Ficha nº1

Referencial no plano, ponto médio e distância

10.º ano – Matemática A – Tema 5 (Geometria analítica)

📝 15 exercícios, do mais fácil ao mais difícil

6 fáceis7 médios2 difíceis

Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução.

🟢 Nível fácil

1Fácil Indique o quadrante ou o eixo a que pertence cada ponto: $A (- 2, 3)$ , $B (4, - 1)$ , $C (0, 5)$ e $D (- 3, 0)$ .

Resolução

$A (- 2, 3)$ : abcissa negativa e ordenada positiva, 2.º quadrante.

$B (4, - 1)$ : 4.º quadrante.

$C (0, 5)$ : abcissa nula, pertence ao eixo $O y$ .

$D (- 3, 0)$ : ordenada nula, pertence ao eixo $O x$ .

2Fácil Considere o ponto $P (3, - 2)$ . Indique as coordenadas da imagem de $P$ pela reflexão de eixo $O x$ , pela reflexão de eixo $O y$ e pela meia-volta de centro $O$ .

Resolução

Reflexão de eixo $O x$ : $(3, 2)$ .

Reflexão de eixo $O y$ : $(- 3, - 2)$ .

Meia-volta de centro $O$ : $(- 3, 2)$ .

3Fácil Determine as coordenadas do ponto médio do segmento $[A B]$ , sendo $A (2, 5)$ e $B (6, - 1)$ .

Resolução

$M (\frac{2 + 6}{2}, \frac{5 + (- 1)}{2}) = (4, 2)$ .

4Fácil Calcule a distância entre os pontos $A (1, 2)$ e $B (4, 6)$ .

Resolução

$\overset{―}{A B} = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .

5Fácil Qual é a distância entre os pontos $(- 1, 3)$ e $(2, - 1)$ ?

(A) $\sqrt{5}$

(B) $5$

(C) $7$

(D) $25$

Resolução

$\sqrt{(2 + 1)^{2} + (- 1 - 3)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

Opção (B)

6Fácil Determine o ponto médio do segmento de extremos $(- 3, 4)$ e $(5, - 2)$ .

Resolução

$(\frac{- 3 + 5}{2}, \frac{4 - 2}{2}) = (1, 1)$ .

🟠 Nível médio

7Médio O ponto $M (3, 1)$ é o ponto médio de $[A B]$ e $A (1, - 2)$ . Determine as coordenadas de $B$ .

Resolução

$\frac{1 + x_{B}}{2} = 3 ⟺ x_{B} = 5$ e $\frac{- 2 + y_{B}}{2} = 1 ⟺ y_{B} = 4$ .

$B (5, 4)$ .

8Médio Calcule o perímetro do triângulo de vértices $A (0, 0)$ , $B (4, 0)$ e $C (0, 3)$ .

Resolução

$\overset{―}{A B} = 4$ , $\overset{―}{A C} = 3$ e $\overset{―}{B C} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$ .

Perímetro: $4 + 3 + 5 = 12$ .

9Médio Mostre que o triângulo de vértices $A (1, 1)$ , $B (5, 1)$ e $C (3, 5)$ é isósceles.

Resolução

$\overset{―}{A B} = 4$ ; $\overset{―}{A C} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20}$ ; $\overset{―}{B C} = \sqrt{(- 2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20}$ .

Como $\overset{―}{A C} = \overset{―}{B C}$ , o triângulo é isósceles.

10Médio Determine os valores de $k$ para os quais a distância entre $A (k, 1)$ e $B (2, 5)$ é igual a $5$ .

Resolução

$(2 - k)^{2} + (5 - 1)^{2} = 25$ ⇔ $(2 - k)^{2} = 9$ ⇔ $2 - k = 3 \lor 2 - k = - 3$ ⇔ $k = - 1 \lor k = 5$ .

11Médio Determine o ponto do eixo $O x$ que está à mesma distância de $A (1, 3)$ e de $B (5, 1)$ .

Resolução

Seja $P (x, 0)$ . $\overset{―}{P A} = \overset{―}{P B}$ ⇔ $(x - 1)^{2} + 9 = (x - 5)^{2} + 1$ .

$x^{2} - 2 x + 10 = x^{2} - 10 x + 26$ ⇔ $8 x = 16$ ⇔ $x = 2$ .

$P (2, 0)$ .

12Médio Verifique se o triângulo de vértices $A (0, 0)$ , $B (6, 0)$ e $C (0, 8)$ é retângulo.

Resolução

$\overset{―}{A B} = 6$ , $\overset{―}{A C} = 8$ e $\overset{―}{B C} = \sqrt{36 + 64} = 10$ .

Como $6^{2} + 8^{2} = 100 = 10^{2}$ , pelo recíproco do Teorema de Pitágoras o triângulo é retângulo (em $A$ ).

13Médio O ponto $A (2, 5)$ sofre uma reflexão de eixo $O y$ e, a seguir, uma meia-volta de centro $O$ . Indique as coordenadas do ponto obtido e uma única transformação que produza o mesmo efeito.

Resolução

Reflexão de eixo $O y$ : $(- 2, 5)$ . Meia-volta: $(2, - 5)$ .

O resultado é o mesmo que o de uma reflexão de eixo $O x$ .

🔴 Nível difícil

14Difícil Os pontos $A (1, 1)$ , $B (5, 2)$ e $C (6, 5)$ são três vértices consecutivos do paralelogramo $[A B C D]$ . Determine as coordenadas de $D$ .

Resolução

Num paralelogramo as diagonais bissetam-se: $[A C]$ e $[B D]$ têm o mesmo ponto médio.

Ponto médio de $[A C]$ : $M (\frac{7}{2}, 3)$ .

$D = (2 x_{M} - x_{B}, 2 y_{M} - y_{B}) = (7 - 5, 6 - 2) = (2, 4)$ .

15Difícil Determine os pontos da forma $P (a, a + 1)$ que estão à distância $5$ da origem.

Resolução

$a^{2} + (a + 1)^{2} = 25$ ⇔ $2 a^{2} + 2 a - 24 = 0$ ⇔ $a^{2} + a - 12 = 0$ ⇔ $a = \frac{- 1 \pm 7}{2}$ ⇔ $a = 3 \lor a = - 4$ .

Os pontos são $(3, 4)$ e $(- 4, - 3)$ .

Ficha nº1 – Referencial no plano, ponto médio e distância

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