20$ , mas amplitude $30 - 18 = 12$ . (C): média $\approx 30,1$ . (D): soma $241$ , média $\approx 17,2$ .

a) (B): soma $12 + 12 + 13 + 13 + 15 + 15 + 15 + 20 + 21 + 22 + 30 + 30 + 31 + 31 = 280$ , média $280 : 14 = 20$ e amplitude $31 - 12 = 19$ . Opção (B).

b) Seja $x$ o número de pessoas do grupo B: $\frac{14 \times 20 + 18 x}{14 + x} = 18,7$ .

b) $280 + 18 x = 261,8 + 18,7 x \Leftrightarrow 18,2 = 0,7 x \Leftrightarrow x = 26$ . O grupo B tem $26$ pessoas.

5Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2022, 2.ª fase, item 1

A Inês usa uma aplicação para registar a distância percorrida, $x$ , em quilómetros, e a energia gasta, $y$ , em calorias, nos seus treinos de corrida. Num dos treinos, a aplicação falhou, mas a Inês sabe que correu 9 km. Os registos dos restantes treinos estão na tabela seguinte.

Distância, km (x)	5	6,5	7	7,7	8	8,6	9,4
Energia, calorias (y)	340	450	478	515	550	580	630

Admita que o modelo de regressão linear de $y$ sobre $x$ é válido. Estime a energia gasta pela Inês no treino em que correu 9 km.
Apresente os parâmetros da reta arredondados às centésimas e o resultado arredondado às unidades.

Resolução

Introduzimos as distâncias em L1 e as energias em L2 e efetuamos a regressão linear $y = a x + b$ .

Obtemos $a \approx 65,56$ e $b \approx 17,27$ .

Reta de regressão: $y = 65,56 x + 17,27$ .

Para $x = 9$ : $y = 65,56 \times 9 + 17,27 = 590,04 + 17,27 = 607,31$ .

A Inês gastou cerca de 607 calorias.

6Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2022, época especial, item 2

Num quiosque de uma praça, vendem-se gelados artesanais. A tabela seguinte apresenta a temperatura máxima, $x$ , em graus Celsius, registada na localidade em alguns dias e o número de gelados vendidos, $y$ , em cada um desses dias.

Temperatura máxima, °C (x)	26	31	33	25	28	24	27
N.º de gelados vendidos (y)	81	150	160	80	100	86	98

Admita que o modelo de regressão linear de $y$ sobre $x$ é válido. Estime o número de gelados vendidos num dia em que a temperatura máxima seja de 35 °C.
Apresente os parâmetros da reta arredondados às décimas e o resultado arredondado às unidades.

Resolução

Introduzimos as temperaturas em L1 e o número de gelados em L2 e efetuamos a regressão linear $y = a x + b$ .

Obtemos $a \approx 9,8$ e $b \approx - 163,8$ .

Reta de regressão: $y = 9,8 x - 163,8$ .

Para $x = 35$ : $y = 9,8 \times 35 - 163,8 = 343 - 163,8 = 179,2$ .

Estimativa: cerca de 179 gelados.

7Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2023, 1.ª fase, itens 8.1, 8.2 e 8.3

As festas de uma freguesia duraram $14$ dias seguidos, de domingo, dia $7$ , a sábado, dia $20$ . A tabela apresenta, para a primeira semana, as temperaturas mínima e máxima (em °C) e a precipitação diária (em mm).

