Ficha de exames nº2

Provas de 2010–2013

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 3 fáceis9 médios3 difíceis

1Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2010, 1.ª fase, item 5.4

A Joana, a Maria e o Henrique depositaram, para a viagem de finalistas, 720€, 800€ e 910€, respetivamente. O pai do Henrique vai oferecer a mesma quantia a cada um dos três jovens, para que a média das quantias depositadas passe a ser 1 100€.
Sabe-se que, se adicionarmos uma constante $k$ a cada dado, a média dos novos valores é igual à média original mais $k$ .
Que quantia deve o pai do Henrique oferecer a cada jovem?

Resolução

Média inicial: $\bar{x} = \frac{720 + 800 + 910}{3} = \frac{2 430}{3} = 810$ €.

Somando $k$ a cada valor, a nova média é $\bar{x} + k = 810 + k$ .

$810 + k = 1 100 ⟺ k = 290$ .

Verificação: $1 010, 1 090, 1 200$ têm média $3 300 : 3 = 1 100$ . Resposta: 290€ a cada jovem.

2Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2010, 1.ª fase, item 2.1 do Grupo III

O Diogo registou a esperança média de vida à nascença, em anos, em dez países da União Europeia, sendo $x$ o valor para as mulheres e $y$ o valor para os homens.

País	Mulheres ( $x$ )	Homens ( $y$ )
Portugal	81,7	75,5
Espanha	85,0	78,9
França	84,3	77,5
Irlanda	81,6	76,8
Reino Unido	81,7	77,6
Bélgica	83,5	77,5
Holanda	82,3	78,3
Alemanha	82,4	77,2
Itália	84,1	78,8
Grécia	82,5	77,5

Admita que os valores da Áustria se ajustam à reta de regressão linear de $y$ sobre $x$ obtida com estes dados. Sabendo que a esperança média de vida de uma mulher austríaca é $83,0$ anos, estime a de um homem austríaco. Apresente os parâmetros da reta com, pelo menos, seis casas decimais e o resultado final arredondado às décimas.

Resolução

Introduz-se em L1 os valores de $x$ e em L2 os valores de $y$ e calcula-se a regressão linear de L2 sobre L1.

Declive: $a \approx 0,544378$ ; ordenada na origem: $b \approx 32,425635$ .

Reta de regressão: $y = 0,544378 x + 32,425635$ .

Para $x = 83,0$ : $y = 0,544378 \times 83,0 + 32,425635 \approx 45,183374 + 32,425635 \approx 77,609$ .

A esperança média de vida estimada de um homem austríaco é cerca de $77,6$ anos.

3Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2010, 2.ª fase, itens 4.1, 4.2 e 4.3

A tabela apresenta, para sete países, a taxa de alfabetização de adultos (TAA, em $%$ ), $x$ , e o PIB por habitante (em dólares), $y$ .

País	A	B	C	D	E	F	G
TAA x (%)	15,4	74,8	43,5	17,8	11,5	89,6	61,2
PIB y (dólares)	1 839	7 932	4 251	2 586	1 524	12 674	6 275

a) Calcule a média da TAA dos sete países (arredondada às décimas).

b) Com a calculadora, determine a reta de regressão $y = a x + b$ e o coeficiente de correlação $r$ (valores com quatro casas decimais).

c) Sem o país F (considerado um valor atípico), obtém-se $r \approx 0,9937$ e $y = 96,6098 x + 457,8482$ . Comente o efeito da exclusão de F no coeficiente de correlação e nas previsões feitas com a reta.

Resolução

a) $\bar{x} = \frac{15,4 + 74,8 + 43,5 + 17,8 + 11,5 + 89,6 + 61,2}{7} = \frac{313,8}{7} \approx$ 44,8 %.

b) Listas: L1 = TAA, L2 = PIB. A regressão linear dá $a \approx 123,7159$ , $b \approx - 248,7235$ , isto é, $y = 123,7159 x - 248,7235$ .

b) Coeficiente de correlação: $r \approx 0,9634$ (associação linear positiva muito forte).

c) Sem F, $r$ passa de $0,9634$ para $0,9937$ , mais próximo de 1: a associação linear entre os restantes seis países é ainda mais forte.

c) O ponto F, muito afastado, “puxa” a reta; sem ele, a reta ajusta-se melhor aos restantes pontos, pelo que as previsões ficam mais fiáveis (para valores de TAA dentro da gama dos dados).

4Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2011, 1.ª fase, item 3.3 (adaptado)

Num questionário, 40 alunos indicaram quantos livros leram nas férias de verão. A média do número de livros lidos por aluno foi 5 e a mediana foi 3.
Os 40 alunos participaram num projeto de promoção da leitura e pretende-se que, nas próximas férias de verão, cada um deles leia mais 1 livro do que leu nestas férias.
Explique as repercussões desse aumento na média e na mediana do número de livros lidos por aluno.

Resolução

Se cada aluno ler mais 1 livro, cada dado $x_{i}$ passa a $x_{i} + 1$ .

Nova média: $\frac{(x_{1} + 1) + \dots + (x_{40} + 1)}{40} = \frac{x_{1} + \dots + x_{40}}{40} + \frac{40}{40} = 5 + 1 = 6$ .

A ordenação dos dados não se altera (todos aumentam o mesmo), por isso os dois valores centrais (20.º e 21.º) também aumentam 1 unidade e a mediana passa de 3 para $3 + 1 = 4$ .

A média passa a ser 6 livros e a mediana passa a ser 4 livros: ambas aumentam 1 unidade.

5Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2011, época especial, item 2 do Grupo III

Numa turma de Artes Visuais com 20 alunos, as classificações a Matemática B ( $x$ ) no final do 1.º período foram as da tabela.

Classificação a Matemática B	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
N.º de alunos	4	1	1	6	2	1	1	1	2	1

No diagrama de extremos e quartis das classificações dos mesmos alunos a Geometria Descritiva A ( $y$ ), a mediana é 11 valores. A reta de regressão linear de $y$ sobre $x$ é

$y = 1,030504 x - 1,184350, 9 \leq x \leq 18 .$

Escreva uma pequena composição comparando as classificações nas duas disciplinas, na qual justifique que:
• a correlação linear entre as classificações das duas disciplinas é positiva;
• a mediana das classificações de Matemática B é superior à de Geometria Descritiva A;
• a média das classificações de Matemática B, 12,6 valores, é superior à média das classificações de Geometria Descritiva A estimada pelo modelo de regressão.

Resolução

Correlação: o declive da reta de regressão, $1,030504$ , é positivo; logo a correlação linear é positiva (os alunos com melhores classificações a Matemática B tendem a ter melhores classificações a Geometria Descritiva A).

Mediana de Matemática B: com 20 dados ordenados, a mediana é a média do 10.º e do 11.º dados. As frequências acumuladas são 4, 5, 6, 12, … , logo o 10.º e o 11.º dados são ambos 12: $\tilde{x} = \frac{12 + 12}{2} = 12$ valores, que é superior à mediana 11 de Geometria Descritiva A.

Média de Matemática B: $\bar{x} = \frac{4 \times 9 + 10 + 11 + 6 \times 12 + 2 \times 13 + 14 + 15 + 16 + 2 \times 17 + 18}{20} = \frac{252}{20} = 12,6$ valores.

A reta de regressão passa pelo ponto $(\bar{x}, \bar{y})$ ; logo a média estimada de Geometria Descritiva A é $\bar{y} = 1,030504 \times 12,6 - 1,184350 \approx 11,8$ valores.

Conclusão: correlação positiva (declive positivo); mediana 12 > 11; média 12,6 > 11,8 – em ambas as medidas de localização, Matemática B supera Geometria Descritiva A.

6Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2012, 1.ª fase, item 4.1

A Maria registou as idades de uma amostra de alunos da escola.

Idade (anos)	14	15	16	p
N.º de alunos	6	10	6	2

Ao introduzir os dados na calculadora, a Maria escreveu erradamente o valor $p$ e obteve uma média de idades de $48,5$ anos. Determine o valor de $p$ que a Maria escreveu.

Resolução

Número de alunos: $6 + 10 + 6 + 2 = 24$ .

Média: $\bar{x} = \frac{14 \times 6 + 15 \times 10 + 16 \times 6 + 2 p}{24} = \frac{330 + 2 p}{24}$ .

