Ficha de exames nº1

Provas de 2007–2012

10.º ano – Matemática A – Tema 1 (Modelos matemáticos para a cidadania)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 3 fáceis10 médios2 difíceis

1Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2007, 1.ª fase, itens 2.1 e 2.2

Considere a tabela de escalões do IRS de 2005 (Continente). Para um casal tributado em conjunto, sem deduções à coleta, usa-se o seguinte procedimento simplificado:
• o rendimento coletável de cada cônjuge é metade do rendimento global do casal;
• identifica-se o escalão desse rendimento coletável, multiplica-se pela taxa e subtrai-se a parcela a abater;
• o valor obtido multiplica-se por 2, obtendo-se o IRS do casal.
Apresente os valores arredondados às centésimas.

Escalão	Rendimento coletável (€)	Taxa	Parcela a abater (€)
1	até 4 351	10,5 %	0,00
2	de 4 351,01 a 6 581	13 %	108,78
3	de 6 581,01 a 16 317	23,5 %	799,78
4	de 16 317,01 a 37 528	34 %	2 513,06
5	de 37 528,01 a 54 388	36,5 %	3 451,26
6	mais de 54 388	40 %	5 354,82

a) O Rui ganhou 10 950€ e a Luísa ganhou 10 000€ em 2005. Calcule o IRS a pagar por este casal.

b) A Joana e o Manuel tiveram, em 2005, rendimentos de 12 500€ e de 500€, respetivamente. Foi proposto ao casal um trabalho extra no Natal, pago com 1 000€. O Manuel afirma: «Não vale a pena aceitar, porque mudamos de escalão e ficamos a perder dinheiro.» Mostre, com cálculos, que o Manuel não tem razão, comparando o IRS e o rendimento que sobra ao casal (depois de pagar o IRS) com e sem o trabalho extra.

Resolução

a) Rendimento global: $10 950 + 10 000 = 20 950$ €. Rendimento coletável: $20 950 : 2 = 10 475$ €.

a) Como $6 581,01 \leq 10 475 \leq 16 317$ , aplica-se o 3.º escalão: taxa $23,5 %$ e parcela a abater $799,78$ €.

a) $10 475 \times 0,235 - 799,78 = 2 461,625 - 799,78 \approx 1 661,85$ €; IRS do casal: $1 661,85 \times 2 =$ 3 323,70€.

b) Sem o trabalho: global $13 000$ €, coletável $6 500$ € (2.º escalão). IRS $= (6 500 \times 0,13 - 108,78) \times 2 = (845 - 108,78) \times 2 = 1 472,44$ €. Fica com $13 000 - 1 472,44 = 11 527,56$ €.

b) Com o trabalho: global $14 000$ €, coletável $7 000$ € (3.º escalão). IRS $= (7 000 \times 0,235 - 799,78) \times 2 = (1 645 - 799,78) \times 2 = 1 690,44$ €. Fica com $14 000 - 1 690,44 = 12 309,56$ €.

b) O IRS aumenta apenas $1 690,44 - 1 472,44 = 218$ €, enquanto o rendimento aumenta $1 000$ €. O casal fica com mais $12 309,56 - 11 527,56 = 782$ €. A mudança de escalão não faz perder dinheiro (a parcela a abater compensa a taxa mais alta): o Manuel não tem razão.

2Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2007, 2.ª fase, item 1.1

Numa eleição com três candidatos (Rui, Luís e João) votaram 123 pessoas, ordenando os candidatos por preferência, como mostra a tabela. Usa-se um método preferencial (tipo Borda): cada 1.ª preferência vale 3 pontos, cada 2.ª preferência vale 2 pontos e cada 3.ª preferência vale 1 ponto. Vence o candidato com maior pontuação total.

Preferência	40 votos	45 votos	38 votos
1.ª	Rui	João	Luís
2.ª	Luís	Luís	Rui
3.ª	João	Rui	João

Calcule a pontuação de cada candidato e indique o vencedor.

Resolução

João: $40 \times 1 + 45 \times 3 + 38 \times 1 = 40 + 135 + 38 = 213$ pontos.

Rui: $40 \times 3 + 45 \times 1 + 38 \times 2 = 120 + 45 + 76 = 241$ pontos.