Dia	Dom. 7	Seg. 8	Ter. 9	Qua. 10	Qui. 11	Sex. 12	Sáb. 13
Temp. mínima (°C)	16	15	16	16	15	15	14
Temp. máxima (°C)	26	23	28	29	29	28	26
Precipitação (mm)	1	0,5	0,1	0,2	0	0,3	3

a) Calcule, para cada dia de segunda a sábado, a variação da temperatura máxima em relação ao dia anterior e represente-a num gráfico de barras.

b) Indique a que conjunto de dados (temperatura mínima, temperatura máxima ou precipitação) se refere cada afirmação: (1) a média é inferior à mediana; (2) o primeiro quartil é igual à mediana; (3) entre dois dias consecutivos, são os únicos valores que diminuem, enquanto os dos outros conjuntos aumentam; (4) não tem moda; (5) é o conjunto com menor dispersão em torno da média; (6) a amplitude é $6$ ; (7) menos de $30 %$ dos dados são superiores à média.

c) Na segunda semana, a temperatura máxima de cada dia foi inferior à do mesmo dia da semana anterior, sempre no mesmo valor. A média das temperaturas máximas dos $14$ dias foi $25,5$ °C. Quantos graus desceu a temperatura máxima entre o domingo $7$ e o domingo $14$ ?

Resolução

a) Variações: seg. $23 - 26 = - 3$ ; ter. $28 - 23 = 5$ ; qua. $29 - 28 = 1$ ; qui. $29 - 29 = 0$ ; sex. $28 - 29 = - 1$ ; sáb. $26 - 28 = - 2$ . Variações: $- 3; 5; 1; 0; - 1; - 2$ (barras abaixo do eixo nos valores negativos).

b) Temp. mínima ordenada: $14, 15, 15, 15, 16, 16, 16$ → mediana $15$ , $Q_{1} = 15$ (afirmação 2); desvio-padrão $\approx 0,70$ , o menor dos três (afirmação 5).

b) Temp. máxima ordenada: $23, 26, 26, 28, 28, 29, 29$ → média $189 : 7 = 27 < 28 =$ mediana (afirmação 1); amplitude $29 - 23 = 6$ (afirmação 6).

b) Precipitação: todos os valores diferentes (sem moda, afirmação 4); média $5,1 : 7 \approx 0,73$ mm e só $1$ e $3$ a superam: $2 / 7 \approx 28,6 % < 30 %$ (afirmação 7); de segunda para terça desce ( $0,5 \to 0,1$ ) enquanto as temperaturas sobem (afirmação 3).

b) Mínima: 2 e 5; Máxima: 1 e 6; Precipitação: 3, 4 e 7.

c) Soma das máximas da 1.ª semana: $189$ ; média $27$ . Seja $x$ a descida diária: a soma da 2.ª semana é $189 - 7 x$ .

c) $\frac{189 + 189 - 7 x}{14} = 25,5 \Leftrightarrow 378 - 7 x = 357 \Leftrightarrow x = 3$ .

c) A temperatura máxima desceu $3$ °C.

8Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2023, 1.ª fase, item 2

A tabela seguinte indica, para algumas macieiras de um pomar, o número de maçãs produzidas por cada macieira, $x$ , e o peso médio dessas maçãs, $y$ , em gramas, na colheita de 2022.

N.º de maçãs (x)	318	661	530	214	360	114	632	483	93	470
Peso médio, g (y)	163,87	94,72	106,58	166,75	148,08	212,06	134,91	115,02	226,40	139,72

Admita que o modelo de regressão linear de $y$ sobre $x$ é adequado. Estime o peso médio das maçãs de uma outra macieira do pomar que produziu 160 maçãs.
Apresente os parâmetros da reta arredondados às milésimas e o resultado, em gramas, arredondado às décimas.

Resolução

Introduzimos os valores de $x$ em L1 e os de $y$ em L2 e efetuamos a regressão linear $y = a x + b$ .

Obtemos $a \approx - 0,197$ e $b \approx 227,119$ (o declive é negativo: quanto mais maçãs, menor o peso médio).

Reta de regressão: $y = - 0,197 x + 227,119$ .

Para $x = 160$ : $y = - 0,197 \times 160 + 227,119 = - 31,52 + 227,119 = 195,599$ .

O peso médio estimado é cerca de 195,6 g.

9Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2023, 2.ª fase, itens 7.1.1, 7.1.2 e 7.2

Uma empresa pediu aos clientes que dissessem, numa escala de $0$ a $10$ , se a recomendariam. Classificações $9$ ou $10$ : promotores; $7$ ou $8$ : neutros; $0$ a $6$ : detratores. O índice NPS é

$NPS = % promotores - % detratores .$

A satisfação está na zona de excelência se o NPS for pelo menos $75$ (ou, usando a média das classificações, se esta for pelo menos $9$ ). A tabela mostra as respostas de $1080$ clientes.

Classificação	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N.º de clientes	0	34	25	9	0	22	30	124	170	369	297

a) Mostre que a satisfação não está na zona de excelência, quer pela média das classificações quer pelo NPS. Conserve duas casas decimais nos cálculos intermédios.

b) Determine: a moda das classificações dos detratores; a percentagem de neutros (arredondada às unidades); a mediana das $1080$ classificações; a amplitude, em graus, de cada setor de um gráfico circular com detratores, neutros e promotores.

c) Noutra amostra de $1000$ clientes, $723$ são promotores e $8 %$ são detratores. Qual o número mínimo de neutros que teriam de passar a promotores para a empresa atingir a zona de excelência?

Resolução

a) Média: $\bar{x} = \frac{1 \times 34 + 2 \times 25 + 3 \times 9 + 5 \times 22 + 6 \times 30 + 7 \times 124 + 8 \times 170 + 9 \times 369 + 10 \times 297}{1080} = \frac{8920}{1080} \approx 8,26 < 9$ .

a) Detratores: $120$ ( $11,11 %$ ); promotores: $369 + 297 = 666$ ( $61,67 %$ ). $NPS = 61,67 - 11,11 = 50,56 < 75$ . Em nenhum dos critérios está na zona de excelência.

b) Entre os detratores, a classificação mais frequente é $1$ ( $34$ clientes): moda $= 1$ . Neutros: $124 + 170 = 294$ , $294 / 1080 \approx 27 %$ .

b) Mediana: média dos valores nas posições $540$ e $541$ . Frequências acumuladas: até $6$ : $120$ ; até $7$ : $244$ ; até $8$ : $414$ ; até $9$ : $783$ . Ambas as posições têm classificação $9$ : mediana $= 9$ .

b) Setores: detratores $\frac{120}{1080} \times 360 ° = 40 °$ ; neutros $98 °$ ; promotores $222 °$ . Moda $1$ ; $27 %$ ; mediana $9$ ; $40 °$ , $98 °$ e $222 °$ .

c) Seja $p$ a proporção de promotores necessária: $p - 0,08 \geq 0,75 \Leftrightarrow p \geq 0,83$ , ou seja, pelo menos $830$ promotores.

c) $830 - 723 = 107$ . Teriam de passar a promotores, no mínimo, $107$ neutros.

10Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2023, 2.ª fase, item 5

A tabela seguinte apresenta a produção total acumulada de batata de sequeiro em Portugal continental, em toneladas, desde o início de 2017 até ao final de cada ano (dados do INE).

Ano	2017	2018	2019	2020	2021
Produção acumulada (t)	8811	17 344	28 617	38 972	49 566

Para 2022, o INE previa uma redução de 15 % da produção anual em relação à de 2021.
Determine o valor da produção anual de batata de sequeiro prevista para 2022, em milhares de toneladas, arredondado às unidades de milhar.

Resolução

A produção anual de 2021 é a diferença entre os valores acumulados até 2021 e até 2020: $49 566 - 38 972 = 10 594$ toneladas.

Uma redução de 15 % corresponde a manter 85 % do valor: $0,85 \times 10 594 = 9004,9$ toneladas.

Em milhares de toneladas: $9,0049 \approx 9$ .

A produção prevista para 2022 era de cerca de 9 milhares de toneladas.

11Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2024, 1.ª fase, item 6

Num gráfico de barras está representada a distribuição das classificações finais na disciplina de Português dos 20 alunos de uma turma, em frequências relativas. Os dados estão na tabela seguinte.