Como $\bar{x} = 48,5$ : $\frac{330 + 2 p}{24} = 48,5 \Leftrightarrow 330 + 2 p = 1164$ .

$2 p = 834 \Leftrightarrow p = 417$ .

A Maria escreveu $p = 417$ .

7Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2012, 1.ª fase, item 4.2

Foi registado o número de irmãos dos alunos de duas amostras de 24 alunos: a da Maria e a de outra escola.

N.º de irmãos (amostra da Maria)	0	1	2	3	4	5
N.º de alunos	3	6	8	3	0	4

N.º de irmãos (outra escola)	0	1	2	3	4	5
N.º de alunos	1	4	14	4	1	0

Compare a variabilidade das duas amostras em relação à média. Determine a média e o desvio-padrão de cada amostra (arredondados às milésimas) e interprete os resultados.

Resolução

Amostra da Maria: $\bar{x} = \frac{0 \times 3 + 1 \times 6 + 2 \times 8 + 3 \times 3 + 4 \times 0 + 5 \times 4}{24} = \frac{51}{24} = 2,125$ .

Desvio-padrão (calculadora, desvio-padrão amostral): $s = \sqrt{\frac{\sum n_{i} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{23}} \approx 1,569$ .

Outra escola: $\bar{x} = \frac{0 + 4 + 28 + 12 + 4 + 0}{24} = \frac{48}{24} = 2$ .

Desvio-padrão: $s = \sqrt{\frac{1 \times 4 + 4 \times 1 + 14 \times 0 + 4 \times 1 + 1 \times 4}{23}} = \sqrt{\frac{16}{23}} \approx 0,834$ .

As médias são praticamente iguais ( $2,125$ e $2$ ), mas o desvio-padrão da amostra da Maria é quase o dobro.

Médias: $2,125$ e $2$ ; desvios-padrão: $1,569$ e $0,834$ . Os dados da amostra da Maria estão mais dispersos em relação à média.

8Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2012, 1.ª fase, item 5.1

Uma cooperativa produz por ano 92 000 sacas de centeio, milho e trigo, que vende no mercado interno ou externo. Sabe-se que:
• 23% da produção é de centeio e um quarto da produção de centeio é vendida no mercado interno;
• 11 960 sacas de milho são vendidas no mercado externo;
• são produzidas 11 040 sacas de trigo, das quais 50% são vendidas no mercado interno.
Complete a tabela com as percentagens (relativas à produção total), apresentando os cálculos.

	Centeio	Total
Mercado externo
Mercado interno
Total	23%	100%

Resolução

Centeio: $23 %$ de $92 000$ são $21 160$ sacas. Interno: $\frac{1}{4} \times 23 % = 5,75 %$ ; externo: $23 % - 5,75 % = 17,25 %$ .

Trigo: $\frac{11 040}{92 000} = 0,12 = 12 %$ . Interno e externo: $6 %$ cada.

Milho: $100 % - 23 % - 12 % = 65 %$ . Externo: $\frac{11 960}{92 000} = 0,13 = 13 %$ ; interno: $65 % - 13 % = 52 %$ .

Mercado externo: $17,25 % + 13 % + 6 % = 36,25 %$ ; mercado interno: $5,75 % + 52 % + 6 % = 63,75 %$ .

Externo: centeio 17,25%, milho 13%, trigo 6%, total 36,25%. Interno: centeio 5,75%, milho 52%, trigo 6%, total 63,75%. Totais: centeio 23%, milho 65%, trigo 12%.

9Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2012, 1.ª fase, item 1 do Grupo I

Na festa de inauguração da nova sala polivalente de um jardim de infância, a direção pediu a cada criança que trouxesse livros para a biblioteca. Estiveram presentes 80 crianças. A tabela seguinte apresenta as frequências absolutas acumuladas do número de livros trazidos por criança.

N.º de livros	0	1	2	3	4	5
Frequência absoluta acumulada	5	20	35	60	75	80

Com estes dados construiu-se um diagrama de extremos e quartis, em que $a$ , $b$ , $c$ , $d$ e $e$ representam, respetivamente, o mínimo, o primeiro quartil, a mediana, o terceiro quartil e o máximo do número de livros trazidos por criança.
Determine os valores de $a$ , $b$ , $c$ , $d$ e $e$ .

