Ficha de exames nº5 – Modelos matemáticos para a cidadania (2021–2024)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

1Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2021, 1.ª fase, itens 1.1 e 1.2 (1.2 adaptado: método de Hondt em vez do método de divisor com quotas inferiores do original, que conduz ao mesmo resultado)

Na eleição da equipa diretiva de uma empresa, os acionistas votaram em quatro listas. Foram validamente expressos $7200$ votos, assim distribuídos:

a) Os votos validamente expressos representam $96\%$ dos votos apurados e a abstenção foi de $20\%$. Quantos acionistas podiam votar? (A) $7500$ (B) $9000$ (C) $9375$ (D) $37500$

b) A equipa diretiva tem $24$ elementos. Determine quantos elementos elege cada lista pelo método de Hondt.

c) Calcule o divisor padrão ($7200:24$) e as quotas de cada lista, e verifique que, com o divisor $280$, a soma das partes inteiras das quotas é $24$ e coincide com o resultado da alínea b).

2Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2021, 1.ª fase, item 5

Uma aplicação de pagamentos permite pagar compras em $2$ a $12$ prestações mensais. O valor de cada prestação, $P$ (em euros, arredondado às unidades), é

$$P=\frac{VF\times i}{1-(1+i{)}^{-n}}$$

em que $VF$ é o valor financiado, $i$ a taxa de juro mensal (em dízima) e $n$ o número de prestações.
O Tiago quer financiar um telemóvel de $500$ €, com uma taxa mensal de $3\%$; pode pagar, no máximo, $75$ € por mês e quer pagar o menor total possível. Escreva a expressão de $P$ neste contexto, construa uma tabela com a prestação e o valor total pago para cada $n$ e indique quantas prestações escolhe o Tiago.

3Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2021, 2.ª fase, item 2

Vão ser distribuídos $10$ convites por quatro grupos de alunos Erasmus+, B, C, P e R, de acordo com o número de alunos de cada grupo em 2019 (total $2500$).

Método 1 (Hondt): divide-se o número de alunos de cada grupo por $1,2,3,4,5,\dots$, arredondam-se os quocientes às décimas e atribuem-se os convites aos $10$ maiores quocientes (em caso de empate, passa primeiro o grupo com menos alunos).
Método 2: cada grupo recebe ${\displaystyle \frac{\text{alunos do grupo}}{2500}}\times 10$ convites, arredondado às unidades.
Mostre que o método 2 só é mais vantajoso do que o método 1 para o grupo R, indicando o número de convites de cada grupo em cada método.

4Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2021, 2.ª fase, item 7

Para comprar um automóvel, foi feito um crédito de $10500$ €, a pagar em $60$ prestações mensais constantes de $280$ €. Nas primeiras $24$ prestações, $60\%$ do valor de cada prestação corresponde a juros; nas $24$ prestações seguintes, $25\%$. Depois de pagas $48$ prestações, qual é o total de juros que falta pagar até ao fim do empréstimo?

5Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2022, 1.ª fase, item 4

O Manuel pediu um empréstimo de $1530$ €, a pagar em $18$ parcelas iguais; cada prestação mensal é a parcela acrescida de $7\%$. Depois de pagar $12$ prestações, não pagou a 13.ª, a 14.ª e a 15.ª. Acordou-se então que cada uma das $3$ últimas prestações (16.ª, 17.ª e 18.ª) seria um terço do total das parcelas em dívida, acrescido de uma nova taxa. No total, o Manuel pagou $\mathrm{1644,75}$ €. Determine a nova taxa, em percentagem.

6Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2022, 2.ª fase, item 4

Num parque de campismo, os preços diários em junho são: bungalow M (até $4$ pessoas) $80$ €; bungalow G (até $6$ pessoas) $100$ €; tenda: $\mathrm{6,50}$ € pelo espaço, acrescido de $\mathrm{5,50}$ € por adulto alojado. Num evento de um dia participaram $140$ adultos, que ocuparam $8$ bungalows M e $10$ bungalows G (todos na capacidade máxima) e $12$ tendas. O lucro do parque foi $25\%$ do valor faturado. Determine o valor exato do lucro.

7Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2023, 1.ª fase, item 1 (adaptado: método de Hondt e de Sainte-Laguë em vez do método de divisor do enunciado original)

A comissão de festas de uma freguesia tem $15$ membros, distribuídos proporcionalmente pelo número de moradores inscritos em cada uma das três zonas da freguesia. Este ano inscreveram-se $105$ moradores, distribuídos como mostra a tabela.

a) Determine a composição da comissão pelo método de Hondt.

b) Determine a composição da comissão pelo método de Sainte-Laguë (divisores $1,3,5,7,\dots$).

c) Calcule a quota padrão de cada zona (divisor padrão $=105:15$) e comente se os resultados anteriores respeitam as quotas.

8Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2023, 1.ª fase, item 3

A Mariana trabalha numa junta de freguesia e tem um salário bruto mensal (SB) de $1500$ €, sem contar com o subsídio de refeição. O salário líquido (SL) é dado por

$$\text{SL}=\text{SB}+\text{SR}-\text{SS}-\text{RF}$$

em que:
• SR (subsídio de refeição): $\mathrm{5,20}$ € por cada dia de trabalho no mês;
• SS (Segurança Social): $11\%$ do salário bruto;
• RF (retenção na fonte de IRS): taxa da tabela seguinte (excerto) aplicada ao salário bruto, conforme o número de dependentes.

