Ficha de exames nº5

Provas de 2017–2019

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 4 fáceis11 médios

1Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2017, 2.ª fase, item 6.2

Fez-se um estudo sobre o tempo que os alunos de uma escola demoram de casa à escola. A tabela está incompleta; $a$ representa a frequência relativa simples, em percentagem, da classe $[0, 10 [$ .

Tempo (min)	N.º de alunos	Freq. relativa simples (%)	Freq. relativa acumulada (%)
[0, 10[		a
[10, 20[	144	12
[20, 30[	336		65
[30, 40[

Determine o valor de $a$ .

Resolução

As frequências relativas são proporcionais às absolutas: $\frac{12}{x} = \frac{144}{336}$ , onde $x$ é a frequência relativa (%) de $[20, 30 [$ .

$x = \frac{12 \times 336}{144} = 28$ .

A frequência relativa acumulada de $[20, 30 [$ é a soma das três primeiras: $a + 12 + 28 = 65$ .

$a = 25$ .

(Alternativa: $144$ alunos são $12 %$ , logo o total é $1200$ alunos e $\frac{336}{1200} = 28 %$ .)

2Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2017, 2.ª fase, item 7.1

Inquiriram-se 500 alunos (350 raparigas e 150 rapazes) sobre o número de idas ao cinema num trimestre.

N.º de idas ao cinema	0	1	2	3	4	5
Raparigas	32	46	63	106	60	43
Rapazes	10	17	42	34	25	22

Considerando apenas as raparigas, qual é a percentagem, arredondada às décimas, das que foram ao cinema pelo menos três vezes?

(A) 29,4 (B) 40,3 (C) 59,7 (D) 71,4

Resolução

«Pelo menos três vezes» corresponde a 3, 4 ou 5 idas.

Raparigas nessas condições: $106 + 60 + 43 = 209$ .

Percentagem: $\frac{209}{350} \times 100 \approx 59,7 %$ .

Opção (C) 59,7.

3Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2017, época especial, itens 5.1, 5.2 e 5.3

A tabela indica, para sete filmes, o custo de produção, $x$ (em milhares de euros), e o número de espectadores, $y$ (em milhares).

Filme	A	B	C	D	E	F	G
Custo x (milhares de €)	435	379	65	60	276	59	43
Espectadores y (milhares)	99	84	16	13	75	12	9

a) Quantos filmes têm custo de produção superior ao custo de produção médio? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

b) Admita que a relação entre $x$ e $y$ é aproximadamente linear, modelada pela reta de regressão $y = a x + b$ . Estime o custo de produção de um filme com 52,5 milhares de espectadores (use $a$ e $b$ com três casas decimais; resultado arredondado aos milhares de euros).

c) Os espectadores do filme D foram obtidos nas quatro semanas de exibição. Na 3.ª semana houve 3250 espectadores e a 4.ª semana correspondeu a 5% do total. Determine o número total de espectadores do filme D nas duas primeiras semanas.

Resolução

a) Custo médio: $\bar{x} = \frac{435 + 379 + 65 + 60 + 276 + 59 + 43}{7} = \frac{1317}{7} \approx 188,1$ milhares de euros. Superiores: A, B e E. Opção (C) 3.

b) Com a calculadora (listas $x$ e $y$ ): $a \approx 0,233$ e $b \approx 0,238$ , isto é, $y = 0,233 x + 0,238$ .

Para $y = 52,5$ : $0,233 x + 0,238 = 52,5 \Leftrightarrow x = \frac{52,262}{0,233} \approx 224,3$ . Custo estimado: 224 milhares de euros.

c) Total do filme D: $13$ milhares $= 13 000$ espectadores. 3.ª semana: $\frac{3250}{13 000} = 25 %$ .

As duas primeiras semanas correspondem a $100 % - 25 % - 5 % = 70 %$ : $0,7 \times 13 000 = 9100$ .

Nas duas primeiras semanas houve 9100 espectadores.

4Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2017, época especial, item 3 do Grupo II

Num jogo de futebol, a média das idades dos 11 jogadores que iniciaram a partida por uma equipa era de 22 anos. Um desses jogadores era o veterano guarda-redes Manuel Vento. A média das idades dos outros 10 jogadores era de $20,8$ anos.
Determine a idade do Manuel Vento nesse dia.

Resolução

Se a média de 11 valores é 22, a soma desses valores é $11 \times 22 = 242$ .

A soma das idades dos outros 10 jogadores é $10 \times 20,8 = 208$ .

A idade do guarda-redes é a diferença: $242 - 208 = 34$ .

(Alternativa: sendo $x$ a idade, $\frac{x + 208}{11} = 22 \Leftrightarrow x = 242 - 208 = 34$ .)

O Manuel Vento tinha 34 anos.

5Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2017, época especial, item 3 do Grupo III

A tabela seguinte apresenta o salário médio mensal, $y$ , em euros, de um trabalhador do setor da agricultura e pescas, em alguns anos, $x$ , entre 1985 e 2012.

Ano (x)	1985	1989	1992	1995	1999	2000	2003	2005	2007	2010	2012
Salário médio, em € (y)	106,6	179,8	276,5	349,8	429,8	459,1	527,5	558,6	611,9	683,7	708,2

Admita que a relação entre as variáveis é bem modelada pela reta de regressão de $y$ sobre $x$ , $y = a x + b$ . Estime o salário médio de um trabalhador deste setor em 2001.
Use os valores de $a$ e $b$ arredondados às centésimas e apresente o resultado em euros, arredondado às unidades.

Resolução

Introduzimos os anos na lista L1 e os salários na lista L2 e efetuamos a regressão linear.

Obtemos $a \approx 22,78$ e $b \approx - 45 104,23$ ( $r \approx 0,999$ ).

Reta de regressão: $y = 22,78 x - 45 104,23$ .

Para $x = 2001$ : $y = 22,78 \times 2001 - 45 104,23 = 45 582,78 - 45 104,23 = 478,55$ .

Estimativa: cerca de 479 euros. (Note-se que, com $x$ a valer milhares, os arredondamentos dos parâmetros pesam muito: com os valores não arredondados obter-se-ia cerca de 474€; o enunciado pede os parâmetros às centésimas.)

6Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2018, 1.ª fase, item 6.1

Um gráfico de curvas de percentis (P3, P15, P50, P85, P97) relaciona a massa de larvas de uma espécie com o tempo de vida. Pela leitura do gráfico, para larvas com 10 semanas de vida:

Massa (g) às 10 semanas	Percentil
14	P15
27	P85

Numa amostra com 500 larvas com 10 semanas de vida, quantas é de esperar encontrar com massa entre 14 e 27 gramas?

Resolução

Estar no percentil 15 significa que 15% das larvas têm massa até 14 g; no percentil 85, que 85% têm massa até 27 g.

Percentagem entre 14 g e 27 g: $85 % - 15 % = 70 %$ .

Número esperado: $0,70 \times 500 = 350$ .

É de esperar encontrar 350 larvas.

7Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2018, 1.ª fase, item 6.2

A tabela de frequências da massa das larvas de uma amostra ficou parcialmente ilegível (células em branco).

Massa (g)	Freq. absoluta simples	Freq. relativa acumulada
[0, 5[	3	0,015
[5, 10[	15	a
[10, 15[
[15, 20[
[20, 25[		0,9
[25, 30[	b
[30, 35[	5	1

Determine os valores de $a$ e de $b$ .

Resolução

Total de larvas: $\frac{3}{n} = 0,015 \Leftrightarrow n = \frac{3}{0,015} = 200$ .

Frequência absoluta acumulada de $[5, 10 [$ : $3 + 15 = 18$ ; $a = \frac{18}{200} = 0,09$ .

Frequência absoluta acumulada até $[20, 25 [$ : $0,9 \times 200 = 180$ .

$180 + b + 5 = 200 \Leftrightarrow b = 15$ .

$a = 0,09$ e $b = 15$ .

8Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2018, 1.ª fase, item 2 do Grupo II

A tabela seguinte apresenta, para os anos de 2005 a 2014, o valor das exportações portuguesas de produtos agrícolas, florestais e da pesca, $x$ , e o valor das exportações de produtos alimentares e bebidas, $y$ , ambos em milhões de euros.

Ano	x (M€)	y (M€)
2005	594,2	2341,0
2006	664,6	2723,1
2007	736,3	3206,5
2008	904,2	3611,1
2009	830,0	3345,7
2010	940,5	3619,7
2011	992,6	4077,3
2012	1041,8	4302,5
2013	1028,7	4744,0
2014	1146,1	4966,9

Existe uma correlação linear forte entre as variáveis. Admita que o modelo linear se mantém válido em 2015, ano em que $x = 1225,8$ milhões de euros. Recorrendo à reta de regressão de $y$ sobre $x$ , estime o valor das exportações de produtos alimentares e bebidas em 2015.
Apresente os parâmetros da reta arredondados às milésimas e o resultado em milhões de euros, arredondado às unidades.

Resolução

Introduzimos os valores de $x$ em L1 e os de $y$ em L2 e efetuamos a regressão linear $y = a x + b$ .

Obtemos $a \approx 4,582$ e $b \approx - 374,385$ ( $r \approx 0,97$ ).

Reta de regressão: $y = 4,582 x - 374,385$ .

Para $x = 1225,8$ : $y \approx 4,582 \times 1225,8 - 374,385 \approx 5242$ .