Resolução

Frequências absolutas simples (diferenças entre acumuladas consecutivas): 0 livros – 5; 1 livro – 15; 2 livros – 15; 3 livros – 25; 4 livros – 15; 5 livros – 5 (total 80).

Extremos: houve crianças com 0 livros e com 5 livros, logo $a = 0$ e $e = 5$ .

Mediana: com $n = 80$ (par), é a média dos dados de ordens 40 e 41. Como a frequência acumulada passa de 35 (até 2 livros) para 60 (até 3 livros), ambos valem 3: $c = \frac{3 + 3}{2} = 3$ .

Primeiro quartil: é a mediana dos 40 primeiros dados, ou seja, a média dos dados de ordens 20 e 21. O 20.º dado é 1 (acumulada 20 até 1 livro) e o 21.º é 2: $b = \frac{1 + 2}{2} = 1,5$ .

Terceiro quartil: é a mediana dos 40 últimos dados, ou seja, a média dos dados de ordens 60 e 61. O 60.º dado é 3 e o 61.º é 4: $d = \frac{3 + 4}{2} = 3,5$ .

$a = 0$ , $b = 1,5$ , $c = 3$ , $d = 3,5$ e $e = 5$ .

10Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2012, 2.ª fase, itens 4.1, 4.2 e 4.3

A tabela apresenta, para 18 alunos, a classificação interna (CI, $x$ ) e a classificação de exame (CE, $y$ ) a uma disciplina, em valores.

Aluno	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
CI ( $x$ )	9	9	10	13	14	9	11	11	14	8	14	16	16	19	14	11	16	10
CE ( $y$ )	7	8,2	9,5	12,1	13,7	7,5	14,2	10,6	14,5	6,3	12,1	17,2	14,8	4,2	11,7	9,5	15,2	8,5

a) Represente os dados da CI num diagrama de barras, calcule a média da CI (arredondada às décimas) e descreva o que o gráfico mostra sobre a dispersão dos dados e sobre a representatividade da média.

b) Uma aluna afirmou: «A correlação entre a CI e a CE é fraca, mas aumenta muito se não considerarmos o aluno n.º 14.» Verifique, calculando o coeficiente de correlação linear com e sem o aluno n.º 14 (arredondado às milésimas).

c) Sem o aluno n.º 14, a reta de regressão de $y$ sobre $x$ é $y = 1,0927 x - 1,8476$ (válida para $x \in [8; 18]$ ). Estime a classificação de exame de um aluno com CI igual a 12 valores (arredondada às décimas).

Resolução

a) Frequências da CI: 8 → 1; 9 → 3; 10 → 2; 11 → 3; 12 → 0; 13 → 1; 14 → 4; 15 → 0; 16 → 3; 17 → 0; 18 → 0; 19 → 1. O diagrama de barras tem uma barra por valor, com altura igual à frequência (incluindo as frequências nulas).

a) $\bar{x} = \frac{8 + 27 + 20 + 33 + 13 + 56 + 48 + 19}{18} = \frac{224}{18} \approx 12,4$ .

a) Os dados estão muito espalhados (de 8 a 19), com dois grupos de valores (8 a 11 e 13 a 16) e nenhum aluno com classificação próxima de 12. A média é 12,4 valores, mas é pouco representativa, porque os dados estão dispersos em torno dela.

b) Com a calculadora (listas $x$ e $y$ ): com os 18 alunos, $r \approx 0,439$ (correlação positiva fraca/moderada).

b) Sem o aluno n.º 14 ( $x = 19$ , $y = 4,2$ , um ponto muito afastado dos outros): $r \approx 0,913$ . A afirmação é verdadeira: $r$ passa de $0,439$ para $0,913$ (correlação positiva forte).

c) $y = 1,0927 \times 12 - 1,8476 = 13,1124 - 1,8476 = 11,2648$ . Estimativa: cerca de 11,3 valores.

11Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2012, 2.ª fase, item 2 do Grupo IV

Num inquérito realizado a 200 alunos de uma escola, registou-se a idade de cada aluno, em anos completos. A tabela apresenta a função cumulativa $F$ das idades dos alunos à data do inquérito.