Luís: $40 \times 2 + 45 \times 2 + 38 \times 3 = 80 + 90 + 114 = 284$ pontos.

Verificação: cada boletim distribui $3 + 2 + 1 = 6$ pontos e $123 \times 6 = 738 = 213 + 241 + 284$ .

Vencedor: Luís, com 284 pontos.

3Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2008, 2.ª fase, itens 1.1, 1.2, 1.3 e 1.4

Os alunos do 12.º ano de uma escola votaram no destino da viagem de finalistas, ordenando quatro cidades por preferência. O resultado dos 216 boletins foi:

N.º de boletins	50	60	40	14	30	22
1.ª	Madrid	Vigo	Sevilha	Granada	Madrid	Granada
2.ª	Sevilha	Sevilha	Granada	Madrid	Vigo	Sevilha
3.ª	Granada	Granada	Vigo	Vigo	Sevilha	Madrid
4.ª	Vigo	Madrid	Madrid	Sevilha	Granada	Vigo

Método de apuramento: contam-se os votos em 1.ª preferência; se uma cidade tiver maioria absoluta, é a escolhida. Caso contrário, elimina-se a cidade com menos votos em 1.ª preferência, retira-se essa cidade de todos os boletins (as preferências seguintes sobem) e repete-se a contagem até uma cidade obter maioria absoluta.

a) Calcule o número de votos de cada cidade em 1.ª preferência.

b) Indique o número mínimo de votos que uma cidade teria de obter em 1.ª preferência para ser escolhida logo na primeira contagem.

c) Determine, pelo método descrito, a cidade escolhida, indicando os votos de cada cidade em cada contagem.

d) Sabe-se que $4 %$ dos alunos do 12.º ano não votaram. Quantos alunos frequentam o 12.º ano?

Resolução

a) Madrid: $50 + 30 = 80$ ; Vigo: $60$ ; Sevilha: $40$ ; Granada: $14 + 22 = 36$ .

b) Maioria absoluta é mais de metade dos votos: $216 : 2 = 108$ , logo são necessários 109 votos.

c) 1.ª contagem: ninguém tem 109 votos; elimina-se Granada (36). Os 14 votos passam para Madrid e os 22 para Sevilha.

c) 2.ª contagem: Madrid $80 + 14 = 94$ ; Sevilha $40 + 22 = 62$ ; Vigo $60$ . Elimina-se Vigo; os seus 60 boletins têm Sevilha a seguir.

c) 3.ª contagem: Madrid $94$ ; Sevilha $62 + 60 = 122 > 108$ . Cidade escolhida: Sevilha.

d) Os 216 votantes correspondem a $100 % - 4 % = 96 %$ dos alunos: $\frac{216 \times 100}{96} =$ 225 alunos.

4Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2009, 1.ª fase, item 1 (adaptado: Hamilton substituído por Sainte-Laguë)

Na eleição para a Assembleia de Freguesia de Monte da Azinha distribuíram-se 9 mandatos por cinco listas, que obtiveram os votos indicados.

Lista	A	B	C	D	E
Votos	454	438	49	463	29

Um habitante afirma que a distribuição dos mandatos seria a mesma pelo método de Hondt e pelo método de Sainte-Laguë. Verifique se tem razão.

a) Distribua os 9 mandatos pelo método de Hondt.

b) Distribua os 9 mandatos pelo método de Sainte-Laguë (divisores 1, 3, 5, 7, …).

c) Compare os resultados com as quotas (votos × 9 / total de votos) e conclua.

Resolução

a) Quocientes de Hondt (divisores 1, 2, 3): D: $463; 231,5; 154,33$ ; A: $454; 227; 151,33$ ; B: $438; 219; 146$ ; C: $49$ ; E: $29$ .

a) Os 9 maiores: 463, 454, 438, 231,5, 227, 219, 154,33, 151,33, 146. Resultado: A 3, B 3, C 0, D 3, E 0.

b) Quocientes de Sainte-Laguë (divisores 1, 3, 5): D: $463; 154,33; 92,6$ ; A: $454; 151,33; 90,8$ ; B: $438; 146; 87,6$ ; C: $49$ ; E: $29$ .

b) Os 9 maiores: 463, 454, 438, 154,33, 151,33, 146, 92,6, 90,8, 87,6 (o seguinte é C com 49). Resultado: A 3, B 3, C 0, D 3, E 0.

c) Total: $1 433$ votos. Quotas: A $\approx 2,85$ ; B $\approx 2,75$ ; C $\approx 0,31$ ; D $\approx 2,91$ ; E $\approx 0,18$ . Arredondando, obtém-se também 3, 3, 0, 3, 0.

c) Os dois métodos dão a mesma distribuição: o habitante tem razão.

5Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2009, 1.ª fase, item 2

Para eleger o representante dos alunos, cada um dos 95 votantes ordenou os quatro candidatos. Usa-se o método de Borda: 1.ª preferência vale 4 pontos, 2.ª vale 3, 3.ª vale 2 e 4.ª vale 1.

Preferência	25 votos	40 votos	15 votos	10 votos	5 votos
1.ª	Nuno	Pedro	Nuno	Pedro	Pedro
2.ª	Ana	Inês	Inês	Nuno	Nuno
3.ª	Inês	Nuno	Ana	Ana	Inês
4.ª	Pedro	Ana	Pedro	Inês	Ana

Determine a pontuação final de cada candidato e indique o vencedor.

Resolução

Ana: $25 \times 3 + 40 \times 1 + 15 \times 2 + 10 \times 2 + 5 \times 1 = 75 + 40 + 30 + 20 + 5 = 170$ .

Inês: $25 \times 2 + 40 \times 3 + 15 \times 3 + 10 \times 1 + 5 \times 2 = 50 + 120 + 45 + 10 + 10 = 235$ .

Nuno: $25 \times 4 + 40 \times 2 + 15 \times 4 + 10 \times 3 + 5 \times 3 = 100 + 80 + 60 + 30 + 15 = 285$ .

Pedro: $25 \times 1 + 40 \times 4 + 15 \times 1 + 10 \times 4 + 5 \times 4 = 25 + 160 + 15 + 40 + 20 = 260$ .

Verificação: $95 \times (4 + 3 + 2 + 1) = 950 = 170 + 235 + 285 + 260$ . Vencedor: Nuno, com 285 pontos.

6Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2009, 1.ª fase, itens 5.1, 5.2 e 5.3

O Manuel recebeu três propostas de emprego (não se contam subsídios de férias, de Natal ou outros):
• Situação A: vencimento mensal constante de 1 280€.
• Situação B: 450€ no 1.º mês; em cada um dos meses seguintes do 1.º ano o vencimento aumenta $10 %$ em relação ao mês anterior; a partir do 13.º mês fica igual ao do 12.º mês.
• Situação C: no mês $n$ do 1.º ano o vencimento é $V_{n} = 800 \times 1, 05^{n - 1}$ ; a partir do início do 2.º ano fica constante e igual a $V_{12}$ .

a) Indique os vencimentos dos quatro primeiros meses nas situações A e B (valores exatos).

b) Para um contrato de 5 anos, qual das situações, A ou C, é mais vantajosa? Determine o vencimento do 12.º mês, a soma dos vencimentos do 1.º ano e a soma dos vencimentos dos 5 anos em cada situação.

c) Na situação A, ao vencimento do 1.º mês é descontado IRS de $17 %$ . Que valor recebe efetivamente o Manuel nesse mês (sem outros descontos)?

Resolução

a) A: 1 280€ nos quatro meses. B: $450$ ; $450 \times 1,1 = 495$ ; $495 \times 1,1 = 544,50$ ; $544,5 \times 1,1 = 598,95$ €.

b) Situação A: 12.º mês 1 280€; 1.º ano $12 \times 1 280 = 15 360$ €; 5 anos $60 \times 1 280 = 76 800$ €.

b) Situação C: $V_{12} = 800 \times 1, 05^{11} \approx 1 368,27$ €. Somando $V_{1}, \dots, V_{12}$ na calculadora: 1.º ano $\approx 12 733,70$ €.

b) Nos 4 anos seguintes (48 meses) recebe $48 \times V_{12} \approx 65 677,03$ € (usando $V_{12}$ sem arredondar); total em 5 anos $\approx 12 733,70 + 65 677,03 \approx 78 410,73$ €.

b) Como $78 410,73 > 76 800$ , para 5 anos é mais vantajosa a situação C (apesar de no 1.º ano a A ser melhor).

c) IRS: $0,17 \times 1 280 = 217,60$ €; recebe $1 280 - 217,60 =$ 1 062,40€ (ou $0,83 \times 1 280$ ).

7Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2009, 2.ª fase, itens 1.1 e 1.2

O clube «O Duelo» tem 731 praticantes, distribuídos por modalidades como indica a tabela. A direção tem 12 lugares, distribuídos pelas modalidades segundo o método de Hondt.

Modalidade	Basquetebol	Futebol	Ténis	Golfe	Râguebi
Praticantes	186	218	91	45	191

a) Distribua os 12 lugares pelo método de Hondt. Em seguida, admita que o Golfe e o Ténis se juntam numa só lista e refaça a distribuição. O agrupamento é vantajoso? Compare com as quotas proporcionais.

b) O clube recebeu um subsídio de 10 965€, a repartir de forma diretamente proporcional ao número de praticantes de cada modalidade. Quanto recebe cada modalidade?

Resolução

a) Sem agrupamento, os 12 maiores quocientes são: $218$ (F), $191$ (R), $186$ (B), $109$ (F), $95,5$ (R), $93$ (B), $91$ (T), $72,67$ (F), $63,67$ (R), $62$ (B), $54,5$ (F), $47,75$ (R). Golfe ( $45$ ) fica de fora.

a) Resultado: Basquetebol 3, Futebol 4, Ténis 1, Golfe 0, Râguebi 4.

a) Com Golfe + Ténis $= 136$ : os 12 maiores são 218, 191, 186, 136, 109, 95,5, 93, 72,67, 68, 63,67, 62, 54,5. Resultado: Basquetebol 3, Futebol 4, Ténis + Golfe 2, Râguebi 3.

a) Quotas ( $praticantes \times 12 : 731$ ): Ténis + Golfe $\approx 1,49 + 0,74 = 2,23$ ; Râguebi $\approx 3,14$ . O agrupamento é vantajoso: Golfe e Ténis passam de 1 para 2 lugares e a distribuição fica mais próxima das quotas.

b) $10 965 : 731 = 15$ € por praticante.

b) Basquetebol $186 \times 15 = 2 790$ €; Futebol $218 \times 15 = 3 270$ €; Ténis $91 \times 15 = 1 365$ €; Golfe $45 \times 15 = 675$ €; Râguebi $191 \times 15 = 2 865$ €. Total: 10 965€.

8Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2010, 1.ª fase, item 1

Nas eleições autárquicas de um concelho, os 7 mandatos da vereação são distribuídos pelo método de Hondt. Os votos foram:

Partido	A	B	C	D	E	Total
Votos	7 744	4 918	1 666	1 572	308	16 208

Um movimento de cidadãos defende que os mandatos deviam ser distribuídos de forma diretamente proporcional aos votos, com arredondamento às unidades (por exemplo, ao partido B caberiam $\frac{4 918}{16 208} \times 7 \approx 2,124$ , ou seja, 2 mandatos).
Distribua os mandatos pelos dois processos e diga se a alteração mudaria o resultado.

Resolução

Hondt — quocientes: A: 7 744; 3 872; 2 581,33; 1 936; 1 548,8; B: $4 918; 2 459; 1 639,33$ ; C: $1 666$ ; D: $1 572$ ; E: $308$ .

Os 7 maiores: $7 744$ (A), $4 918$ (B), $3 872$ (A), $2 581,33$ (A), $2 459$ (B), $1 936$ (A), $1 666$ (C). Hondt: A 4, B 2, C 1, D 0, E 0.

Proporcional: A $\approx 3,345 \to 3$ ; B $\approx 2,124 \to 2$ ; C $\approx 0,720 \to 1$ ; D $\approx 0,679 \to 1$ ; E $\approx 0,133 \to 0$ (soma 7).

Proporcional: A 3, B 2, C 1, D 1, E 0.

Conclusão: a alteração mudaria o resultado — o partido A perderia um mandato e o partido D ganharia um. O método de Hondt favorece os partidos mais votados.

9Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2010, 2.ª fase, itens 2.1 e 2.2

Um subsídio de 2 532€ vai ser distribuído pelos jogos tradicionais de uma aldeia, de forma diretamente proporcional à percentagem de habitantes inscritos em cada jogo:

Jogo	Pau	Malha	Vara	Péla	Bilros
Inscritos	12 %	25 %	X	Y	20 %

Sabe-se que $X + Y = 43 %$ .

a) Que verba recebe o Jogo do Pau?

b) O Jogo da Péla recebeu 683,64€. Determine a percentagem de inscritos no Jogo da Vara.

Resolução

a) Pau: $0,12 \times 2 532 =$ 303,84€.

b) Péla: $Y = \frac{683,64}{2 532} = 0,27$ , ou seja, $Y = 27 %$ .

b) $X = 43 % - 27 % =$ $16 %$ (confirmação: $12 + 25 + 16 + 27 + 20 = 100$ ).

10Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2011, 1.ª fase, item 1.1

Numa eleição para $9$ lugares, aplicou-se o método de Hondt: $A$ 80 676 votos, $B$ 74 745, $C$ 28 867, $D$ 13 971 e $E$ 6148. Confirme a distribuição $4, 4, 1, 0, 0$ e verifique se o partido $C$ ganharia lugares coligando-se com $D$ ou com $E$ (somando os votos).

Resolução

Lista	÷ 1	÷ 2	÷ 3	÷ 4	÷ 5	÷ 6	÷ 7	÷ 8	÷ 9
A	80 676	40 338	26 892	20 169	16135,2	13 446	11525,1	10084,5	8 964
B	74 745	37372,5	24 915	18686,2	14 949	12457,5	10677,9	9343,1	8 305
C	28 867	14433,5	9622,3	7216,8	5773,4	4811,2	4123,9	3608,4	3207,4
D	13 971	6985,5	4 657	3492,8	2794,2	2328,5	1995,9	1746,4	1552,3
E	6 148	3 074	2049,3	1 537	1229,6	1024,7	878,3	768,5	683,1

Distribuição: $A$ : 4, $B$ : 4, $C$ : 1, $D$ : 0, $E$ : 0.

Coligação $C + D$ (42 838 votos): $A$ : 4, $B$ : 3, $C + D$ : 2, $E$ : 0. A coligação elege $2$ (mais um do que $C$ sozinho), à custa de $B$ .

Coligação $C + E$ (35 015 votos): $A$ : 4, $B$ : 4, $C + E$ : 1, $D$ : 0. Continua com $1$ lugar.

11Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2011, 1.ª fase, item 1.2 (adaptado: método de Webster substituído pelo método de Sainte-Laguë)

Nas eleições legislativas de 2009, num círculo eleitoral, foram atribuídos 9 mandatos a cinco partidos. A tabela seguinte indica os votos de cada partido e os mandatos que obteve pelo método de Hondt.

Partido	A	B	C	D	E
Votos	80 676	74 745	28 867	13 971	6148
Mandatos (Hondt)	4	4	1	0	0

Mostre que a distribuição dos mandatos seria diferente se fosse usado o método de Sainte-Laguë (divisores 1, 3, 5, 7, …). Apresente os quocientes arredondados às décimas. Compare ainda o resultado de cada método com a quota de cada partido (votos do partido a dividir pelo total de votos e multiplicado por 9), arredondada às milésimas.

Resolução

Divide-se o número de votos de cada partido por $1, 3, 5, 7, \dots$ :
A: $80 676$ ; $26 892$ ; $16 135,2$ ; $11 525,1$ ; $8964$
B: $74 745$ ; $24 915$ ; $14 949$ ; $10 677,9$
C: $28 867$ ; $9622,3$
D: $13 971$ ; $4657$
E: $6148$

Os 9 maiores quocientes, por ordem decrescente, são: $80 676$ (A), $74 745$ (B), $28 867$ (C), $26 892$ (A), $24 915$ (B), $16 135,2$ (A), $14 949$ (B), $13 971$ (D) e $11 525,1$ (A).

O quociente seguinte seria $10 677,9$ (B), que já não recebe mandato. Logo, pelo método de Sainte-Laguë: A – 4, B – 3, C – 1, D – 1, E – 0.

Total de votos: $80 676 + 74 745 + 28 867 + 13 971 + 6148 = 204 407$ . Divisor padrão: $\frac{204 407}{9} \approx 22 711,9$ .