Estimativa para 2015: cerca de 5242 milhões de euros.

9Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2018, 2.ª fase, itens 6.1 e 6.2

Uma peça teve 150 sessões: 100 em Portugal Continental e 50 nos Açores e na Madeira. A tabela resume o número de espectadores por sessão (classes de igual amplitude).

N.º de espectadores	[100, 150[	[150, 200[	[200, 250[	[250, 300[	[300, 350[
Continente – freq. absoluta (100 sessões)	16	24	8	32	20
Açores e Madeira – freq. absoluta acumulada (50 sessões)	12	30	38	44	50

a) Verifique se a média dos dados agrupados do número de espectadores por sessão no Continente pertence à classe modal.

b) Construa a tabela de frequências absolutas simples para as 150 sessões, mantendo as classes.

Resolução

a) Marcas das classes: $125, 175, 225, 275, 325$ .

$\bar{x} = \frac{125 \times 16 + 175 \times 24 + 225 \times 8 + 275 \times 32 + 325 \times 20}{100} = \frac{23 300}{100} = 233$ espectadores.

Classe modal (maior frequência, 32): $[250, 300 [$ . Como $233 \notin [250, 300 [$ , a média não pertence à classe modal.

b) Açores e Madeira – frequências simples (diferenças das acumuladas): $12, 18, 8, 6, 6$ .

Somando às do Continente: $16 + 12 = 28$ ; $24 + 18 = 42$ ; $8 + 8 = 16$ ; $32 + 6 = 38$ ; $20 + 6 = 26$ (total 150).

Tabela das 150 sessões: [100,150[ – 28; [150,200[ – 42; [200,250[ – 16; [250,300[ – 38; [300,350[ – 26.

10Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2018, época especial, itens 6.1.1 e 6.1.2

O diagrama de caule-e-folhas representa os 20 tempos, em minutos, dos atletas de uma equipa numa corrida (dezenas no caule, unidades nas folhas).

Caule	Folhas
4	6 8 8
5	0 0 0 4 6 6 6 7
6	2 2 3 5 9
7	4 4 4 9

a) Qual é a percentagem de atletas com um tempo de prova de, pelo menos, 54 minutos? (A) 30% (B) 35% (C) 65% (D) 70%

b) Sendo $\bar{x}$ a média e $s$ o desvio-padrão dos tempos, determine o número de atletas cujos tempos pertencem ao intervalo $] \bar{x} - s, \bar{x} + s [$ . Apresente o valor exato de $\bar{x}$ e o valor de $s$ arredondado às unidades.

Resolução

a) Tempos de pelo menos 54 min: $54, 56, 56, 56, 57$ (5), $62, 62, 63, 65, 69$ (5) e $74, 74, 74, 79$ (4): 14 atletas.

$\frac{14}{20} = 70 %$ . Opção (D).

b) Soma dos tempos: $1193$ ; $\bar{x} = \frac{1193}{20} = 59,65$ min. Com a calculadora, $s \approx 10,12 \approx 10$ min.

Intervalo: $] 59,65 - 10; 59,65 + 10 [=] 49,65; 69,65 [$ .

Tempos no intervalo: $50, 50, 50, 54, 56, 56, 56, 57, 62, 62, 63, 65, 69$ .

13 atletas.

11Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2018, época especial, item 6.2

Numa corrida participaram 1600 atletas, dos quais 1300 do género masculino. As idades foram agrupadas em classes de 10 anos (de 20 a 60 anos). Distribuição das frequências relativas:

Idade (anos)	[20, 30[	[30, 40[
Feminino – freq. relativa	23%	44%
Masculino – freq. relativa	15%	a

Determine o valor de $a$ , admitindo que participaram 682 atletas, de ambos os géneros, com idade inferior a 40 anos.

Resolução

Atletas do género feminino: $1600 - 1300 = 300$ .

Mulheres com menos de 40 anos: $(23 % + 44 %) \times 300 = 0,67 \times 300 = 201$ .

Homens com menos de 40 anos: $682 - 201 = 481$ , que corresponde a $\frac{481}{1300} = 0,37 = 37 %$ .

$15 % + a = 37 % \Leftrightarrow a = 22 %$ .

$a = 22 %$ .

12Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2019, 1.ª fase, itens 4.1.1 e 4.1.2

A latência é o tempo, em milissegundos (ms), que um conjunto de dados demora a ir de um computador até um servidor e a regressar. A tabela indica o número de testes de latência realizados por ano.

Ano	2014	2015	2016	2017	2018
N.º de testes	10 980	12 000	a	15 000	16 450

A tabela seguinte indica a distribuição, em percentagem, dos testes de 2015 e de 2017 por intervalo de latência.

