Ficha de exames nº1

Provas de 2006–2009

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 7 fáceis7 médios1 difícil

1Fácil

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática A – 11.º ano, 19 de maio de 2006, item 4 do grupo I

Seja $f$ uma função quadrática tal que o conjunto-solução da inequação $f (x) > 0$ é o intervalo $] 1, 5 [$ .
Qual é o contradomínio de $f$ ?

(A) $] - \infty, f (1)]$

(B) $[f (5), + \infty [$

(C) $[f (3), + \infty [$

(D) $] - \infty, f (3)]$

Resolução

Como $f (x) > 0$ apenas para $x \in] 1, 5 [$ , a função é positiva entre $1$ e $5$ e não positiva fora desse intervalo. Logo, $1$ e $5$ são os zeros de $f$ .

Uma função quadrática que é positiva entre os zeros e negativa fora deles tem a concavidade voltada para baixo, pelo que tem um máximo, atingido no vértice.

A abcissa do vértice é o ponto médio dos zeros: $x_{V} = \frac{1 + 5}{2} = 3$ . O máximo de $f$ é, portanto, $f (3)$ .

Como a parábola tem concavidade voltada para baixo, a função toma todos os valores menores ou iguais ao máximo: $D_{f}^{'} =] - \infty, f (3)]$ .

Resposta: (D).

2Difícil

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática B – 11.º ano, 19 de maio de 2006, item 3

O logotipo do Clube de Matemática de uma escola é formado por um quadrado de lado $1$ , no qual se desenharam, em cantos opostos, um quadrado sombreado de lado $x$ e um círculo sombreado inscrito no quadrado de lado $1 - x$ que ocupa o canto oposto (os dois quadrados interiores têm um vértice comum, situado na diagonal do quadrado maior), com $0 < x < 1$ . A restante parte do quadrado de lado $1$ é branca.
Determine o valor de $x$ para o qual a área da região branca é máxima. Apresente o resultado arredondado às centésimas. Na sua resolução:
• exprima, em função de $x$ , a área do quadrado sombreado, o raio do círculo, a área do círculo, a área da região sombreada e a área da região branca;
• determine o valor pedido (pode recorrer à calculadora gráfica, explicando como procedeu).

Resolução

Área do quadrado sombreado: $x^{2}$ .

O círculo está inscrito num quadrado de lado $1 - x$ , logo o seu diâmetro é $1 - x$ e o raio é $\frac{1 - x}{2}$ . Área do círculo: $π {(\frac{1 - x}{2})}^{2} = \frac{π}{4} (1 - x)^{2}$ .

Área da região sombreada: $S (x) = x^{2} + \frac{π}{4} (1 - x)^{2}$ .

Área da região branca: $B (x) = 1 - x^{2} - \frac{π}{4} (1 - x)^{2} = - (1 + \frac{π}{4}) x^{2} + \frac{π}{2} x + 1 - \frac{π}{4}$ , uma função quadrática com coeficiente de $x^{2}$ negativo (concavidade voltada para baixo), pelo que tem máximo no vértice.

Abcissa do vértice: $x_{V} = - \frac{π / 2}{2 (- (1 + \frac{π}{4}))} = \frac{π}{4 + π} \approx 0,4399$ . (Na calculadora: representar $y = 1 - x^{2} - \frac{π}{4} (1 - x)^{2}$ na janela $[0; 1] \times [0; 1]$ e usar a opção «máximo», obtendo o ponto $(0,44; 0,56)$ .)

A área da região branca é máxima para $x \approx 0,44$ (área máxima $\approx 0,56$ ).

3Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2006, 1.ª fase, Grupo I, item 1

Sejam $f$ e $g$ duas funções de domínio $ℝ$ cujos gráficos estão ambos situados acima do eixo $O x$ , isto é, $f (x) > 0$ e $g (x) > 0$ , para todo o $x \in ℝ$ .
Qual das equações seguintes é necessariamente impossível?

(A) $f (x) + g (x) = 0$

(B) $f (x) - g (x) = 0$

(C) $f (x) \times g (x) = 1$

(D) $\frac{f (x)}{g (x)} = 1$

Resolução

Para todo o $x$ , $f (x) > 0$ e $g (x) > 0$ ; logo a soma de dois números positivos é positiva: $f (x) + g (x) > 0$ .

