Ficha de exames nº2

Provas de 2009–2011

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 4 fáceis9 médios2 difíceis

1Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 6 de maio de 2009 – Grupo II, item 2

Resolução

2Difícil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 6 de maio de 2009 – Grupo II, itens 3.1, 3.2 e 3.3

Resolução

3.1.

3.2.

3.3.

3Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2009, 2.ª fase, itens 1, 2 e 3 do Grupo III

Numa praça vai ser colocado um mural retangular com 26 m de perímetro, no qual será exposta uma tapeçaria retangular, de lados paralelos aos do mural. Seja $x$ a medida, em metros, de um dos lados do mural. Nos lados de comprimento $x$ , a tapeçaria fica a $0,5$ m de cada extremidade do mural; na outra direção, fica a 1 m de cada extremidade.

a) Mostre que, para $x \in] 1, 11 [$ , dois lados não paralelos da tapeçaria medem $x - 1$ e $11 - x$ metros.

b) Mostre que a área da tapeçaria, em m², é dada por $A (x) = - x^{2} + 12 x - 11$ , com $x \in] 1, 11 [$ .

c) Determine o valor de $x$ para o qual a área da tapeçaria é máxima e indique essa área.

Resolução

a) Como o perímetro é 26 m, o semiperímetro é 13 m e o outro lado do mural mede $13 - x$ .

Lado da tapeçaria paralelo ao lado $x$ : $x - 2 \times 0,5 = x - 1$ . Lado paralelo ao outro: $(13 - x) - 2 \times 1 = 11 - x$ . Para ambos serem positivos, $1 < x < 11$ . Os lados medem $x - 1$ e $11 - x$ .

b) $A (x) = (x - 1) (11 - x) = 11 x - x^{2} - 11 + x =$ $- x^{2} + 12 x - 11$ .

c) $A$ é quadrática com coeficiente de $x^{2}$ negativo: o gráfico é uma parábola de concavidade voltada para baixo, com zeros 1 e 11.

A abcissa do vértice é $x_{v} = - \frac{12}{2 \times (- 1)} = 6$ (ponto médio dos zeros), que pertence a $] 1, 11 [$ .

$A (6) = - 36 + 72 - 11 = 25$ . (Na calculadora, o máximo de $A$ em $] 1, 11 [$ é o ponto $(6, 25)$ .)

A área é máxima para $x = 6$ m, sendo igual a 25 m² (a tapeçaria é então um quadrado de 5 m de lado).

4Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática B – 10.º ano, 13 de abril de 2010, Grupo II, itens 1 e 2

Uma empresa vinícola estudou a sua produção, sendo $x$ a quantidade produzida, em milhares de litros, com $x \in [0, 250]$ . A receita e a despesa, em milhares de euros, são dadas por

$r (x) = - 0,0137 x^{2} + 6,85 x e d (x) = 0,411 x + 383,6 .$

O lucro é a diferença entre a receita e a despesa.

a) Determine os valores de $x$ para os quais a receita é inferior à despesa. Apresente a resposta na forma de intervalo de números reais.

b) Determine entre que valores deve estar a quantidade produzida para que o lucro esteja entre 123 300 euros e 315 100 euros, inclusive. (Sugestão: comece por definir o lucro em função de $x$ .)

Resolução

a) $r (x) < d (x) \Leftrightarrow - 0,0137 x^{2} + 6,85 x - 0,411 x - 383,6 < 0 \Leftrightarrow - 0,0137 x^{2} + 6,439 x - 383,6 < 0$ .

Zeros (fórmula resolvente ou calculadora, intersetando o arco de parábola $y = r (x)$ com o segmento de reta $y = d (x)$ ): $x = 70$ ou $x = 400$ ; só $x = 70$ pertence a $[0, 250]$ . Verificação: $r (70) = d (70) = 412,37$ .

Como a parábola $y = r (x) - d (x)$ tem concavidade para baixo, é negativa antes de 70 (por exemplo, $r (0) - d (0) = - 383,6$ ). A receita é inferior à despesa para $x \in [0, 70 [$ .

b) Lucro: $L (x) = r (x) - d (x) = - 0,0137 x^{2} + 6,439 x - 383,6$ , $x \in [0, 250]$ . Os valores 123 300€ e 315 100€ correspondem a $123,3$ e $315,1$ milhares de euros.

$L (x) = 123,3 \Leftrightarrow - 0,0137 x^{2} + 6,439 x - 506,9 = 0 \Leftrightarrow x = 100 \lor x = 370$ ; em $[0, 250]$ : $x = 100$ .

$L (x) = 315,1 \Leftrightarrow - 0,0137 x^{2} + 6,439 x - 698,7 = 0 \Leftrightarrow x = 170 \lor x = 300$ ; em $[0, 250]$ : $x = 170$ .

O vértice de $L$ tem abcissa $\frac{6,439}{2 \times 0,0137} = 235$ , logo $L$ é crescente em $[0, 235]$ e $123,3 \leq L (x) \leq 315,1 \Leftrightarrow 100 \leq x \leq 170$ .

