Ficha de exames nº8

Provas de 2024–2025

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 15 itens 2 fáceis12 médios1 difícil

1Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2024, 2.ª fase, item 4

A tabela seguinte apresenta a remuneração base média mensal, em euros, dos trabalhadores portugueses por conta de outrem, homens ( $x$ ) e mulheres ( $y$ ), em alguns anos (fonte: PORDATA).

Ano	1995	2000	2005	2010	2015	2020
Homens, x (€)	542,8	674,7	832,5	976,7	990,1	1109,2
Mulheres, y (€)	416,8	523,6	672,0	800,8	825,0	960,3

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.
A mediana da remuneração base média mensal dos homens é I euros, e a amplitude interquartil é II euros. De 2015 para 2020, a remuneração base média mensal das mulheres teve um aumento percentual igual a III. O coeficiente de correlação linear das variáveis $x$ e $y$ , arredondado às milésimas, é IV.
I: a) 832,5 b) 854,3 c) 904,6
II: a) 315,4 b) 440,9 c) 566,4
III: a) 14,1% b) 16,4% c) 17,2%
IV: a) 0,874 b) 0,913 c) 0,998

Resolução

I: os valores de $x$ já estão ordenados; com $n = 6$ , a mediana é $\frac{832,5 + 976,7}{2} = 904,6$ → c).

II: $Q_{1}$ é a mediana da metade inferior ( $542,8; 674,7; 832,5$ ): $Q_{1} = 674,7$ . $Q_{3}$ é a mediana da metade superior ( $976,7; 990,1; 1109,2$ ): $Q_{3} = 990,1$ . $A I Q = 990,1 - 674,7 = 315,4$ → a).

III: $\frac{960,3 - 825,0}{825,0} = \frac{135,3}{825} = 0,164$ , ou seja, $16,4 %$ → b).

IV: introduzindo as listas na calculadora (regressão linear), obtém-se $r \approx 0,998$ → c).

Resposta: I – c); II – a); III – b); IV – c).

2Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2024, 2.ª fase, item 4

Numa maternidade, registou-se o perímetro cefálico, em centímetros, de um grupo de recém-nascidos. Os dados foram organizados num histograma, cujas frequências se apresentam na tabela seguinte.

Perímetro cefálico (cm)	[30, 31[	[31, 32[	[32, 33[	[33, 34[	[34, 35[	[35, 36[	[36, 37[	[37, 38[
N.º de recém-nascidos	1	1	1	4	3	7	3	1

Em qual das classes se encontra a mediana deste conjunto de dados? Justifique a sua resposta.

Resolução

Número total de recém-nascidos: $n = 1 + 1 + 1 + 4 + 3 + 7 + 3 + 1 = 21$ .

Como $n = 21$ é ímpar, a mediana é o valor de ordem $\frac{21 + 1}{2} = 11$ dos dados ordenados.

Frequências absolutas acumuladas: $1, 2, 3, 7, 10, 17, 20, 21$ .

Até à classe $[34; 35 [$ há 10 dados; a classe $[35; 36 [$ contém os dados de ordem 11 a 17, incluindo o 11.º.

A mediana pertence à classe $[35; 36 [$ .

3Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2024, época especial, itens 5.1 e 5.2

Num estudo sobre $1200$ turistas, registou-se a nacionalidade de cada um.

Nacionalidade	X	Y	Z	Outra
N.º de turistas	180	350	210	460

a) Num gráfico circular destes dados, qual é a amplitude do setor de Z? (A) $17,5 °$ (B) $21 °$ (C) $33,5 °$ (D) $63 °$

b) A média das idades dos $1200$ turistas é $54,5$ anos. A média das idades é $62$ anos nos turistas de nacionalidade Y e $56$ anos nos de «Outra»; a média dos de X é igual à dos de Z. Determine a média das idades dos turistas de nacionalidade X.