Assim, $f (x) + g (x)$ nunca pode ser igual a $0$ e a equação (A) é impossível.

As outras não são necessariamente impossíveis: por exemplo, se $f (x) = g (x) = 1$ para todo o $x$ , então $f (x) - g (x) = 0$ , $f (x) \times g (x) = 1$ e $\frac{f (x)}{g (x)} = 1$ são verdadeiras para qualquer $x$ .

Resposta: (A).

4Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2006, 1.ª fase, item 5.3

Uma empresa de telecomunicações vai lançar um novo modelo de telemóvel. Com base num estudo estatístico, prevê que o número $n$ de telemóveis vendidos, em milhares, se relacione com o preço $p$ de cada telemóvel, em euros, através de

$n = - 0,03 p + 10 .$

Seja $q$ a quantia, em euros, que a empresa prevê receber com a venda dos telemóveis deste modelo.
Escreva uma expressão que dê $q$ em função do preço $p$ de cada telemóvel, apresentando-a na forma de polinómio reduzido.

Resolução

A receita é o produto do número de telemóveis vendidos pelo preço de cada um. Como $n$ está em milhares de unidades, o número de telemóveis é $1000 n$ .

Logo $q = 1000 \times n \times p$ .

Substituindo $n$ : $q = 1000 (- 0,03 p + 10) p$ .

Desembaraçando de parênteses: $q = 1000 (- 0,03 p^{2} + 10 p) = - 30 p^{2} + 10 000 p$ .

$q (p) = - 30 p^{2} + 10 000 p$ (função quadrática de $p$ ).

5Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2007, 1.ª fase, Grupo I, item 4

Seja $f$ uma função de domínio $ℝ$ . Sabe-se que $3$ é um zero da função $f$ .
Seja $g$ a função definida por $g (x) = f (x - 1) + 4$ , para qualquer número real $x$ .
Qual dos pontos seguintes pertence garantidamente ao gráfico da função $g$ ?

(A) $(2; 4)$

(B) $(4; 4)$

(C) $(4; 8)$

(D) $(1; 7)$

Resolução

Como $3$ é zero de $f$ , sabemos que $f (3) = 0$ , ou seja, o ponto $(3; 0)$ pertence ao gráfico de $f$ .

O gráfico de $g$ obtém-se do de $f$ por uma translação associada ao vetor $(1; 4)$ : uma unidade para a direita e quatro para cima.

Assim, o ponto $(3; 0)$ é transformado no ponto $(3 + 1; 0 + 4) = (4; 4)$ .

Confirmação: $g (4) = f (4 - 1) + 4 = f (3) + 4 = 0 + 4 = 4$ .

Quanto aos restantes: $(4; 8)$ exigiria $g (4) = 8$ , o que é falso; $g (2) = f (1) + 4$ e $g (1) = f (0) + 4$ dependem de valores de $f$ que não conhecemos, logo nada se pode garantir. Resposta: (B).

6Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2007, 2.ª fase, itens 2.1 e 2.2

Um clube de futebol tem uma bancada para não sócios com capacidade para 4000 espectadores. Cada bilhete custa 10 euros e prevê-se que, a esse preço, a lotação fique esgotada. Estima-se que, se o preço do bilhete aumentar uma certa percentagem, o número de espectadores diminua metade dessa percentagem (por exemplo, um aumento de $10 %$ no preço provoca uma diminuição de $5 %$ no número de espectadores).
Seja $B$ o aumento percentual do preço do bilhete, escrito em forma decimal ( $0 \leq B \leq 2$ ; por exemplo, $B = 0,1$ corresponde a um aumento de $10 %$ ).

a) Mostre que a receita de bilheteira dessa bancada, em euros, é dada por $V (B) = - 20 000 B^{2} + 20 000 B + 40 000$ .

b) Na direção do clube, um elemento defende que o bilhete deve passar a custar 20 euros para maximizar a receita; outro defende que se deve manter o preço de 10 euros, pois assim a receita é maior. Comente as duas propostas, indicando a percentagem de aumento que maximiza a receita e o valor dessa receita máxima.

Resolução

a) Com um aumento $B$ , o preço passa a ser $10 (1 + B)$ euros.

O número de espectadores diminui $\frac{B}{2}$ de 4000, ou seja, passa a ser $4000 (1 - \frac{B}{2}) = 4000 - 2000 B$ .