Latência (ms)	2015	2017
Inferior a 34	57,5%	54,7%
[34, 67[	20,8%	26,4%
[67, 100[	6,8%	6,8%
100 ou mais	14,9%	12,1%

a) A média do número de testes realizados nos últimos cinco anos é 13 576. Determine o valor de $a$ .

b) Considere a afirmação: «O número de testes com latência inferior a 34 ms diminuiu de 2015 para 2017.» A afirmação é verdadeira? Justifique.

Resolução

a) Soma dos cinco anos: $5 \times 13 576 = 67 880$ .

Soma dos quatro anos conhecidos: $10 980 + 12 000 + 15 000 + 16 450 = 54 430$ .

$a = 67 880 - 54 430 = 13 450$ . $a = 13 450$ testes.

b) 2015: $0,575 \times 12 000 = 6900$ testes com latência inferior a 34 ms.

2017: $0,547 \times 15 000 = 8205$ testes.

A afirmação é falsa: embora a percentagem tenha diminuído, o número de testes aumentou (6900 → 8205).

13Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2019, 1.ª fase, item 5.3

Registou-se, para dez turistas, o índice de massa corporal (IMC), $x$ , e o tempo, $y$ , em minutos, que cada um demorou a subir uma das escadarias centrais do Templo de Kukulcán. Os resultados estão na tabela seguinte.

IMC (x)	17,0	18,3	19,4	20,1	20,3	23,6	23,7	25,1	25,2	26,2
Tempo, em min (y)	1,5	2,5	8,5	2,3	5,1	10,0	9,5	16,1	15,1	17,0

Existe uma correlação linear forte entre as variáveis. Recorrendo à reta de regressão de $y$ sobre $x$ , estime o tempo que um turista com IMC igual a $23,1$ demoraria a subir a escadaria.
Apresente os parâmetros da reta arredondados às milésimas e o resultado em minutos, arredondado às décimas.

Resolução

Na calculadora, introduzimos os valores de $x$ na lista L1 e os de $y$ na lista L2 e efetuamos a regressão linear $y = a x + b$ .

Obtemos $a \approx 1,683$ e $b \approx - 28,088$ (o coeficiente de correlação é $r \approx 0,93$ , o que confirma a correlação linear forte).

Reta de regressão: $y = 1,683 x - 28,088$ .

Para $x = 23,1$ : $y = 1,683 \times 23,1 - 28,088 \approx 10,8$ .

O turista demoraria aproximadamente 10,8 minutos.

14Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2019, 2.ª fase, item 6.1

O diagrama de caule-e-folhas representa 9 das 10 licitações (em euros) feitas num leilão (dezenas no caule, unidades nas folhas); falta uma licitação.

Caule	Folhas
1	4 6
2	2
3	1 2 7
4	5 8
5	0

Admita que o valor médio das 10 licitações foi 34 euros. Qual é o valor da licitação em falta?

(A) 45 euros (B) 41 euros (C) 31 euros (D) 11 euros

Resolução

Soma das 10 licitações: $10 \times 34 = 340$ euros.

Soma das 9 conhecidas: $14 + 16 + 22 + 31 + 32 + 37 + 45 + 48 + 50 = 295$ .

Licitação em falta: $340 - 295 = 45$ euros.

Opção (A) 45 euros.

15Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2019, 2.ª fase, itens 6.2.1 e 6.2.2

Uma leiloeira representou, em diagramas de extremos e quartis, os valores de venda (em euros) dos artigos vendidos em vários meses. Alguns valores lidos nesses diagramas:

Mês	Mínimo	1.º quartil	Mediana	3.º quartil	Máximo
abril	10	—	40	—	—
maio	—	—	40	60	—
julho	—	40	—	70	—
agosto	—	—	—	—	90

a) Em maio, o número de artigos vendidos a um preço máximo de 60 euros foi 48. Determine o número de artigos vendidos nesse mês por, no mínimo, 40 euros.

b) Em abril vendeu-se uma peça pelo valor da mediana e outra pelo valor mínimo; em julho, uma pelo valor do 1.º quartil e outra pelo do 3.º quartil; em agosto, duas pelo valor máximo. Qual foi o valor obtido com estas seis vendas?

Resolução

a) Em maio, 60€ é o 3.º quartil: os 48 artigos vendidos até 60€ correspondem a 75% das vendas.

Total de artigos em maio: $\frac{48}{0,75} = 64$ .

40€ é a mediana: 50% dos artigos foram vendidos por, no mínimo, 40€: $0,5 \times 64 = 32$ . 32 artigos.

b) Abril: $40 + 10 = 50$ ; julho: $40 + 70 = 110$ ; agosto: $2 \times 90 = 180$ .

Total: $50 + 110 + 180 = 340$ euros.

Ficha de exames nº5 – Estatística (2017–2019)

Ficha de exames nº5

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

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