Resumo nº3 – Mediatriz, circunferência, círculo e condições

💡 Ideia principal

A mediatriz de $[AB]$ é o conjunto dos pontos $P$ equidistantes de $A$ e de $B$: $\overline{PA}=\overline{PB}$. É a reta perpendicular a $[AB]$ que passa no seu ponto médio.

✏️ Exemplo

$A(-3,-2)$ e $B(1,-4)$. $P(x,y)$ pertence à mediatriz se $(x+3{)}^2+(y+2{)}^2=(x-1{)}^2+(y+4{)}^2$. Desenvolvendo: $6x+9+4y+4=-2x+1+8y+16$ ⇔ $8x-4y=4$ ⇔ $y=2x-1$.

📌 Circunferência e círculo de centro $C(a,b)$ e raio $r$

Circunferência (só a “linha”): $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$.

Círculo (linha e interior): $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2\le r^2$.

Interior do círculo, sem a circunferência: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2<r^2$. Exterior: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2>r^2$.

📌 Conjunções e disjunções de condições

$\wedge$ (“e”): interseção dos conjuntos. Ex.: $x^2+y^2\le 9\wedge y\ge 0$ é o semicírculo superior de raio $3$.

$\vee$ (“ou”): reunião dos conjuntos. Ex.: $x\le -1\vee x\ge 1$ são dois semiplanos.

✅ Para aprofundar. O baricentro de um triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$ tem coordenadas $({\displaystyle \frac{x_A+x_B+x_C}{3}},{\displaystyle \frac{y_A+y_B+y_C}{3}})$. O circuncentro é o ponto de interseção das mediatrizes dos lados (centro da circunferência que passa nos três vértices).