Ficha de exames nº9

Provas de 2025–2026

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 10 itens 1 fácil9 médios

1Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2025, época especial, item 5

A Maria registou, em sete treinos de corrida, a distância percorrida, $x$ , em quilómetros, e a energia gasta, $y$ , em quilocalorias (kcal). Os dados, representados num diagrama de dispersão, estão na tabela seguinte.

Treino	1	2	3	4	5	6	7
Distância, x (km)	9,4	8,6	7,7	7	6,5	5	8
Energia, y (kcal)	630	580	515	478	450	340	550

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.
Nos treinos registados, a Maria percorreu, em média, cerca de I quilómetros por treino (valor arredondado às décimas), e a mediana das quilocalorias gastas foi II. Verifica-se uma correlação III entre a distância percorrida e as quilocalorias gastas por treino. Admitindo a validade do modelo de regressão linear de $y$ em função de $x$ , estima-se que a Maria, num treino em que percorra 6 quilómetros, gaste, aproximadamente, IV quilocalorias (valor arredondado às unidades).
I: a) 7,5 b) 7,7 c) 9,4
II: a) 506 b) 515 c) 630
III: a) negativa forte b) positiva fraca c) positiva forte
IV: a) 408 b) 411 c) 415

Resolução

I: $\bar{x} = \frac{9,4 + 8,6 + 7,7 + 7 + 6,5 + 5 + 8}{7} = \frac{52,2}{7} \approx 7,5$ km → a).

II: ordenando $y$ : 340, 450, 478, 515, 550, 580, 630; com $n = 7$ a mediana é o 4.º valor, 515 → b).

III: na calculadora, $r \approx 0,998$ : correlação positiva forte → c).

IV: reta de regressão: $y \approx 65,558 x + 17,268$ . Para $x = 6$ : $y \approx 65,558 \times 6 + 17,268 \approx 410,6$ , ou seja, 411 kcal → b).

Resposta: I – a); II – b); III – c); IV – b).

2Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2025, época especial, itens 2.1 e 2.2

A tabela seguinte apresenta, para alguns anos, o número de utilizadores registados nas bibliotecas públicas, $x$ , e o número de documentos requisitados, $y$ , ambos em milhares (fonte: INE).

Ano	1990	1992	1994	1996	1998	2000	2002
Utilizadores, milhares (x)	2037	2120	3507	4369	6368	9992	11 893
Documentos requisitados, milhares (y)	1956	2170	3095	3756	4493	5397	6380

a) Admita válido o modelo de regressão linear de $y$ sobre $x$ . Em 1999 havia 9262 milhares de utilizadores registados. Estime o número de documentos requisitados em 1999. Apresente os parâmetros da reta com quatro casas decimais e o resultado, em milhares, arredondado às unidades.

b) Determine o número médio anual de utilizadores registados (para os anos da tabela), a mediana do número de documentos requisitados e a percentagem que o número de utilizadores em 1990 representa relativamente ao de 2002.

Resolução

a) Introduzimos $x$ em L1 e $y$ em L2 e efetuamos a regressão linear: $a \approx 0,4161$ e $b \approx 1497,7654$ .

Para $x = 9262$ : $y = 0,4161 \times 9262 + 1497,7654 \approx 3853,92 + 1497,77 \approx 5351,7$ . Cerca de 5352 milhares de documentos.

b) Média: $\bar{x} = \frac{2037 + 2120 + 3507 + 4369 + 6368 + 9992 + 11 893}{7} = \frac{40 286}{7} \approx 5755$ milhares.

Mediana de $y$ (7 valores, já por ordem crescente): o 4.º valor, $3756$ milhares.

Percentagem: $\frac{2037}{11 893} \times 100 \approx 17 %$ .

Média ≈ 5755 milhares; mediana = 3756 milhares; cerca de 17 %.

3Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de MACS (835), 2026, 1.ª fase, item 6.1 (adaptado: as frequências de cada classe, obtidas no original a partir de um gráfico e de uma tabela de dupla entrada, são dadas diretamente)

Num inquérito a $50 000$ espectadores de um torneio, registou-se a distância (em km) entre o alojamento e o estádio.