A Mariana tem dois dependentes e vai trabalhar $22$ dias no próximo mês. Determine o seu salário líquido nesse mês.

9Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2023, 2.ª fase, item 5

O Tiago pediu a uma seguradora o preço de um seguro de saúde para o agregado familiar: Tiago ($50$ anos), Alice ($44$ anos), Beatriz ($14$ anos) e Nuno ($12$ anos). O prémio anual por pessoa depende da idade e é aplicado um desconto sobre o total, conforme o número de pessoas seguras.

Determine o prémio anual a pagar pelo agregado. Se arredondar cálculos intermédios, conserve três casas decimais; apresente o resultado arredondado ao cêntimo.

10Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2023, 2.ª fase, item 13

Para fazer obras de remodelação das instalações, uma pequena empresa pretende pedir um empréstimo, a pagar em prestações mensais iguais. De acordo com a proposta do banco, o valor da prestação mensal a pagar, $p$, em euros, é dado, em função da taxa de juro anual aplicada, $j$, em percentagem, por

$$p(j)={\displaystyle \frac{\mathrm{62,5}j}{1-{(1+{\displaystyle \frac{j}{1200}})}^{-120}}}$$

Sabe-se que, se a taxa de juro anual inicial duplicar, a prestação mensal aumenta 120 euros.

a) Apresente uma equação que permita determinar a taxa de juro anual inicial (não a resolva).

b) Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a taxa de juro anual inicial. Apresente o resultado em percentagem, arredondado às milésimas.

11Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2024, 1.ª fase, item 1

A família Silva vai escolher um de quatro castelos para visitar: Abrantes (A), Lamego (L), Montemor-o-Novo (M) e Viana do Alentejo (V). Cada um dos quatro membros distribui $10$ pontos pelos castelos, sem dar a mesma pontuação a dois castelos.

Método de decisão:
1. Somam-se os pontos de cada castelo; se algum tiver maioria absoluta dos pontos, é o escolhido.
2. Caso contrário, elimina-se o castelo com menos pontos; os pontos que cada membro tinha dado ao castelo eliminado passam para o castelo, ainda em jogo, a que esse membro deu mais pontos.
3. Repete-se o processo (com os pontos acumulados) até um castelo ter maioria absoluta.
Indique, justificando, o primeiro e o segundo castelos eliminados, o castelo visitado e o total de pontos do outro castelo que chega à última volta.

12Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2024, 1.ª fase, item 3

O preço de venda da gasolina repartia-se, em percentagem, do seguinte modo:

Numa semana de férias, a família Silva percorreu $3125$ km num automóvel que gasta $\mathrm{4,8}$ litros aos $100$ km; a gasolina custou $\mathrm{1,77}$ € por litro. Determine, em euros arredondados ao cêntimo, a parte do gasto em gasolina que corresponde a impostos (IVA e ISP). Conserve quatro casas decimais nos cálculos intermédios.

13Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2024, 2.ª fase, item 1

Os $10$ elementos de uma equipa elegem o capitão entre Artur (A), Bruno (B) e César (C). Cada votante ordena os candidatos; cada 1.ª preferência vale $5$ pontos, cada 2.ª vale $3$ e cada 3.ª vale $1$ (método de Borda). Ganha quem tiver mais pontos. A tabela mostra os votos de $9$ elementos (falta o da Daniela).

Sabe-se que, depois de contado o voto da Daniela, não houve empates, o Artur foi eleito e o César ficou em segundo lugar.
Determine: a pontuação do candidato que liderava antes do voto da Daniela; quem estava em 2.º lugar nessa altura; a pontuação final do vencedor; o candidato que a Daniela colocou em 1.º lugar.

14Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2024, 2.ª fase, item 2 (adaptado: método de Hondt)

Uma escola tem $1254$ alunos: $530$ do curso de Ciências e Tecnologias (CT), $384$ de Línguas e Humanidades (LH) e $340$ de Ciências Socioeconómicas (SE). Vai formar-se uma equipa de $10$ alunos, com lugares distribuídos proporcionalmente pelos cursos.
Determine quantos alunos de cada curso integram a equipa, usando o método de Hondt. Se arredondar, conserve duas casas decimais.

15Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2024, 2.ª fase, item 3

O valor de uma fatura de eletricidade é

$$V=C+\text{IEC}+\text{PC}+\text{AR}+\text{CA}+\text{TE},$$

com IVA incluído em cada parcela, em que C é o consumo, IEC o imposto especial de consumo, PC a potência contratada, AR o acesso às redes, CA a contribuição audiovisual ($\mathrm{3,02}$ €) e TE a taxa de exploração ($\mathrm{0,09}$ €), estas duas já com IVA.

Numa fatura de $31$ dias, com consumo de $450$ kWh, o valor total foi $\mathrm{79,87}$ €. Determine a taxa de IVA aplicada ao consumo (C), em percentagem arredondada às unidades. Conserve quatro casas decimais nos cálculos intermédios.