Receita: $V (B) = 10 (1 + B) (4000 - 2000 B) = 10 (4000 - 2000 B + 4000 B - 2000 B^{2}) = 10 (4000 + 2000 B - 2000 B^{2})$ , isto é, $V (B) = - 20 000 B^{2} + 20 000 B + 40 000$ .

b) $V$ é uma função quadrática com $a = - 20 000 < 0$ (concavidade voltada para baixo), logo tem máximo no vértice: $B_{v} = - \frac{20 000}{2 \times (- 20 000)} = 0,5$ .

$V (0,5) = - 20 000 \times 0,25 + 20 000 \times 0,5 + 40 000 = 45 000$ . Na calculadora, com janela $[0, 2] \times [0, 50 000]$ , obtém-se o máximo no ponto $(0,5; 45 000)$ . O bilhete custaria $10 \times 1,5 = 15$ euros e haveria 3000 espectadores.

Proposta de 20 euros: $B = 1$ e $V (1) = 40 000$ €. Manter 10 euros: $B = 0$ e $V (0) = 40 000$ €. As duas propostas dão a mesma receita.

Nenhuma das propostas está correta: a receita máxima, de 45 000€, obtém-se com um aumento de $50 %$ (bilhete a 15€); as propostas de 20€ e de 10€ dão ambas 40 000€.

7Fácil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 28 de maio de 2008 (versão 1) – Grupo I, item 1

Resolução

8Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 28 de maio de 2008 (versão 1) – Grupo II, itens 1.1 e 1.2

Resolução

1.1.

1.2.

9Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2008, 1.ª fase, itens 1.2, 2.1, 2.2 e 2.3

Um canteiro tem a forma de um quadrado $[A B C D]$ com 7 m de lado. No seu interior marca-se um quadrado $[E F G H]$ , com $E \in [A B]$ , $F \in [B C]$ , $G \in [C D]$ e $H \in [D A]$ , tal que $\overset{―}{A E} = \overset{―}{B F} = \overset{―}{C G} = \overset{―}{D H} = x$ metros ( $0 \leq x \leq 7$ ). O quadrado $[E F G H]$ destina-se a roseiras e os quatro triângulos retângulos restantes (nos cantos do canteiro) serão relvados.

a) Mostre que a área da zona relvada, em m², é dada por $a (x) = 14 x - 2 x^{2}$ . Calcule $a (0)$ e interprete o resultado no contexto.

b) Mostre que a taxa de variação média de $a$ no intervalo $[3, 4]$ é zero.

c) Pode concluir-se, da alínea anterior, que a função $a$ é constante no intervalo $[3, 4]$ ? Justifique.

d) Determine o valor de $x$ para o qual a zona relvada tem área máxima e indique essa área.

Resolução

a) Cada triângulo dos cantos é retângulo, com catetos $x$ e $7 - x$ , logo tem área $\frac{x (7 - x)}{2}$ .

Área relvada: $a (x) = 4 \times \frac{x (7 - x)}{2} = 2 x (7 - x) = 14 x - 2 x^{2}$ . (Em alternativa: $49 - [x^{2} + (7 - x)^{2}] = 49 - (2 x^{2} - 14 x + 49) = 14 x - 2 x^{2}$ .)

$a (0) = 0$ : quando $x = 0$ , os vértices de $[E F G H]$ coincidem com os de $[A B C D]$ , ou seja, todo o canteiro fica ocupado por roseiras e não há zona relvada.

b) $a (3) = 42 - 18 = 24$ e $a (4) = 56 - 32 = 24$ . ${t.v.m.}_{[3, 4]} = \frac{a (4) - a (3)}{4 - 3} = \frac{24 - 24}{1} =$ $0$ .

c) Não. Por exemplo, $a (3,5) = 49 - 24,5 = 24,5 \neq 24$ , logo a função não é constante em $[3, 4]$ . Uma taxa de variação média nula só garante que os valores nos extremos do intervalo são iguais.

d) O gráfico de $a$ é uma parábola com a concavidade voltada para baixo ( $- 2 < 0$ ); o vértice tem abcissa $x_{v} = - \frac{14}{2 \times (- 2)} = 3,5$ (ponto médio dos zeros 0 e 7).