Quotas: A $\approx 3,552$ ; B $\approx 3,291$ ; C $\approx 1,271$ ; D $\approx 0,615$ ; E $\approx 0,271$ .

Pelo método de Hondt, B recebe 4 mandatos (acima da sua quota de $3,291$ ) e D nenhum (quota $0,615$ ). Pelo método de Sainte-Laguë, cada partido recebe a sua quota arredondada às unidades: $4, 3, 1, 1, 0$ .

Pelo método de Sainte-Laguë a distribuição seria A – 4, B – 3, C – 1, D – 1, E – 0: o partido B perde um mandato para o partido D, logo a distribuição muda.

12Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2011, 2.ª fase, item 1

Para escolher a cidade de uma visita de estudo, 21 alunos ordenaram três cidades (Amarante, Braga e Lamego) por ordem de preferência. Os resultados estão na tabela.

N.º de votos	8	6	4	3
1.ª preferência	Braga	Lamego	Amarante	Amarante
2.ª preferência	Lamego	Amarante	Lamego	Braga
3.ª preferência	Amarante	Braga	Braga	Lamego

Aplique o método de Borda (1.ª preferência: 3 pontos; 2.ª: 2 pontos; 3.ª: 1 ponto) e verifique se a cidade vencedora é a que teve mais votos como 1.ª preferência.

Resolução

Amarante: $8 \times 1 + 6 \times 2 + 4 \times 3 + 3 \times 3 = 8 + 12 + 12 + 9 = 41$ pontos.

Braga: $8 \times 3 + 6 \times 1 + 4 \times 1 + 3 \times 2 = 24 + 6 + 4 + 6 = 40$ pontos.

Lamego: $8 \times 2 + 6 \times 3 + 4 \times 2 + 3 \times 1 = 16 + 18 + 8 + 3 = 45$ pontos.

Pelo método de Borda vence Lamego (45 pontos).

Primeiras preferências: Braga 8 votos, Amarante $4 + 3 = 7$ votos, Lamego 6 votos. A cidade com mais primeiras preferências é Braga e Lamego é a que tem menos.

Vence Lamego (45 pontos), que não é a cidade mais votada em 1.ª preferência (Braga, com 8 votos); Lamego é até a que tem menos primeiras preferências.

13Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2011, 2.ª fase, itens 3.1 e 3.2

No final de 2004, o Jerónimo depositou 25 000€ na instituição A e o Manuel depositou a mesma quantia na instituição B. As tabelas indicam o capital de cada conta no final de cada ano.

Instituição A	Final de 2004	Final de 2005	Final de 2006	Final de 2007	Final de 2008
Capital (€)	25 000,00	25 625,00	26 265,63	26 922,27	27 595,32

Instituição B	Final de 2004	Final de 2005	Final de 2006	Final de 2007	Final de 2008
Capital (€)	25 000,00	25 700,00	26 400,00	27 100,00	27 800,00

a) Mantendo as mesmas condições, determine o capital acumulado na conta do Jerónimo no final de 2011. Apresente o resultado arredondado às unidades.

b) Uma pessoa vai depositar 25 000€ no final de 2010. O Jerónimo afirma: «Inicialmente, a instituição B é a melhor escolha, mas a partir de certa altura a instituição A passa a ser mais vantajosa.» Escreva uma expressão para o capital ao fim de $n$ anos em cada instituição e indique, justificando, o ano a partir do qual a instituição A é mais vantajosa.

Resolução

a) Na instituição A, $\frac{25 625}{25 000} = 1,025$ e $\frac{26 265,63}{25 625} \approx 1,025$ : o capital é multiplicado por $1,025$ em cada ano (juro composto à taxa anual de $2,5 %$ ).

a) Do final de 2008 ao final de 2011 passam 3 anos: $C = 27 595,32 \times 1, 025^{3} \approx 29 717,14$ . Capital no final de 2011: cerca de 29 717€.

b) Na instituição B o capital aumenta sempre 700€ por ano ( $2,8 %$ de 25 000€): juro simples. Modelos: $A_{n} = 25 000 \times 1, 025^{n}$ e $B_{n} = 25 000 + 700 n$ .

b) Por exemplo, para $n = 1$ : $A_{1} = 25 625$ e $B_{1} = 25 700$ , logo no início B é melhor.

b) Com a calculadora (gráficos de $A_{n}$ e $B_{n}$ na janela $[0; 15] \times [0; 35 000]$ , ou tabela): $n = 9$ : $A_{9} \approx 31 221,57$ e $B_{9} = 31 300$ (B melhor); $n = 10$ : $A_{10} \approx 32 002,11$ e $B_{10} = 32 000$ (A melhor).

b) Como o depósito é feito no final de 2010, $n = 10$ corresponde ao final de 2020. A afirmação é verdadeira: a partir do final de 2020 a instituição A é mais vantajosa.

14Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2012, 1.ª fase, item 1.1

Para eleger a presidente de uma comissão, os 6100 votantes ordenaram três candidatas (Maria – M, Luísa – L, Fernanda – F) por ordem de preferência.

N.º de votos	1500	2100	1000	1500
1.ª preferência	M	L	F	F
2.ª preferência	L	F	L	M
3.ª preferência	F	M	M	L

Usa-se o método de comparação por pares: compara-se cada par de candidatas e, em cada votante, conta a candidata que ele coloca à frente da outra. É eleita a candidata que vencer todas as comparações com as outras, se existir. Por exemplo, na comparação Maria/Fernanda, a Fernanda tem 4600 votos e a Maria 1500.
Determine, caso exista, a candidata eleita.

Resolução

M contra F (dado): F vence com $4600$ votos contra $1500$ .

L contra F: L está à frente de F nas colunas com 1500 e 2100 votos: $1500 + 2100 = 3600$ ; F à frente de L: $1000 + 1500 = 2500$ . Vence L.

M contra L: M à frente de L nas colunas com 1500 e 1500 votos: $3000$ ; L à frente de M: $2100 + 1000 = 3100$ . Vence L.

A Luísa vence as duas comparações em que participa.

É eleita a Luísa.

15Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2012, 2.ª fase, item 1.1

Numa eleição foram distribuídos 10 mandatos por seis partidos.

Partido	A	B	C	D	E	F
Votos	23 023	13 245	12 345	2564	2543	2463

A Maria afirma: «Em comparação com o método de Hondt, o método de Sainte-Laguë possibilita a representação dos partidos menos votados.» Distribua os mandatos pelos dois métodos (quocientes com uma casa decimal) e diga se a Maria tem razão neste caso.

Resolução

Hondt (divisores 1, 2, 3, …): A: $23 023$ ; $11 511,5$ ; $7674,3$ ; $5755,8$ ; $4604,6$ ; $3837,2$ . B: $13 245$ ; $6622,5$ ; $4415$ ; $3311,3$ . C: $12 345$ ; $6172,5$ ; $4115$ . D: $2564$ ; E: $2543$ ; F: $2463$ .

Os 10 maiores quocientes: $23 023$ (A), $13 245$ (B), $12 345$ (C), $11 511,5$ (A), $7674,3$ (A), $6622,5$ (B), $6172,5$ (C), $5755,8$ (A), $4604,6$ (A), $4415$ (B). Hondt: A – 5, B – 3, C – 2, D, E e F – 0.

Sainte-Laguë (divisores 1, 3, 5, 7, …): A: $23 023$ ; $7674,3$ ; $4604,6$ ; $3289$ ; $2558,1$ . B: $13 245$ ; $4415$ ; $2649$ ; $1892,1$ . C: $12 345$ ; $4115$ ; $2469$ . D: $2564$ ; $854,7$ . E: $2543$ . F: $2463$ .

Os 10 maiores: $23 023$ (A), $13 245$ (B), $12 345$ (C), $7674,3$ (A), $4604,6$ (A), $4415$ (B), $4115$ (C), $3289$ (A), $2649$ (B), $2564$ (D). Sainte-Laguë: A – 4, B – 3, C – 2, D – 1, E e F – 0.

A Maria tem razão: com Sainte-Laguë o partido D, pouco votado, obtém 1 mandato (que o A perde), enquanto com Hondt não obtém nenhum.

Ficha de exames nº1 – Modelos matemáticos para a cidadania (2007–2012)

Ficha de exames nº1

10.º ano – Matemática A – Tema 1 (Modelos matemáticos para a cidadania)

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