Ficha de exames nº3

Provas de 2016–2018

10.º ano – Matemática A – Tema 1 (Modelos matemáticos para a cidadania)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 4 fáceis9 médios2 difíceis

1Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2016, 1.ª fase, item 1

Num festival, $1000$ internautas ordenaram quatro bandas para definir a ordem de atuação (método de Borda: 4, 3, 2 e 1 pontos). Contados $900$ votos:

Número de eleitores	200	400	300
1.ª preferência	A	B	C
2.ª preferência	B	A	D
3.ª preferência	C	C	B
4.ª preferência	D	D	A

Mostre que a banda

C

nunca poderá ficar em primeiro lugar, quaisquer que sejam os

100

votos que faltam contar.

Resolução

Pontos com $900$ votos: $A$ : 2300, $B$ : 2800, $C$ : 2400, $D$ : 1500.

Cada um dos $100$ votos dá a cada banda entre $1$ e $4$ pontos. No melhor caso para $C$ : $2400 + 400 = 2800$ . No pior caso para $B$ : $2800 + 100 = 2900$ .

Como $2800 < 2900$ , $C$ fica sempre atrás de $B$ e nunca pode ser a primeira.

2Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2016, 2.ª fase, item 1 (adaptado: método de Hondt)

Para a assembleia-geral de um clube, com 12 mandatos, concorreram quatro listas, que obtiveram os votos da tabela.

Lista	W	X	Y	Z
N.º de votos	498	100	804	98

Distribua os 12 mandatos pelas listas usando o método de Hondt. Compare com a distribuição obtida no exame original (método de divisores com arredondamento por excesso), que foi W – 4, X – 1, Y – 6, Z – 1, e comente.

Resolução

Dividimos os votos de cada lista por $1, 2, 3, \dots$ : W: $498; 249; 166; 124,5; 99,6$ ; X: $100; 50$ ; Y: 804; 402; 268; 201; 160,8; 134; 114,9; 100,5; 89,3; Z: $98; 49$ .

Os 12 maiores quocientes, por ordem: 804, 498, 402, 268, 249, 201, 166, 160,8, 134, 124,5, 114,9, 100,5.

Contagem: W tem 4 quocientes ( $498, 249, 166, 124,5$ ) e Y tem 8; o 13.º quociente seria $100$ (X).

Hondt: W – 4, X – 0, Y – 8, Z – 0.

Comentário: o método de Hondt favorece as listas mais votadas (Y passa de 6 para 8 mandatos), enquanto o método do exame (arredondamento por excesso) garante pelo menos um mandato às listas pequenas X e Z.

3Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2016, 2.ª fase, item 2

Para escolher o porta-estandarte de um clube, 47 sócios ordenaram quatro candidatos – Eduarda (E), Francisco (F), Gabriela (G) e Henrique (H) – por ordem de preferência.

N.º de votos	11	14	7	6	9
1.ª preferência	F	G	E	F	H
2.ª preferência	G	H	H	E	G
3.ª preferência	E	E	F	H	F
4.ª preferência	H	F	G	G	E

Método: contam-se os votos na 1.ª preferência; se algum candidato tiver maioria absoluta, é o vencedor. Caso contrário, elimina-se o candidato menos votado na 1.ª preferência, reorganizam-se as preferências e repete-se o processo até um candidato ter maioria absoluta.
Verifique se o candidato vencedor foi o que teve maior número de votos na primeira preferência. Apresente todos os cálculos.

Resolução

Maioria absoluta: mais de metade de 47, isto é, pelo menos 24 votos.

1.ª contagem: F $= 11 + 6 = 17$ ; G $= 14$ ; E $= 7$ ; H $= 9$ . Ninguém tem maioria absoluta; elimina-se E.

Os 7 votos com E em 1.º passam para H (2.ª preferência): F $= 17$ , G $= 14$ , H $= 9 + 7 = 16$ . Ninguém tem maioria; elimina-se G.

Os 14 votos com G em 1.º passam para H (a 2.ª preferência desses eleitores): F $= 17$ , H $= 16 + 14 = 30$ .

H tem $30 > 23,5$ votos: maioria absoluta.

O vencedor é Henrique (H), embora Francisco (F) tenha tido mais votos na 1.ª preferência (17).

4Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2016, 2.ª fase, item 7

A Eduarda, num país cuja moeda é o PRC, pagou com cartão de débito compras no valor total de 1200 PRC. Na data da compra, 1 PRC valia 0,80 euros. O banco cobra, por esta operação, uma taxa fixa de 3,52 euros e uma taxa percentual de 0,96% aplicada à despesa em euros.
Determine o valor debitado na conta da Eduarda, em euros, arredondado às centésimas.

Resolução

Despesa em euros: $1200 \times 0,80 = 960$ euros.

Taxa percentual: $0,96 % \times 960 = 0,0096 \times 960 = 9,216$ euros.

Valor debitado: $960 + 9,216 + 3,52 = 972,736$ euros.

Foram debitados 972,74 euros.

5Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2016, época especial, item 1 (adaptado: só o método de pontuação)

Para o prémio de melhor ator votaram 1500 pessoas, que ordenaram quatro atores (A, P, R e V) por preferência.

N.º de votos	615	300	435	150
1.ª preferência	P	V	R	R
2.ª preferência	A	R	V	V
3.ª preferência	V	A	A	P
4.ª preferência	R	P	P	A

Usa-se um método de pontuação (método de Borda): 4 pontos por cada voto em 1.ª preferência, 3 pontos na 2.ª, 2 pontos na 3.ª e 1 ponto na 4.ª; vence o ator com mais pontos.
Mostre que Vasco Silva (V) é o vencedor.

Resolução

A: $3 \times 615 + 2 \times 300 + 2 \times 435 + 1 \times 150 = 1845 + 600 + 870 + 150 = 3465$ pontos.

P: $4 \times 615 + 1 \times 300 + 1 \times 435 + 2 \times 150 = 2460 + 300 + 435 + 300 = 3495$ pontos.

R: $1 \times 615 + 3 \times 300 + 4 \times 435 + 4 \times 150 = 615 + 900 + 1740 + 600 = 3855$ pontos.

V: $2 \times 615 + 4 \times 300 + 3 \times 435 + 3 \times 150 = 1230 + 1200 + 1305 + 450 = 4185$ pontos.

Verificação: $3465 + 3495 + 3855 + 4185 = 15 000 = 1500 \times (4 + 3 + 2 + 1)$ .

V obtém a maior pontuação (4185 pontos), logo Vasco Silva é o vencedor.

6Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2017, 1.ª fase, itens 1.1 e 1.2 (adaptado ao método de Hondt)

Um parque distribui vales pelas zonas AQ, MT e SD, proporcionalmente à média de visitantes por hora: $554$ , $330$ e $286$ . Distribua $26$ vales e, depois, $27$ vales, pelo método de Hondt. Alguma zona perde vales quando o total aumenta?

Resolução

$26$ vales: $A Q$ : 13, $M T$ : 7, $S D$ : 6.

$27$ vales: $A Q$ : 13, $M T$ : 8, $S D$ : 6.

Nenhuma zona perde vales: o vale extra vai para MT. (No exame original, com outro método de quotas, a zona SD perdia um vale ao passar de 26 para 27 — o chamado paradoxo do Alabama, que não acontece com os métodos de divisores como o de Hondt.)

7Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2017, 1.ª fase, item 4

Um grupo de $3$ adultos e $3$ crianças vai a um parque. Bilhete geral: $27$ €; bilhete júnior: $19$ €. Promoção 1: bilhete familiar com $2$ adultos a $25$ € e até $3$ crianças a $16$ € (o 3.º adulto paga $27$ €). Promoção 2: $15 %$ de desconto na compra online. Qual é a promoção mais vantajosa?

Resolução

Sem promoção: $3 \times 27 + 3 \times 19 = 138$ €.

Promoção 1: $2 \times 25 + 3 \times 16 + 27 = 125$ €.

Promoção 2: $138 \times 0,85 = 117,30$ €.

A promoção 2 é a mais vantajosa.

8Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2017, 2.ª fase, itens 1.1 e 1.2

Para formar uma equipa de 10 alunos, realizou-se uma votação entre quatro listas, com 1450 votos válidos.

Lista	V	X	Y	Z
N.º de votos	373	602	318	157

a) Qual das coligações seguintes, mantendo-se os votos das restantes listas, obteria maioria absoluta? (A) V com Z (B) X com Z (C) Y com Z (D) V com Y

b) Aplique o método de Hondt na distribuição dos 10 lugares (apresente os quocientes arredondados às unidades) e verifique se é verdade que as listas V e Y terão o mesmo número de alunos na equipa.