Idade $x$ (anos)	12	13	14	15	16	17
$F (x)$ (n.º acumulado de alunos)	10	78	136	178	195	200

Admita que, dois anos depois, todos estes alunos continuam na escola. Determine o desvio-padrão das idades dos 200 alunos nessa altura. Apresente o resultado arredondado às centésimas.

Resolução

Dois anos depois, todas as idades aumentam 2 anos: $y_{i} = x_{i} + 2$ . Somar uma constante a todos os dados desloca a média mas não altera a dispersão, logo o desvio-padrão mantém-se.

Frequências absolutas atuais: 12 anos – 10; 13 – 68; 14 – 58; 15 – 42; 16 – 17; 17 – 5.

Média: $\bar{x} = \frac{12 \times 10 + 13 \times 68 + 14 \times 58 + 15 \times 42 + 16 \times 17 + 17 \times 5}{200} = \frac{2803}{200} = 14,015$ .

Na calculadora (L1 = idades, L2 = frequências) obtém-se $σ \approx 1,1466$ . (À mão: $\sum n_{i} (x_{i} - \bar{x})^{2} \approx 262,955$ e $σ = \sqrt{262,955 / 200} \approx 1,1466$ .)

O desvio-padrão das idades, dois anos depois, é aproximadamente $1,15$ anos.

12Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, 1.ª fase, item 4.1

Numa escola, $200$ alunos indicaram o número de visitas à biblioteca na última semana ( $1$ a $5$ ). As frequências absolutas acumuladas são:

Visitas	1	2	3	4	5
$N_{i}$	78	166	184	196	200

Determine as frequências absolutas e a percentagem de alunos com mais de

2

visitas.

Resolução

$n_{1} = 78$ ; $n_{i} = N_{i} - N_{i - 1}$ :

Visitas	1	2	3	4	5
$n_{i}$	78	88	18	12	4

Mais de $2$ visitas: $200 - 166 = 34$ alunos, ou seja, $\frac{34}{200} = 17 %$ .

13Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, 1.ª fase, item 4.1

Com os dados do exercício anterior ( $200$ alunos, frequências acumuladas $78, 166, 184, 196, 200$ ), calcule a média e a mediana do número de visitas e compare-as.

Resolução

$\bar{x} = \frac{1 \times 78 + 2 \times 88 + 3 \times 18 + 4 \times 12 + 5 \times 4}{200} = \frac{376}{200} = 1,88$ .

Mediana: média do $100 .^{\circ}$ e $101 .^{\circ}$ valores; como $N_{1} = 78 < 100 \leq 166 = N_{2}$ , ambos valem $2$ : $\tilde{x} = 2$ .

Média ( $1,88$ ) e mediana ( $2$ ) são próximas: $83 %$ dos alunos fizeram $1$ ou $2$ visitas, e os poucos valores altos ( $4$ e $5$ ) puxam a média só ligeiramente.

14Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, 1.ª fase, item 4.2

Noutra escola, a distribuição do número de visitas ( $1$ a $5$ ) de $200$ alunos foi:

Visitas	1	2	3	4	5
$n_{i}$	66	46	38	38	12

Calcule a média e o desvio-padrão

s

(duas casas decimais).

Resolução

$\bar{x} = \frac{66 + 92 + 114 + 152 + 60}{200} = \frac{484}{200} = 2,42$ .

$s = \sqrt{\frac{\sum n_{i} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{199}} \approx 1,29$ .

15Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2013, 1.ª fase, item 4.2 (adaptado)

Na escola do exercício anterior ( $\bar{x} = 2,42$ , $s \approx 1,29$ ) descobriu-se que o registo contou, para cada aluno, uma visita a mais do que as realizadas. Sem refazer os cálculos, indique a média e o desvio-padrão corrigidos. Justifique.

Resolução

Os valores corrigidos são $y_{i} = x_{i} - 1$ (translação de todos os dados).

A média acompanha a translação: $\bar{y} = \bar{x} - 1 = 1,42$ .

Os desvios $y_{i} - \bar{y} = x_{i} - \bar{x}$ não mudam, logo o desvio-padrão mantém-se: $s_{y} \approx 1,29$ .

Ficha de exames nº2 – Estatística (2010–2013)

Ficha de exames nº2

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

Deixe um comentário Cancelar resposta

1468

3887

198

17

Receba novidades

Cursos

Links úteis

Utilizador