Ficha nº2

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Reta de Euler e circunferência dos nove pontos

10.º ano – Matemática A – Tema 3 (Geometria sintética no plano)

📝 15 exercícios, do mais fácil ao mais difícil

6 fáceis7 médios2 difíceis

Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução.

🟢 Nível fácil

1Fácil Que pontos notáveis de um triângulo pertencem à reta de Euler?

Resolução

O circuncentro $O$ , o baricentro $G$ e o ortocentro $H$ (e também o centro $N$ da circunferência dos nove pontos).

2Fácil Na reta de Euler de um triângulo, $\overset{―}{G O} = 3$ cm. Calcule $\overset{―}{H G}$ e $\overset{―}{H O}$ .

Resolução

$\overset{―}{H G} = 2 \times 3 = 6$ cm.

$\overset{―}{H O} = 6 + 3 = 9$ cm.

3Fácil Indique os nove pontos por onde passa a circunferência dos nove pontos.

Resolução

Os pontos médios dos três lados, os pés das três alturas e os pontos médios dos segmentos que unem cada vértice ao ortocentro.

4Fácil O centro da circunferência dos nove pontos é:

(A) o baricentro

(B) o ponto médio do segmento que une o circuncentro ao ortocentro

(C) o incentro

(D) o ortocentro

Resolução

É o ponto médio de $[O H]$ .

Opção (B)

5Fácil O raio da circunferência circunscrita a um triângulo é $10$ cm. Qual é o raio da circunferência dos nove pontos?

Resolução

Metade: $5$ cm.

6Fácil Por que razão não faz sentido falar da reta de Euler de um triângulo equilátero?

Resolução

Porque $O$ , $G$ e $H$ coincidem num único ponto, e um ponto não define uma reta.

🟠 Nível médio

7Médio Para o triângulo de vértices $A (0, 0)$ , $B (6, 0)$ e $C (0, 8)$ , com $O (3, 4)$ , $G (2, \frac{8}{3})$ e $H (0, 0)$ , verifique que $\overset{―}{H G} = 2 \overset{―}{G O}$ .

Resolução

$\overset{―}{H G} = \sqrt{4 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{10}{3}$ .

$\overset{―}{G O} = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$ .

De facto, $\frac{10}{3} = 2 \times \frac{5}{3}$ .

8Médio Para o mesmo triângulo, determine o centro e o raio da circunferência dos nove pontos e verifique que passa no ponto médio de $[A B]$ .

Resolução

Centro: ponto médio de $[O H]$ , $N (\frac{3}{2}, 2)$ . Raio: $\frac{5}{2}$ .

Ponto médio de $[A B]$ : $(3, 0)$ . Distância a $N$ : $\sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ . Pertence.

9Médio Escreva a equação da circunferência dos nove pontos do exercício anterior.

Resolução

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + (y - 2)^{2} = \frac{25}{4}$ .

10Médio Determine a equação reduzida da reta de Euler do triângulo $A (0, 0)$ , $B (6, 0)$ , $C (0, 8)$ e verifique que $G$ lhe pertence.

Resolução

Passa em $H (0, 0)$ e $O (3, 4)$ : declive $\frac{4}{3}$ , $y = \frac{4}{3} x$ .

$G (2, \frac{8}{3})$ : $\frac{4}{3} \times 2 = \frac{8}{3}$ . Pertence.

11Médio Num triângulo, o baricentro é $G (2, 1)$ e o circuncentro é $O (4, 2)$ . Determine o ortocentro.

Resolução

$H = 3 G - 2 O$ : $x_{H} = 6 - 8 = - 2$ e $y_{H} = 3 - 4 = - 1$ .

$H (- 2, - 1)$ .

12Médio Considere o triângulo de vértices $A (- 3, 0)$ , $B (3, 0)$ e $C (1, 4)$ . Determine o circuncentro $O$ e o baricentro $G$ .

Resolução

Mediatriz de $[A B]$ : $x = 0$ . $O (0, k)$ com $\overset{―}{O A} = \overset{―}{O C}$ : $9 + k^{2} = 1 + (4 - k)^{2}$ ⇔ $9 + k^{2} = 17 - 8 k + k^{2}$ ⇔ $k = 1$ . $O (0, 1)$ .

$G (\frac{- 3 + 3 + 1}{3}, \frac{0 + 0 + 4}{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$ .

13Médio Para o triângulo do exercício anterior, determine o ortocentro usando $H = 3 G - 2 O$ e confirme que pertence à altura relativa a $[A B]$ .

Resolução

$H = (3 \times \frac{1}{3} - 0, 3 \times \frac{4}{3} - 2) = (1, 2)$ .

A altura relativa a $[A B]$ (horizontal) é a reta vertical que passa em $C$ : $x = 1$ . $H$ pertence-lhe.

🔴 Nível difícil

14Difícil Mostre que, num triângulo retângulo, a circunferência dos nove pontos passa no vértice do ângulo reto.

Resolução

Seja $A$ o vértice do ângulo reto. A altura traçada a partir de $B$ é perpendicular a $[A C]$ ; como $[A B] ⟂ [A C]$ , essa altura é o próprio lado $[A B]$ e o seu pé é $A$ .

O pé de uma altura é um dos nove pontos, logo $A$ pertence à circunferência dos nove pontos.

15Difícil Considere o triângulo isósceles de vértices $A (- 2, 0)$ , $B (2, 0)$ e $C (0, 6)$ . Determine $O$ , $G$ e $H$ e mostre que a reta de Euler é o eixo de simetria do triângulo.

Resolução

$O (0, k)$ com $4 + k^{2} = (6 - k)^{2}$ ⇔ $4 = 36 - 12 k$ ⇔ $k = \frac{8}{3}$ . $G (0, 2)$ . $H = 3 G - 2 O = (0, 6 - \frac{16}{3}) = (0, \frac{2}{3})$ .

Os três pontos têm abcissa $0$ : a reta de Euler é $x = 0$ , o eixo de simetria. Verificação: $\overset{―}{H G} = \frac{4}{3}$ e $\overset{―}{G O} = \frac{2}{3}$ .

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