A produção deve estar entre 100 e 170 milhares de litros (inclusive), isto é, entre 100 000 e 170 000 litros.

5Fácil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 5 de maio de 2010 – Grupo I, item 2

Resolução

6Fácil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 5 de maio de 2010 – Grupo I, item 3

Resolução

7Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 5 de maio de 2010 – Grupo I, item 4

Resolução

8Fácil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 5 de maio de 2010 – Grupo I, item 5

Resolução

9Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 5 de maio de 2010 – Grupo II, item 2

Resolução

10Difícil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 5 de maio de 2010 – Grupo II, itens 3.1, 3.2 e 3.3

Resolução

3.1.

3.2.

3.3.

11Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática A – 11.º ano, 6 de maio de 2010, item 2 do grupo I

Sejam $f$ e $g$ duas funções reais de variável real. Sabe-se que:
• a função $f$ tem domínio $ℝ$ e tem cinco zeros;
• a função $g$ tem domínio $ℝ$ e tem três zeros;
• um, e só um, dos zeros da função $f$ também é zero da função $g$ .
Quantos zeros tem a função $\frac{f}{g}$ ?

(A) $7$

(B) $5$

(C) $4$

(D) $2$

Resolução

O domínio de $\frac{f}{g}$ é ${x \in ℝ : g (x) \neq 0}$ , ou seja, $ℝ$ sem os três zeros de $g$ .

Os zeros de $\frac{f}{g}$ são os valores do domínio para os quais $f (x) = 0$ , isto é, os zeros de $f$ que não são zeros de $g$ .

A função $f$ tem $5$ zeros, dos quais exatamente um é também zero de $g$ (e, por isso, não pertence ao domínio do quociente).

Logo, $\frac{f}{g}$ tem $5 - 1 = 4$ zeros. Resposta: (C).

12Médio

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática A – 11.º ano, 6 de maio de 2010, item 4 do grupo I

Na figura, está representado um triângulo retângulo $[E F G]$ , retângulo em $F$ , cujos lados medem $\overset{―}{E F} = 3$ , $\overset{―}{F G} = 4$ e $\overset{―}{E G} = 5$ .
Considere que um ponto $H$ se desloca ao longo do cateto $[E F]$ , nunca coincidindo com o ponto $E$ . Para cada posição do ponto $H$ , seja $x$ o comprimento do segmento $[E H]$ .
Qual das expressões seguintes dá o perímetro do triângulo $[E G H]$ , em função de $x$ ?

(A) $x + 4 + \sqrt{25 + x^{2}}$

(B) $x + 5 + \sqrt{25 + x^{2}}$

(C) $x + 4 + \sqrt{x^{2} - 6 x + 25}$

(D) $x + 5 + \sqrt{x^{2} - 6 x + 25}$

Resolução

Os lados do triângulo $[E G H]$ são $[E H]$ , $[E G]$ e $[G H]$ . Tem-se $\overset{―}{E H} = x$ e $\overset{―}{E G} = 5$ .

Como $H$ pertence a $[E F]$ , $\overset{―}{H F} = 3 - x$ , com $0 < x \leq 3$ .

O triângulo $[H F G]$ é retângulo em $F$ ; pelo teorema de Pitágoras, ${\overset{―}{G H}}^{2} = (3 - x)^{2} + 4^{2} = 9 - 6 x + x^{2} + 16 = x^{2} - 6 x + 25$ , logo $\overset{―}{G H} = \sqrt{x^{2} - 6 x + 25}$ .

Perímetro: $P (x) = x + 5 + \sqrt{x^{2} - 6 x + 25}$ . Resposta: (D).

13Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2010, 2.ª fase, item 3 do Grupo I

Uma autarquia decidiu editar um livro sobre a história, a gastronomia e os pontos turísticos do concelho. O custo total, em euros, da produção e edição de $x$ centenas de exemplares é dado, aproximadamente, por

$C (x) = 500 x + 8000, x \geq 0 .$

A autarquia encomendou 1000 exemplares e vai vendê-los a 15 euros cada, sem custos adicionais de venda. Um funcionário afirma: «Se forem vendidos apenas 800 exemplares, a receita não cobre o custo total da encomenda.»
Verifique se a afirmação é verdadeira.

Resolução

Receita da venda de 800 exemplares: $800 \times 15 = 12 000$ euros.

A encomenda é de 1000 exemplares, ou seja, 10 centenas: $x = 10$ .

Custo total: $C (10) = 500 \times 10 + 8000 = 13 000$ euros.

Como $12 000 < 13 000$ , a receita não cobre o custo (faltam 1000 euros).

A afirmação é verdadeira.

14Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 6 de maio de 2011 (versão 1) – Grupo I, item 1

Resolução

15Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 6 de maio de 2011 (versão 1) – Grupo I, item 2

Resolução

Ficha de exames nº2 – Funções (2009–2011)

Ficha de exames nº2

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

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