Ficha de exames nº1

Provas de 2008–2018

10.º ano – Matemática A – Tema 6 (Vetores no plano e no espaço)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 5 fáceis8 médios2 difíceis

1Fácil

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática A – 11.º ano, 6 de maio de 2008, item 5 do grupo I

Num referencial ortonormado $O x y z$ , considere a reta $r$ definida pela equação vetorial $(x, y, z) = (1; 2; 3) + k (0; 0; 1), k \in ℝ$ .
Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta $r$ ?

(A) $(x, y, z) = (1; 2; 3) + k (0; 1; 0), k \in ℝ$

(B) $(x, y, z) = (0; 0; 1) + k (1; 2; 3), k \in ℝ$

(C) $x = 2 \land y = 1$

(D) $x = 2 \land z = 1$

Resolução

Um vetor diretor de $r$ é $\vec{u} = (0; 0; 1)$ ; as retas paralelas a $r$ têm vetor diretor colinear com $\vec{u}$ , ou seja, são paralelas ao eixo $O z$ .

Em (A), o vetor diretor é $(0; 1; 0)$ e em (B) é $(1; 2; 3)$ ; nenhum é colinear com $(0; 0; 1)$ .

A condição $x = 2 \land y = 1$ define o conjunto dos pontos $(2; 1, z)$ , $z \in ℝ$ , isto é, a reta que passa em $(2; 1; 0)$ e tem vetor diretor $(0; 0; 1)$ : é paralela a $O z$ e, portanto, a $r$ .

A condição $x = 2 \land z = 1$ define a reta dos pontos $(2, y, 1)$ , com vetor diretor $(0; 1; 0)$ , paralela a $O y$ .

Resposta: (C).

2Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 28 de maio de 2008 (versão 1) – Grupo I, item 4

Resolução

3Fácil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 28 de janeiro de 2009 – Grupo I, item 1

Resolução

4Difícil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 28 de janeiro de 2009 – Grupo II, item 4

Resolução

5Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 6 de maio de 2009 – Grupo II, itens 1.1 e 1.2

Resolução

1.1.

1.2.

6Difícil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 29 de janeiro de 2010 – Grupo II, itens 2.1, 2.2.1 e 2.2.2

Resolução

2.1.

2.2.1.

2.2.2.

7Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 6 de maio de 2011 (versão 1) – Grupo II, itens 4.1, 4.2 e 4.3

Resolução

4.1.

4.2.

4.3.

8Fácil

📄 Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática A – 11.º ano, 24 de maio de 2011, item 4 do grupo I

Considere, num referencial ortonormado $O x y z$ , a reta $r$ definida por $(x, y, z) = (3; 4; 5) + k (1; 0; 0), k \in ℝ$ .
Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta $r$ ?

(A) $y = 5 \land z = 6$

(B) $x = 3 \land y = 4$

(C) $(x, y, z) = (1; 0; 0) + k (3; 4; 5), k \in ℝ$

(D) $(x, y, z) = (3; 4; 5) + k (0; 1; 0), k \in ℝ$

Resolução

O vetor $(1; 0; 0)$ é vetor diretor de $r$ , logo $r$ é paralela ao eixo $O x$ . Uma reta paralela a $r$ tem vetor diretor colinear com $(1; 0; 0)$ .

(A) A condição $y = 5 \land z = 6$ define os pontos $(x, 5; 6)$ , $x \in ℝ$ : é a reta que passa em $(0; 5; 6)$ com vetor diretor $(1; 0; 0)$ , paralela a $r$ .

(B) $x = 3 \land y = 4$ define a reta de vetor diretor $(0; 0; 1)$ (paralela a $O z$ ); (C) tem vetor diretor $(3; 4; 5)$ e (D) tem vetor diretor $(0; 1; 0)$ ; nenhum destes é colinear com $(1; 0; 0)$ .

Resposta: (A).

9Fácil

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 16 de março de 2012 (versão 1) – Grupo I, item 2

Resolução

10Médio

📄 Teste Intermédio de Matemática A – 10.º ano, 16 de março de 2012 (versão 1) – Grupo II, itens 1.1, 1.2 e 1.3

Resolução

1.1.