Distância (km)	[0, 100[	[100, 200[	[200, 300[	[300, 400]
N.º de espectadores	14 000	10 800	15 100	10 100

Admitindo que as distâncias se distribuem uniformemente em cada classe, determine a distância média, em km.

Resolução

Pontos médios das classes: $50; 150; 250; 350$ .

$\bar{x} = \frac{50 \times 14 000 + 150 \times 10 800 + 250 \times 15 100 + 350 \times 10 100}{50 000}$ .

$= \frac{700 000 + 1 620 000 + 3 775 000 + 3 535 000}{50 000} = \frac{9 630 000}{50 000}$ .

Distância média: $192,6$ km.

4Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2026, 1.ª fase, item 3

Existem vários indicadores usados na monitorização de um peso saudável, como o índice de massa corporal (IMC) e a taxa metabólica basal (TMB). A tabela seguinte apresenta o IMC, em kg/m², e a TMB, em quilocalorias por dia, de sete mulheres.

Mulher	A	B	C	D	E	F	G
IMC (kg/m²)	24,6	23,4	23,9	27,5	23,6	22,7	31,2
TMB (kcal/dia)	1282	1291	1385	1513	1379	1202	1567

Para as variáveis idade, em anos, e TMB, em kcal/dia, destas sete mulheres, foi obtida a reta de regressão $y = - 9,02 x + 1777,62$ , com $r^{2} = 0,887$ .
Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.
A média dos valores da TMB das sete mulheres, arredondada às unidades, é (a) kcal/dia. Relativamente à distribuição dos valores do IMC, existem exatamente (b) mulheres com IMC pertencente ao intervalo $] Q_{1}, Q_{3} [$ , em que $Q_{1}$ e $Q_{3}$ são, respetivamente, o primeiro e o terceiro quartis dessa distribuição. O coeficiente de correlação linear entre o IMC e a TMB é (c) ao coeficiente de correlação linear entre a idade e a TMB. Admitindo a validade do modelo de regressão linear da idade e da TMB, uma mulher com 43 anos terá uma TMB aproximadamente igual a (d) quilocalorias por dia (valor arredondado às unidades).
(a): (1) 1351 (2) 1374 (3) 1379
(b): (1) 3 (2) 4 (3) 5
(c): (1) inferior (2) igual (3) superior
(d): (1) 1350 (2) 1379 (3) 1390

Resolução

(a) $\bar{x} = \frac{1282 + 1291 + 1385 + 1513 + 1379 + 1202 + 1567}{7} = \frac{9619}{7} \approx 1374$ → (2).

(b) IMC ordenado: 22,7; 23,4; 23,6; 23,9; 24,6; 27,5; 31,2. A mediana é 23,9; $Q_{1}$ é a mediana de 22,7; 23,4; 23,6, ou seja, $Q_{1} = 23,4$ ; $Q_{3}$ é a mediana de 24,6; 27,5; 31,2, ou seja, $Q_{3} = 27,5$ . No intervalo $] 23,4; 27,5 [$ estão 23,6; 23,9 e 24,6: 3 mulheres → (1).

(c) Na calculadora, $r_{IMC,TMB} \approx 0,881$ (positivo). Na Figura, o declive da reta é negativo, logo $r = - \sqrt{0,887} \approx - 0,942$ . Como $0,881 > - 0,942$ , o primeiro é superior → (3).

(d) $y = - 9,02 \times 43 + 1777,62 = 1389,76 \approx 1390$ → (3).

Resposta: (a) – (2); (b) – (1); (c) – (3); (d) – (3).

5Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2026, 1.ª fase, itens 2.1, 2.2 e 2.3

Durante dez dias, registou-se numa avenida o número de veículos que por ela circularam, $x$ , em milhares, e a concentração média diária de dióxido de azoto (NO₂) no ar, $y$ , em $μ g / m^{3}$ .