Resolução

a) Maioria absoluta: mais de $\frac{1450}{2} = 725$ votos.

V+Z $= 530$ ; X+Z $= 759$ ; Y+Z $= 475$ ; V+Y $= 691$ . Só X+Z ultrapassa 725. Opção (B).

b) Quocientes (÷1, ÷2, ÷3, ÷4): V: $373, 187, 124, 93$ ; X: $602, 301, 201, 151$ ; Y: $318, 159, 106$ ; Z: $157, 79$ .

Os 10 maiores: 602, 373, 318, 301, 201, 187, 159, 157, 151, 124.

Lugares: X – 4, V – 3, Y – 2, Z – 1.

A afirmação é falsa: V tem 3 alunos e Y tem 2.

9Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2017, 2.ª fase, item 4

Uma agência de viagens apresentou um orçamento de 600 euros para uma viagem de finalistas, que pode ser pago a crédito em quatro prestações, com taxa de juro de 10% a 360 dias:
• a primeira prestação é paga 90 dias após a concessão do crédito;
• cada uma das restantes é paga 90 dias após a anterior.
O valor da prestação paga ao fim de $n$ períodos de 90 dias é

$P (C, n) = C \times [0,25 + j (1,25 - 0,25 n)]$

em que $C$ é o custo da viagem e $j$ é a taxa de juro a 90 dias.
Determine a taxa de juro a 90 dias e o valor da primeira e da segunda prestações.

Resolução

Taxa a 90 dias (proporcional): $j = \frac{10 %}{360} \times 90 = 2,5 % = 0,025$ .

1.ª prestação ( $n = 1$ ): $P (600, 1) = 600 \times [0,25 + 0,025 \times (1,25 - 0,25)] = 600 \times 0,275 = 165$ euros.

2.ª prestação ( $n = 2$ ): $P (600, 2) = 600 \times [0,25 + 0,025 \times (1,25 - 0,5)] = 600 \times 0,26875 = 161,25$ euros.

Interpretação: cada prestação amortiza $150$ euros de capital e paga $2,5 %$ de juro sobre o capital em dívida ( $0,025 \times 600 = 15$ ; $0,025 \times 450 = 11,25$ ).

$j = 2,5 %$ ; 1.ª prestação: 165€; 2.ª prestação: 161,25€.

10Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2017, época especial, item 2

Para definir a ordem de exibição de quatro filmes (A, B, C e D) foram apurados 750 votos válidos, cada um com uma ordenação dos quatro filmes. A tabela regista 600 desses votos; os restantes 150 votantes escolheram todos a mesma ordenação, diferente das três da tabela.

N.º de votos	225	180	195
1.ª preferência	D	C	A
2.ª preferência	C	B	D
3.ª preferência	B	A	B
4.ª preferência	A	D	C

Método: 4 pontos por cada voto em 1.ª preferência, 3 na 2.ª, 2 na 3.ª e 1 na 4.ª.
Sabe-se que, no final, as pontuações dos filmes A e D foram iguais e que o filme B obteve a maior pontuação.
Identifique a ordenação feita pelos 150 votantes não registados na tabela.

Resolução

Pontos com os 600 votos: A $= 225 \times 1 + 180 \times 2 + 195 \times 4 = 1365$ ; B $= 225 \times 2 + 180 \times 3 + 195 \times 2 = 1380$ ; C $= 225 \times 3 + 180 \times 4 + 195 \times 1 = 1590$ ; D $= 225 \times 4 + 180 \times 1 + 195 \times 3 = 1665$ .

Os 150 votos dão $600$ , $450$ , $300$ e $150$ pontos às 1.ª, 2.ª, 3.ª e 4.ª preferências.

A e D empatam: $1365 + p_{A} = 1665 + p_{D}$ , logo $p_{A} - p_{D} = 300$ . Possibilidades: $p_{A} = 600, p_{D} = 300$ ou $p_{A} = 450, p_{D} = 150$ .

Se A fosse 1.º ( $p_{A} = 600$ , $p_{D} = 300$ ), A e D teriam $1965$ e B no máximo $1380 + 450 = 1830$ : B não seria o mais pontuado. Logo A é 2.º ( $450$ pontos) e D é 4.º ( $150$ pontos).