1.2.

1.3.

11Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2017, 1.ª fase, itens 2.1 e 2.3 do Grupo II (adaptado)

Na figura, está representado, num referencial ortonormado $O x y z$ , o prisma quadrangular regular $[O P Q R S T U V]$ . Sabe-se que:
• a face $[O P Q R]$ está contida no plano $x O y$ ;
• o vértice $Q$ pertence ao eixo $O y$ e o vértice $T$ pertence ao eixo $O z$ ;
• o plano $S T U$ tem equação $z = 3$ ;
• o plano $P Q V$ tem equação $x + y = 2$ .

a) Seja $T^{'}$ o simétrico do ponto $T$ relativamente à origem do referencial. Escreva uma equação da superfície esférica de diâmetro $[T T^{'}]$ .

b) Determine uma equação vetorial da reta $T Q$ .

Resolução

a) O ponto $T$ pertence ao eixo $O z$ e ao plano $S T U$ ( $z = 3$ ), logo $T (0, 0, 3)$ e o seu simétrico em relação à origem é $T^{'} (0, 0, - 3)$ .

O centro da superfície esférica é o ponto médio de $[T T^{'}]$ , ou seja, a origem $O (0, 0, 0)$ , e o raio é $\overset{―}{O T} = 3$ .

Equação: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ .

b) O ponto $Q$ pertence ao eixo $O y$ , logo $Q (0, y, 0)$ ; como pertence ao plano $P Q V$ : $0 + y = 2 \Leftrightarrow y = 2$ . Assim, $Q (0, 2, 0)$ .

Um vetor diretor da reta $T Q$ é $\vec{T Q} = Q - T = (0 - 0, 2 - 0, 0 - 3) = (0, 2, - 3)$ .

Equação vetorial: $(x, y, z) = (0, 0, 3) + k (0, 2, - 3), k \in ℝ$ .

12Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2017, época especial, itens 5.1 e 5.2 do Grupo II

Na figura, está representado, num referencial ortonormado $O x y z$ , um cilindro de revolução de altura $3$ . Sabe-se que:
• o ponto $A (1, 2, 0)$ é o centro da base inferior, que está contida no plano $x O y$ ;
• o ponto $B (1, 3, 0)$ pertence à circunferência que delimita a base inferior;
• o ponto $C$ é o centro da base superior.

a) Determine a área da secção produzida no cilindro pelo plano de equação $x = 1$ .

b) Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta $B C$ com o plano $x O z$ .

Resolução

a) O raio da base é $\overset{―}{A B} = \sqrt{(1 - 1)^{2} + (3 - 2)^{2} + (0 - 0)^{2}} = 1$ . O eixo do cilindro é vertical e passa em $A (1, 2, 0)$ , logo está contido no plano $x = 1$ .

Um plano que contém o eixo de um cilindro corta-o segundo um retângulo de lados iguais ao diâmetro da base ( $2 \times 1 = 2$ ) e à altura ( $3$ ).

Área da secção: $2 \times 3 =$ 6.

b) O centro da base superior é $C (1, 2, 3)$ (está na vertical de $A$ , à altura $3$ ).

Vetor diretor: $\vec{C B} = B - C = (0, 1, - 3)$ . Equação vetorial: $(x, y, z) = (1, 2, 3) + k (0, 1, - 3), k \in ℝ$ ; ponto genérico $(1, 2 + k, 3 - 3 k)$ .

O plano $x O z$ tem equação $y = 0$ : $2 + k = 0 \Leftrightarrow k = - 2$ .

Ponto de interseção: $(1, 0, 3 + 6)$ , ou seja, $(1, 0, 9)$ .

13Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2018, 1.ª fase, item 8.1

Num referencial ortonormado $O x y z$ , considere a reta $r$ formada pelos pontos $(x, y, z)$ que verificam a condição

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} \land z = 3$

(isto é, para cada ponto de $r$ , existe um número real $k$ tal que $\frac{x + 1}{2} = k$ , $\frac{y - 2}{- 1} = k$ e $z = 3$ ).
Qual das equações seguintes é uma equação vetorial da reta $r$ ?