Resolução

a) $\frac{210}{1200} \times 360 ° = 63 °$ . Opção (D).

b) Seja $x$ a média de X (e de Z): $\frac{180 x + 350 \times 62 + 210 x + 460 \times 56}{1200} = 54,5$ .

b) $390 x + 21 700 + 25 760 = 65 400 \Leftrightarrow 390 x = 17 940$ .

b) $x = 46$ anos.

4Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2024, época especial, item 6

Uma empresa tem 50 funcionários: 12 da área comercial e os restantes 38 da área de produção. Relativamente aos vencimentos dos funcionários da área de produção, sabe-se que a média é 1010 euros, o desvio-padrão é 62,71 euros e a mediana é 900 euros. Nenhum funcionário da empresa tem vencimento igual a 900 euros. Os vencimentos dos funcionários da área comercial são os da tabela seguinte.

Vencimento (€)	910	920	940	960	980	1100
N.º de funcionários	2	2	3	2	2	1

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.
A mediana dos vencimentos dos funcionários da área comercial é I euros, e o vencimento médio dos funcionários desta área é II ao vencimento médio dos funcionários da área de produção. A dispersão relativamente à média da distribuição dos vencimentos da área de produção é III à dispersão relativamente à média da distribuição dos vencimentos da área comercial. A percentagem de funcionários da empresa com vencimento menor do que 900 euros é IV.
I: a) 930 b) 940 c) 950
II: a) inferior b) igual c) superior
III: a) inferior b) igual c) superior
IV: a) 36% b) 38% c) 50%

Resolução

I: na área comercial $n = 12$ ; a mediana é a média do 6.º e do 7.º vencimentos ordenados. As posições 5 a 7 correspondem a 940€, logo $\tilde{x} = \frac{940 + 940}{2} = 940$ → b).

II: $\bar{x} = \frac{910 \times 2 + 920 \times 2 + 940 \times 3 + 960 \times 2 + 980 \times 2 + 1100}{12} = \frac{11 460}{12} = 955$ euros, inferior a 1010 euros → a).

III: na calculadora, o desvio-padrão dos vencimentos da área comercial é $s \approx 51,79$ euros, menor do que $62,71$ ; logo a dispersão na produção é superior → c).

IV: na produção, a mediana é 900 e ninguém ganha 900, pelo que metade dos 38, ou seja 19 funcionários, ganha menos de 900€; na área comercial ninguém ganha menos de 900€. Percentagem: $\frac{19}{50} = 0,38 = 38 %$ → b).

Resposta: I – b); II – a); III – c); IV – b).

5Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2024, época especial, item 1

O diâmetro biparietal de um feto, medido por ecografia na 34.ª semana de gravidez, permite estimar o perímetro cefálico do recém-nascido, pois existe uma correlação linear forte entre as duas variáveis. A tabela seguinte apresenta o diâmetro biparietal, $x$ , e o perímetro cefálico, $y$ , ambos em centímetros, para onze bebés.

Diâmetro biparietal, cm (x)	7,49	7,81	8,21	8,23	8,30	8,66	8,76	8,97	9,04	9,07	9,24
Perímetro cefálico, cm (y)	30,36	31,99	33,66	34,22	35,26	35,51	34,86	36,44	35,30	36,97	37,63

Considere válido o modelo de regressão linear de $y$ sobre $x$ . Estime o perímetro cefálico de um recém-nascido cujo diâmetro biparietal mediu $8,46$ cm.
Apresente os parâmetros da reta arredondados às milésimas e o resultado, em centímetros, arredondado às centésimas.

Resolução

Introduzimos os diâmetros em L1 e os perímetros em L2 e efetuamos a regressão linear $y = a x + b$ .

Obtemos $a \approx 3,582$ e $b \approx 4,206$ .

Reta de regressão: $y = 3,582 x + 4,206$ .

Para $x = 8,46$ : $y = 3,582 \times 8,46 + 4,206 = 30,30372 + 4,206 = 34,50972$ .

O perímetro cefálico estimado é cerca de 34,51 cm.

6Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2025, 1.ª fase, itens 6.1, 6.2 e 6.3

Numa praia podem fazer-se passeios de gaivota, de canoa ou de barco. Recolheu-se informação sobre $400$ pessoas, com idades entre $18$ e $49$ anos, cada uma das quais fez só um passeio: $200$ de gaivota, $120$ de canoa e $80$ de barco.

Passeio	]0, 1] h	]1, 2] h	]2, 3] h
Gaivota	50 %	25 %	25 %
Canoa	60 %	30 %	10 %
Barco	40 %	20 %	40 %

Idade (anos)	Gaivota	Canoa	Barco
[18, 26[	80	28	22
[26, 34[	80	57	25
[34, 42[	24	27	25
[42, 50[	16	8	8

a) Determine: o número de pessoas cujo passeio durou mais de $2$ horas; o tipo de passeio com mais pessoas entre os que duraram até $1$ hora; a classe que contém a mediana das idades de quem andou de barco; a percentagem de pessoas que andaram de barco com menos de $34$ anos.

b) Determine a frequência relativa acumulada da classe $[26, 34 [$ , considerando as $400$ pessoas.

c) Às $200$ pessoas que andaram de gaivota juntou-se um grupo de $24$ pessoas, todas com a mesma idade, que fizeram o mesmo passeio. A média das idades das $224$ pessoas passou a ser estimada em $30$ anos. Admitindo que as idades estão distribuídas uniformemente em cada classe (use os pontos médios), indique a que classe pertencem as pessoas do grupo.

Resolução

a) Mais de $2$ h: $0,25 \times 200 + 0,10 \times 120 + 0,40 \times 80 = 50 + 12 + 32 = 94$ pessoas. Até $1$ h: gaivota $100$ , canoa $72$ , barco $32$ → gaivota.

a) Barco: $80$ pessoas; mediana entre o $40 . º$ e o $41 . º$ valores; acumuladas $22, 47$ → classe $[26, 34 [$ . Menos de $34$ anos: $(22 + 25) / 80 = 47 / 80 = 58,75 %$ .

a) $94$ pessoas; gaivota; $[26, 34 [$ ; $58,75 %$ .

b) Pessoas com menos de $34$ anos: $(80 + 80) + (28 + 57) + (22 + 25) = 292$ ; $292 / 400 =$ $0,73$ .

c) Média das idades na gaivota (pontos médios $22, 30, 38, 46$ ): $\frac{22 \times 80 + 30 \times 80 + 38 \times 24 + 46 \times 16}{200} = \frac{5808}{200} = 29,04$ .

c) Seja $x$ a idade do grupo: $\frac{5808 + 24 x}{224} = 30 \Leftrightarrow 24 x = 6720 - 5808 = 912 \Leftrightarrow x = 38$ .

c) $38$ é o ponto médio da classe $[34, 42 [$ : as pessoas do grupo pertencem à classe $[34, 42 [$ .

7Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2025, 1.ª fase, item 5

Numa maternidade registaram-se, para oito recém-nascidos, o diâmetro biparietal, $x$ , medido na trigésima quarta semana de gravidez, e o perímetro cefálico à nascença, $y$ , ambos em centímetros.

Diâmetro biparietal, x (cm)	Perímetro cefálico, y (cm)
7,49	30,36
7,81	31,99
8,21	33,66
8,30	35,26
8,66	35,51
8,76	34,86
9,04	35,30
9,24	37,63

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.
A mediana dos diâmetros biparietais apresentados excede a respetiva média, arredondada às centésimas, em I cm. A amplitude da amostra dos perímetros cefálicos apresentados é II cm. O coeficiente de correlação linear entre as variáveis $x$ e $y$ , arredondado às centésimas, é III. Admitindo a validade do modelo de regressão linear de $y$ em função de $x$ , e com base nas estimativas dos parâmetros arredondadas às milésimas, para um recém-nascido cujo diâmetro biparietal na trigésima quarta semana tenha sido 8,50 cm, estima-se que o perímetro cefálico à nascença seja, aproximadamente, IV cm.
I: a) 0,04 b) 0,7 c) 1,75
II: a) 2,58 b) 3,64 c) 7,27
III: a) 0,87 b) 0,94 c) 3,54
IV: a) 34,54 b) 36,11 c) 41,62

