Resumo nº2 – Reta de Euler e circunferência dos nove pontos

💡 Ideia principal

Reta de Euler. Em qualquer triângulo não equilátero, o circuncentro $O$, o baricentro $G$ e o ortocentro $H$ estão alinhados. A reta que os contém chama-se reta de Euler, e verifica-se $\overline{HG}=2\overline{GO}$.

📌 Circunferência dos nove pontos

Passa pelos pontos médios dos três lados, pelos pés das três alturas e pelos pontos médios dos segmentos que unem cada vértice ao ortocentro.

O seu centro $N$ é o ponto médio de $[OH]$ (pertence à reta de Euler).

O seu raio é metade do raio $R$ da circunferência circunscrita.

✏️ Exemplo

Para $A(-3,0)$, $B(3,0)$ e $C(1,4)$: $O(0,1)$, $G({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{4}{3}})$ e $H(1,2)$. Os três pontos estão na reta $y=x+1$. $R=\overline{OA}=\sqrt{10}$; centro dos nove pontos $N({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}})$ e raio ${\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$.

✅ Euler (século XVIII) descobriu o alinhamento de $O$, $G$ e $H$; a circunferência dos nove pontos foi estudada por Feuerbach e outros matemáticos no século XIX.