(A) $(x, y, z) = (3, 0, 3) + k (2, - 1, 0), k \in ℝ$

(B) $(x, y, z) = (3, 0, 3) + k (2, - 1, 3), k \in ℝ$

(C) $(x, y, z) = (- 1, 2, 0) + k (2, - 1, 3), k \in ℝ$

(D) $(x, y, z) = (- 1, 2, 0) + k (2, - 1, 0), k \in ℝ$

Resolução

Igualando cada fração a $k$ : $\frac{x + 1}{2} = k \Leftrightarrow x = - 1 + 2 k$ e $\frac{y - 2}{- 1} = k \Leftrightarrow y = 2 - k$ ; além disso, $z = 3$ .

Logo $(x, y, z) = (- 1 + 2 k, 2 - k, 3) = (- 1, 2, 3) + k (2, - 1, 0)$ : a reta passa em $P (- 1, 2, 3)$ e tem a direção do vetor $\vec{u} = (2, - 1, 0)$ .

Nas opções (B) e (C), o vetor $(2, - 1, 3)$ não é colinear com $\vec{u}$ (a terceira coordenada não é nula), logo não é vetor diretor de $r$ .

Nas opções (C) e (D), o ponto $(- 1, 2, 0)$ tem cota $0 \neq 3$ , logo não pertence a $r$ .

Na opção (A), o vetor é $\vec{u}$ e o ponto $(3, 0, 3)$ pertence a $r$ : $\frac{3 + 1}{2} = 2$ , $\frac{0 - 2}{- 1} = 2$ e $z = 3$ (é o ponto $P + 2 \vec{u}$ ).

Resposta: opção (A).

14Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2018, época especial, item 2.1

Num referencial ortonormado $O x y z$ , considere a superfície esférica de equação $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3$ e o ponto $P (1, 1, 1)$ , que pertence a essa superfície esférica.
Seja $\vec{u}$ o vetor definido por $\vec{u} = - 2 \vec{O P}$ e seja $Q$ o ponto tal que $Q = P + \vec{u}$ .
Determine as coordenadas do ponto $Q$ e indique, no contexto da situação descrita, o significado do segmento de reta $[P Q]$ .

Resolução

$\vec{O P} = P - O = (1, 1, 1)$ , logo $\vec{u} = - 2 (1, 1, 1) = (- 2, - 2, - 2)$ .

$Q = P + \vec{u} = (1, 1, 1) + (- 2, - 2, - 2) = (- 1, - 1, - 1)$ .

O centro da superfície esférica é a origem $O$ . Como $\vec{O Q} = (- 1, - 1, - 1) = - \vec{O P}$ , o ponto $Q$ é o simétrico de $P$ relativamente a $O$ ; de facto, $(- 1)^{2} + (- 1)^{2} + (- 1)^{2} = 3$ , pelo que $Q$ também pertence à superfície esférica.

Logo, $O$ é o ponto médio de $[P Q]$ e $P$ e $Q$ pertencem à superfície: $Q (- 1, - 1, - 1)$ e $[P Q]$ é um diâmetro da superfície esférica.

15Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2018, época especial, item 9

Para um certo número real $a$ , diferente de zero, as retas $r$ e $s$ , definidas num referencial ortonormado $x O y$ por

$r : a x + 2 y + 1 = 0 e s : (x, y) = (1, 1) + k (a, 2 a), k \in ℝ$

são paralelas.
Qual é o valor de $a$ ?

(A) $- 4$ (B) $2$ (C) $- 2$ (D) $4$

Resolução

Equação reduzida de $r$ : $a x + 2 y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{a}{2} x - \frac{1}{2}$ , logo $m_{r} = - \frac{a}{2}$ .

O vetor $(a, 2 a)$ é vetor diretor de $s$ , logo $m_{s} = \frac{2 a}{a} = 2$ (pois $a \neq 0$ ).

Retas paralelas têm o mesmo declive: $- \frac{a}{2} = 2 \Leftrightarrow a = - 4$ .

Resposta: opção (A).

Ficha de exames nº1 – Vetores no plano e no espaço (2008–2018)

Ficha de exames nº1

10.º ano – Matemática A – Tema 6 (Vetores no plano e no espaço)

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