Resolução

I: $\tilde{x} = \frac{8,30 + 8,66}{2} = 8,48$ e $\bar{x} = \frac{67,51}{8} \approx 8,44$ ; diferença $8,48 - 8,44 = 0,04$ → a).

II: amplitude $= 37,63 - 30,36 = 7,27$ → c).

III: na calculadora (regressão linear), $r \approx 0,935$ , ou seja, $0,94$ → b).

IV: a reta de regressão é $y = 3,536 x + 4,480$ (parâmetros arredondados às milésimas). Para $x = 8,50$ : $y = 3,536 \times 8,5 + 4,480 = 34,536 \approx 34,54$ → a).

Resposta: I – a); II – c); III – b); IV – a).

8Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2025, 1.ª fase, item 3

Durante seis meses, um museu registou o investimento mensal em publicidade, $x$ , em milhares de euros, e o número de visitantes, $y$ , em milhares.

Publicidade, milhares de € (x)	5	6	7	8	9	10
Visitantes, milhares (y)	12	15	18	22	26	30

Recorrendo à reta de regressão de $y$ sobre $x$ , estime o número de visitantes num mês em que o investimento em publicidade seja de $7,4$ milhares de euros.
Apresente os parâmetros da reta arredondados às milésimas e o resultado, em milhares, arredondado às unidades.

Resolução

Introduzimos os valores de $x$ em L1 e os de $y$ em L2 e efetuamos a regressão linear $y = a x + b$ .

Obtemos $a \approx 3,629$ e $b \approx - 6,714$ .

Reta de regressão: $y = 3,629 x - 6,714$ .

Para $x = 7,4$ : $y = 3,629 \times 7,4 - 6,714 = 26,8546 - 6,714 = 20,1406$ .

Estimativa: cerca de 20 milhares de visitantes.

9Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2025, 1.ª fase, item 5.1

Os bilhetes para um concerto comemorativo do aniversário de um museu esgotaram. O preço de cada bilhete dependia da localização do lugar. A tabela seguinte apresenta a distribuição dos bilhetes vendidos por preço.

Preço (€)	6	10	12	15
Percentagem de bilhetes vendidos	18 %	24 %	32 %	26 %

Determine a moda, a mediana e a média dos preços dos bilhetes vendidos.

Resolução

Moda: o preço com maior frequência relativa (32 %) é 12€.

Mediana: frequências relativas acumuladas: $18 %$ , $42 %$ , $74 %$ , $100 %$ . Os 50 % são ultrapassados pela primeira vez no preço de 12€, logo a mediana é 12€.

Média: $\bar{x} = 6 \times 0,18 + 10 \times 0,24 + 12 \times 0,32 + 15 \times 0,26 = 1,08 + 2,4 + 3,84 + 3,9 = 11,22$ €.

Moda = 12€, mediana = 12€ e média = 11,22€.

10Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2025, 2.ª fase, item 6.2

Registou-se o VO₂máx (em mL/kg/min) de um grupo de utilizadores de uma aplicação. O histograma de frequências relativas acumuladas dá os valores da tabela.

VO2máx	]10, 20]	]20, 30]	]30, 40]	]40, 50]	]50, 60]
Freq. relativa acumulada	18 %	48 %	60 %	80 %	100 %

Para os mesmos dados construiu-se um diagrama de extremos e quartis em que se leem os valores $32$ , $48$ e $58$ , para além do mínimo $x$ e do primeiro quartil $y$ .

a) Indique a classe modal.

b) Indique a classe com menor número de utilizadores.

c) Qual dos valores $11$ , $9$ ou $7$ pode ser o mínimo $x$ ?

d) Qual dos valores $31$ , $22$ ou $18$ pode ser o primeiro quartil $y$ ?

