Teste nº2

Teste de avaliação – Geometria sintética no plano

10.º ano – Matemática A – Tema 3 (Geometria sintética no plano)

Grau de dificuldade do teste: Médio

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 11 itens cotados (4 de escolha múltipla, 7 de resposta aberta)

Fácil 40

Médio 80

Difícil 80

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Fácil (10 pontos) O ponto de interseção das bissetrizes de um triângulo é o:

(A) incentro

(B) circuncentro

(C) baricentro

(D) ortocentro

Resolução

Opção (A) incentro.

2Fácil (10 pontos) Num triângulo retângulo, o circuncentro situa-se:

(A) no vértice do ângulo reto

(B) no exterior do triângulo

(C) no baricentro

(D) no ponto médio da hipotenusa

Resolução

No ponto médio da hipotenusa.

Opção (D)

3Fácil (10 pontos) Uma mediana mede $9$ cm. A distância do baricentro ao vértice dessa mediana é:

(A) $3$ cm

(B) $4,5$ cm

(C) $6$ cm

(D) $9$ cm

Resolução

$\frac{2}{3} \times 9 = 6$ cm.

Opção (C)

4Fácil (10 pontos) Se o raio da circunferência circunscrita é $8$ , o raio da circunferência dos nove pontos é:

(A) $2$

(B) $4$

(C) $8$

(D) $16$

Resolução

Metade: $4$ .

Opção (B)

5Considere o triângulo de vértices $A (0, 0)$ , $B (8, 0)$ e $C (2, 6)$ .

5.1. Médio (20 pontos) Determine o baricentro $G$ .

5.2. Difícil (30 pontos) Determine o circuncentro $O$ e o raio da circunferência circunscrita.

5.3. Difícil (25 pontos) Determine o ortocentro $H$ e confirme que pertence à altura relativa a $[A B]$ .

5.4. Difícil (25 pontos) Determine o centro e o raio da circunferência dos nove pontos.

Resolução

5.1. $G (\frac{10}{3}, 2)$ .

5.2. Mediatriz de $[A B]$ : $x = 4$ . $O (4, k)$ com $\overset{―}{O A} = \overset{―}{O C}$ : $16 + k^{2} = 4 + (6 - k)^{2}$ ⇔ $16 = 40 - 12 k$ ⇔ $k = 2$ . $O (4, 2)$ ; $R = \sqrt{16 + 4} = 2 \sqrt{5}$ .

5.3. $H = 3 G - 2 O = (10 - 8, 6 - 4) = (2, 2)$ . A altura relativa a $[A B]$ é $x = 2$ (passa em $C$ ): $H$ pertence-lhe.

5.4. $N$ ponto médio de $[O H]$ : $(3, 2)$ . Raio $\frac{R}{2} = \sqrt{5}$ .

6Médio (20 pontos) Num triângulo retângulo de catetos $5$ cm e $12$ cm, calcule os raios das circunferências inscrita e circunscrita.

Resolução

Hipotenusa: $\sqrt{25 + 144} = 13$ cm.

Circunscrita: $\frac{13}{2} = 6,5$ cm. Inscrita: $\frac{5 + 12 - 13}{2} = 2$ cm.

7Médio (20 pontos) Explique por que razão o ortocentro de um triângulo obtusângulo fica no exterior do triângulo.

Resolução

As alturas traçadas a partir dos dois vértices dos ângulos agudos caem fora do triângulo (sobre o prolongamento dos lados), porque o ângulo obtuso “empurra” o pé dessas alturas para fora.

O ponto de interseção das alturas (prolongadas) fica, por isso, no exterior, do lado do ângulo obtuso.

8Médio (20 pontos) Num triângulo, $\overset{―}{H O} = 12$ cm. Calcule $\overset{―}{G O}$ e $\overset{―}{H G}$ .

Resolução

$\overset{―}{H G} = 2 \overset{―}{G O}$ e $\overset{―}{H G} + \overset{―}{G O} = 12$ , logo $3 \overset{―}{G O} = 12$ , $\overset{―}{G O} = 4$ cm e $\overset{―}{H G} = 8$ cm.

Cotações

Item	1	2	3	4	5.1	5.2	5.3	5.4
Cotação (pontos)	10	10	10	10	20	30	25	25
Dificuldade
Tipo	EM	EM	EM	EM	RA	RA	RA	RA

Item	6	7	8	Total
Cotação (pontos)	20	20	20	200
Dificuldade
Tipo	RA	RA	RA

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 4 itens – 40 pontos

Resposta aberta: 7 itens – 160 pontos

Por grau de dificuldade

Fácil 4 itens – 40 pontos

Médio 4 itens – 80 pontos

Difícil 3 itens – 80 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

Teste nº2 – Geometria sintética no plano

Teste nº2

10.º ano – Matemática A – Tema 3 (Geometria sintética no plano)

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