Classificação (valores)	8	10	12	13	14	17	20
Frequência relativa	5%	15%	10%	20%	25%	20%	5%

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.
Na turma, há I alunos com classificação final inferior a 13 valores. A mediana da distribuição das classificações finais é II valores. A classificação média final é III valores e o desvio-padrão desta distribuição, arredondado às décimas, é IV valores.
I: a) 4 b) 6 c) 10
II: a) 12,5 b) 13 c) 13,5
III: a) 13,4 b) 13,6 c) 13,8
IV: a) 2,9 b) 3,8 c) 4,1

Resolução

Com 20 alunos, cada $5 %$ corresponde a 1 aluno. Frequências absolutas: 8 → 1; 10 → 3; 12 → 2; 13 → 4; 14 → 5; 17 → 4; 20 → 1 (total 20).

I: classificação inferior a 13: $1 + 3 + 2 = 6$ alunos → b).

II: $n = 20$ é par; a mediana é a média dos 10.º e 11.º dados ordenados. As posições 7 a 10 têm 13 e as posições 11 a 15 têm 14, logo $\tilde{x} = \frac{13 + 14}{2} = 13,5$ → c).

III: $\bar{x} = \frac{8 \times 1 + 10 \times 3 + 12 \times 2 + 13 \times 4 + 14 \times 5 + 17 \times 4 + 20 \times 1}{20} = \frac{272}{20} = 13,6$ → b).

IV: $\sum n_{i} (x_{i} - \bar{x})^{2} = 31,36 + 38,88 + 5,12 + 1,44 + 0,8 + 46,24 + 40,96 = 164,8$ ; $s = \sqrt{\frac{164,8}{19}} \approx 2,9$ (com a calculadora, $s \approx 2,945$ ) → a).

Resposta: I – b); II – c); III – b); IV – a).

12Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2024, 1.ª fase, item 4

A tabela seguinte apresenta, para alguns anos, o número de colmeias e cortiços, $x$ , em milhares, e a produção de mel, $y$ , em toneladas, em Portugal.

Ano	Colmeias e cortiços, em milhares (x)	Produção de mel, em t (y)
1989	366	3280
1993	295	4196
1995	244	3600
1997	239	3690
1999	285	4465
2003	228	7310
2005	188	5686
2007	164	6908
2009	196	6919

A partir destes dados obteve-se um modelo de regressão linear de $y$ sobre $x$ . Considere a afirmação seguinte:
«Em 2016, existiam 179 milhares de colmeias e cortiços e foram produzidas 14 246 toneladas de mel; a produção real foi, aproximadamente, 2,2 vezes a estimada pelo modelo.»
Justifique que a afirmação é verdadeira. Apresente os parâmetros da reta de regressão arredondados às centésimas.

Resolução

Introduzimos os valores de $x$ em L1 e os de $y$ em L2 e efetuamos a regressão linear $y = a x + b$ .

Obtemos $a \approx - 18,78$ e $b \approx 9718,29$ , ou seja, $y = - 18,78 x + 9718,29$ .

Para $x = 179$ : $y = - 18,78 \times 179 + 9718,29 = - 3361,62 + 9718,29 = 6356,67$ toneladas (estimativa do modelo).

Quociente entre a produção real e a estimada: $\frac{14 246}{6356,67} \approx 2,24 \approx 2,2$ .

A produção real em 2016 foi cerca de 2,2 vezes a estimada pelo modelo, pelo que a afirmação é verdadeira.

13Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2024, 2.ª fase, item 6.1

Num jogo de equipas, registou-se em cinco meses o número de equipas participantes ( $x$ ) e o número de equipas que concluíram o jogo ( $y$ ).

Mês	1.º	2.º	3.º	4.º	5.º
Participantes ( $x$ )	55	75	100	125	125
Concluíram ( $y$ )	24	30	44	62	50

Admita que a relação é bem modelada pela reta de regressão linear de $y$ sobre $x$ . Estime o número de equipas que concluiriam o jogo num mês com $80$ equipas participantes. Apresente a equação da reta com coeficientes arredondados às milésimas e o resultado arredondado às unidades.