Resolução

Frequências relativas simples: $18 %, 30 %, 12 %, 20 %, 20 %$ .

a) A maior é $30 %$ : classe modal $] 20, 30]$ . b) A menor é $12 %$ : classe $] 30, 40]$ .

c) O mínimo pertence à primeira classe, $] 10, 20]$ ; dos valores dados só $11$ serve: $x = 11$ .

d) $25 %$ dos dados é atingido entre $18 %$ e $48 %$ , logo $Q_{1} \in] 20, 30]$ : $y = 22$ . (Confirmação: a mediana, $32$ , está em $] 30, 40]$ , onde se atinge $50 %$ ; $Q_{3} = 48$ está em $] 40, 50]$ , onde se atinge $75 %$ ; o máximo, $58$ , em $] 50, 60]$ .)

11Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2025, 2.ª fase, item 6.3

O diagrama de caule e folhas apresenta o VO₂máx (em mL/kg/min) das $12$ pessoas do grupo A (caule: dezenas; folhas: unidades).

Caule	Folhas
2	0
3	7 7 9
4	1 1 1 3 6 6
5	2 2

O grupo B tem $24$ pessoas, e a média do VO₂máx das $36$ pessoas dos dois grupos é $45$ . Determine a média do VO₂máx do grupo B.

Resolução

Soma do grupo A: $20 + 37 + 37 + 39 + 41 + 41 + 41 + 43 + 46 + 46 + 52 + 52 = 495$ (média $495 : 12 = 41,25$ ).

Soma das $36$ pessoas: $36 \times 45 = 1620$ .

Seja $b$ a média do grupo B: $495 + 24 b = 1620 \Leftrightarrow 24 b = 1125$ .

$b = 46,875$ mL/kg/min.

12Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2025, 2.ª fase, item 6.4

A tabela relaciona o VO₂máx, $x$ (mL/kg/min), com o tempo mínimo previsto para correr uma maratona, $y$ (minutos).

$x$	36	48	60	72	84
$y$	250	198	164	140	122

Admita que a relação é bem modelada pela reta de regressão $y = a x + b$ . Apresente a equação da reta ( $a$ arredondado às milésimas e $b$ às décimas) e estime o tempo mínimo, em minutos arredondados às unidades, para quem tem VO₂máx igual a $50$ .

Resolução

Na calculadora: L1 $= {36, 48, 60, 72, 84}$ e L2 $= {250, 198, 164, 140, 122}$ ; regressão linear.

Reta de regressão: $y = - 2,617 x + 331,8$ .

Para $x = 50$ : $y = - 2,617 \times 50 + 331,8 = 200,95$ .

Tempo mínimo estimado: cerca de $201$ minutos.

13Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2025, 2.ª fase, item 2

A tabela seguinte apresenta a produção de pera e de maçã, em quilogramas por hectare (kg/ha), em Portugal continental, de 2019 a 2023 (fonte: INE).

Ano	2019	2020	2021	2022	2023
Pera (kg/ha)	17 530	11 565	20 208	12 197	10 929
Maçã (kg/ha)	26 067	20 087	26 644	21 330	21 072

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.
A mediana da produção de maçã excede a mediana da produção de pera em I kg/ha. De 2020 para 2021, a produção de maçã teve um aumento de, aproximadamente, II. Relativamente à produção de pera, há III anos em que a produção é inferior à soma da média com o desvio-padrão. Segundo uma previsão do INE, a produção acumulada de maçã de 2019 a 2024 seria 136 270 kg/ha e a produção acumulada de pera no mesmo período corresponderia a 60% da de maçã. Com estes dados, a produção de pera em 2024 seria, aproximadamente, IV kg/ha.
I: a) 6436 b) 8554 c) 9133
II: a) 25% b) 33% c) 75%
III: a) dois b) três c) quatro
IV: a) 6557 b) 9333 c) 12 643

Resolução

I: ordenando, a mediana da maçã é $21 330$ e a da pera é $12 197$ ; diferença $21 330 - 12 197 = 9133$ → c).