Restam 1.º e 3.º lugares para B e C. Se C fosse 1.º, C teria $2190$ e B $1680$ ; para B ter a maior pontuação, B é 1.º ( $1980$ ) e C é 3.º ( $1890$ ).

Totais: A $= 1815$ , B $= 1980$ , C $= 1890$ , D $= 1815$ (B tem a maior pontuação e A e D empatam).

A ordenação dos 150 votantes foi B – A – C – D.

11Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2017, época especial, item 7

Os preços de entrada num festival de cinema (de segunda a domingo) estão na tabela.

Tipo de ingresso	Preço
Bilhete diário (2.ª a 6.ª feira)	12€
Bilhete diário (sábado ou domingo)	16€
Passe só fim de semana	24€
Passe todos os dias	74€

Dois amigos pretendem ir ao festival: um quer bilhetes para 4 dias úteis e o passe de fim de semana; o outro quer bilhetes para os 5 dias úteis e para o sábado.
Averigue, para cada um, se a compra do passe válido para todos os dias é vantajosa.

Resolução

1.º amigo: $4 \times 12 + 24 = 48 + 24 = 72$ euros.

2.º amigo: $5 \times 12 + 16 = 60 + 16 = 76$ euros.

Comparação com o passe de 74€: $72 < 74$ e $76 > 74$ .

O passe para todos os dias só é vantajoso para o 2.º amigo (poupa 2€); o 1.º gasta menos sem ele (72€).

12Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2018, 1.ª fase, item 1.1

Na escolha do país de uma viagem de finalistas, os alunos ordenaram três países. Houve $X$ votos com a ordem Bélgica, Dinamarca, Croácia; $15$ votos com Croácia, Dinamarca, Bélgica; $12$ votos com Dinamarca, Croácia, Bélgica; e $7$ votos com Bélgica, Croácia, Dinamarca. Para que valores inteiros de $X$ a Bélgica fica em segundo lugar no número de primeiras preferências?

Resolução

Primeiras preferências: Bélgica $X + 7$ ; Croácia $15$ ; Dinamarca $12$ .

A Bélgica fica em segundo se $12 < X + 7 < 15$ ⇔ $5 < X < 8$ .

$X = 6$ ou $X = 7$ .

13Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2018, 1.ª fase, item 1.2

Com os dados do exercício anterior e $X = 9$ , aplica-se o seguinte método: se nenhum país tiver maioria absoluta das primeiras preferências, elimina-se o menos votado e repete-se a contagem com as preferências seguintes. Que país é escolhido?

Resolução

Total: $9 + 15 + 12 + 7 = 43$ votos; maioria absoluta: pelo menos $22$ .

1.ª contagem: Bélgica $16$ , Croácia $15$ , Dinamarca $12$ . Ninguém tem maioria absoluta: elimina-se a Dinamarca.

Os $12$ votos da Dinamarca passam para a preferência seguinte desses eleitores, a Croácia.

2.ª contagem: Bélgica $16$ , Croácia $27$ . A Croácia tem maioria absoluta e é escolhida.

14Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2018, 1.ª fase, item 5

Em 2010, aplicaram-se $2800$ € num depósito com taxa anual de $4 %$ e capitalização semestral (juros de $2 %$ por semestre). Quanto valia o depósito em 2016?

Resolução

De 2010 a 2016 são $6$ anos, ou seja, $12$ semestres.

$C = 2800 \times 1, 02^{12} \approx 3551,08$ €.

15Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2018, 2.ª fase, item 1.1

Os 75 membros de uma companhia de teatro votaram na cidade onde começaria a digressão. A abstenção foi de 20% e 95% dos votos foram validamente expressos. Os votos válidos nas cidades A e B foram:

Cidade	A	B	C
N.º de votos	14	17	?

Quantos votos validamente expressos obteve a cidade C?

(A) 26 (B) 29 (C) 40 (D) 44

Resolução

Votantes: $80 %$ de $75 = 0,8 \times 75 = 60$ .

Votos válidos: $95 %$ de $60 = 57$ .

Cidade C: $57 - 14 - 17 = 26$ .

Opção (A) 26.

Ficha de exames nº3 – Modelos matemáticos para a cidadania (2016–2018)

Ficha de exames nº3

10.º ano – Matemática A – Tema 1 (Modelos matemáticos para a cidadania)

Deixe um comentário Cancelar resposta

1468

3887

198

17

Receba novidades

Cursos

Links úteis

Utilizador