Resolução

Na calculadora: L1 $= {55, 75, 100, 125, 125}$ , L2 $= {24, 30, 44, 62, 50}$ .

Médias: $\bar{x} = 96$ , $\bar{y} = 42$ ; regressão linear (mínimos quadrados): $a \approx 0,474$ , $b \approx - 3,487$ ( $r \approx 0,96$ , correlação positiva forte).

Reta: $y = 0,474 x - 3,487$ .

Para $x = 80$ : $y = 0,474 \times 80 - 3,487 \approx 34,4$ .

Estima-se que cerca de $34$ equipas concluam o jogo.

14Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2024, 2.ª fase, item 6.2

A tabela mostra a idade dos capitães de $75$ equipas, conforme a equipa concluiu ou não o jogo.

Idade (anos)	Concluíram	Não concluíram	Total
[18, 28[	6	9	15
[28, 38[	3	15	18
[38, 48[	21	21	42
Total	30	45	75

Indique a que classe etária — (a) $[18, 28 [$ , (b) $[28, 38 [$ , (c) $[38, 48 [$ — corresponde cada afirmação: (1) entre as equipas que concluíram, é a classe com menos capitães; (2) contém $56 %$ de todos os capitães; (3) contém um quinto dos capitães das equipas que não concluíram; (4) é a classe com maior diferença entre o número de capitães das equipas que concluíram e das que não concluíram; (5) é a classe modal de todos os capitães; (6) é a classe mediana de todos os capitães; (7) contém o primeiro quartil das idades dos capitães das equipas que não concluíram.

Resolução

(1) Concluíram: $6, 3, 21$ → menor em $[28, 38 [$ . (4) Diferenças: $3$ , $12$ , $0$ → maior em $[28, 38 [$ .

(2) $42 / 75 = 0,56 = 56 %$ → $[38, 48 [$ ; (5) a classe com mais capitães ( $42$ ) também é $[38, 48 [$ .

(3) $45 : 5 = 9$ → $[18, 28 [$ .

(6) Mediana de $75$ dados: $38 . º$ valor; acumuladas $15, 33, 75$ → $[38, 48 [$ . (7) $Q_{1}$ dos $45$ não concluintes: $\approx 11 . º$ / $12 . º$ valor; acumuladas $9, 24$ → $[28, 38 [$ .

(a) → 3; (b) → 1, 4 e 7; (c) → 2, 5 e 6.

15Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2024, 2.ª fase, item 7.1

Registou-se o tempo (em minutos) que as equipas que concluíram um jogo demoraram a fazê-lo. A tabela de frequências está incompleta ( $n_{i}$ : frequência absoluta; $f_{i}$ : frequência relativa simples, em %; $F_{i}$ : frequência relativa acumulada, em %).

Tempo (min)	$n_{i}$	$f_{i}$ (%)	$F_{i}$ (%)
[0, 10[	$x$		12,5
[10, 20[		$y$	52,5
[20, 30[			60
[30, 40[	12		70
[40, 50[			$z$
[50, 60[		7,5	100

Indique o tipo de variável em estudo e determine os valores de $x$ , $y$ e $z$ .

Resolução

O tempo é medido numa escala contínua: variável quantitativa contínua.

$y = 52,5 - 12,5 = 40$ .

$z = 100 - 7,5 = 92,5$ .

Na classe $[30, 40 [$ : $f = 70 - 60 = 10 %$ , que corresponde a $12$ equipas; logo o total é $12 : 0,10 = 120$ equipas.

$x = 0,125 \times 120 = 15$ .

Quantitativa contínua; $x = 15$ , $y = 40$ , $z = 92,5$ .

Ficha de exames nº7 – Estatística (2022–2024)

Ficha de exames nº7

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

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