II: $\frac{26 644 - 20 087}{20 087} = \frac{6557}{20 087} \approx 0,326$ , ou seja, cerca de $33 %$ → b).

III: na calculadora, para a pera: $\bar{x} = 14 485,8$ e $s \approx 4136,2$ , logo $\bar{x} + s \approx 18 622$ . Só 2021 (20 208) excede este valor; há quatro anos com produção inferior → c).

IV: produção acumulada de pera prevista: $0,6 \times 136 270 = 81 762$ . Soma de 2019 a 2023: $72 429$ . Produção em 2024: $81 762 - 72 429 = 9333$ → b).

Resposta: I – c); II – b); III – c); IV – b).

14Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2025, 2.ª fase, itens 3.1 e 3.2

A tabela seguinte apresenta as pontuações médias dos alunos portugueses de 15 anos nos testes PISA em Leitura, $x$ , e em Matemática, $y$ , em várias edições do estudo (fonte: Pordata).

Leitura (x)	470	478	472	489	488	498	492	477
Matemática (y)	454	466	466	487	487	492	492	472

a) Admita válido o modelo de regressão linear de $y$ sobre $x$ . Estime a pontuação média em Matemática numa edição em que a pontuação média em Leitura seja 495. Apresente os parâmetros da reta arredondados às milésimas e o resultado arredondado às unidades.

b) No PISA 2022 foram avaliados 6793 alunos portugueses. Em Leitura, 4,7 % atingiram os níveis 5 ou 6 e 23,1 % ficaram abaixo do nível 2. Quantos alunos, aproximadamente, atingiram os níveis 2, 3 ou 4?

Resolução

a) Introduzimos $x$ em L1 e $y$ em L2 e efetuamos a regressão linear: $a \approx 1,358$ e $b \approx - 178,884$ .

Reta: $y = 1,358 x - 178,884$ . Para $x = 495$ : $y = 1,358 \times 495 - 178,884 = 672,21 - 178,884 \approx 493,3$ .

Pontuação estimada em Matemática: cerca de 493 pontos.

b) Percentagem nos níveis 2, 3 ou 4: $100 % - 4,7 % - 23,1 % = 72,2 %$ .

$0,722 \times 6793 \approx 4904,5$ . Cerca de 4905 alunos.

15Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2025, época especial, item 7

Num estudo, registou-se o número de acessos semanais, $V$ , a plataformas de inteligência artificial. A tabela de frequências está incompleta ( $n_{i}$ : frequência absoluta; $N_{i}$ : absoluta acumulada; $f_{i}$ : relativa; $F_{i}$ : relativa acumulada).

Classe	$n_{i}$	$N_{i}$	$f_{i}$	$F_{i}$
[0, 5[	3		0,02
[5, 10[	12	$p$
[10, 15[	3		$q$
[15, 20[				0,94
[20, 25[	$r$
[25, 30]	3			1

Determine $p$ , $q$ , $r$ e o número total de pessoas do estudo.

Resolução

Total: $3$ pessoas correspondem a $f = 0,02$ , logo $n = 3 : 0,02 = 150$ .

$p = N_{2} = 3 + 12 = 15$ . $q = 3 : 150 = 0,02$ .

Até $20$ : $0,94 \times 150 = 141$ pessoas; até $25$ : $150 - 3 = 147$ .

$r = 147 - 141 = 6$ .

$p = 15$ , $q = 0,02$ , $r = 6$ , $n = 150$ .

Ficha de exames nº8 – Estatística (2024–2025)

Ficha de exames nº8

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

Deixe um comentário Cancelar resposta

1468

3887

198

17

Receba novidades

Cursos

Links úteis

Utilizador