Dia	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Veículos, em milhares (x)	24	28	32	30	35	40	38	42	45	50
NO₂, em µg/m³ (y)	31	36	40	38	45	51	48	54	57	63

a) Determine a mediana do número de veículos, em milhares, nos dez dias.

b) Determine a equação da reta de regressão de $y$ sobre $x$ (parâmetros arredondados às centésimas) e use-a para estimar a concentração de NO₂ num dia em que circulem 47 milhares de veículos. Apresente o resultado arredondado às unidades.

c) Considera-se que há um nível de poluição elevado num dia em que a concentração de NO₂ é superior a $\bar{y} + s$ , sendo $\bar{y}$ a média e $s$ o desvio-padrão (amostral) das concentrações dos dez dias. Em quantos dias se registou nível de poluição elevado?

Resolução

a) Ordenando os valores de $x$ : 24, 28, 30, 32, 35, 38, 40, 42, 45, 50. Como $n = 10$ é par, a mediana é a média dos 5.º e 6.º valores: $\tilde{x} = \frac{35 + 38}{2} = 36,5$ . Mediana: 36,5 milhares de veículos.

b) Na calculadora (L1: veículos; L2: NO₂), a regressão linear dá $a \approx 1,25$ e $b \approx 0,78$ , ou seja, $y = 1,25 x + 0,78$ .

Para $x = 47$ : $y = 1,25 \times 47 + 0,78 = 59,53 \approx 60$ . Estimativa: cerca de 60 µg/m³.

c) Média: $\bar{y} = \frac{31 + 36 + 40 + 38 + 45 + 51 + 48 + 54 + 57 + 63}{10} = \frac{463}{10} = 46,3$ .

Desvio-padrão amostral (calculadora, $s_{x}$ da lista L2): $s \approx 10,155$ .

$\bar{y} + s \approx 46,3 + 10,155 = 56,455$ . As concentrações superiores a este valor são $57$ e $63$ .

Registou-se nível de poluição elevado em 2 dias.

6Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2026, 2.ª fase, item 4

A tabela seguinte apresenta, segundo o Inquérito às Despesas das Famílias (INE), a percentagem da despesa anual média das famílias com habitação, $x$ , e com alimentação, $y$ , relativamente à despesa total, em seis períodos.

Período	1989/1990	1994/1995	2005/2006	2010/2011	2015/2016	2022/2023
Habitação, x (%)	12,4	20,6	26,6	29,2	31,9	39,0
Alimentação, y (%)	29,5	21,0	15,5	13,3	14,3	12,9

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.
O desvio-padrão das percentagens da despesa com habitação é (a) ao desvio-padrão das percentagens da despesa com alimentação. Em 2022/2023, sabendo que a despesa anual média com alimentação foi 3121 euros, a despesa anual média com habitação, arredondada às unidades, foi (b) euros. O coeficiente de correlação linear entre $x$ e $y$ , arredondado às centésimas, é (c). Em 2000, a despesa com habitação foi 19,8% da despesa total; admitindo a validade do modelo de regressão linear de $y$ em função de $x$ , com parâmetros arredondados às milésimas, estima-se que a percentagem da despesa com alimentação em 2000 tenha sido, aproximadamente, (d) (valor arredondado às décimas).
(a): (1) inferior (2) igual (3) superior
(b): (1) 1217 (2) 4338 (3) 9436
(c): (1) −0,93 (2) −0,88 (3) 0,86
(d): (1) 20,2% (2) 22,2% (3) 35,0%

Resolução

(a) Na calculadora: $s_{x} \approx 9,23$ e $s_{y} \approx 6,46$ ; o primeiro é superior → (3).

(b) Em 2022/2023, $12,9 %$ da despesa total corresponde a 3121 euros; a despesa com habitação ( $39 %$ ) é $\frac{3121}{12,9} \times 39 \approx 9436$ euros → (3).

(c) Na calculadora, $r \approx - 0,926$ , ou seja, $- 0,93$ → (1).

(d) Reta de regressão: $y = - 0,648 x + 35,006$ . Para $x = 19,8$ : $y = - 0,648 \times 19,8 + 35,006 \approx 22,2$ , ou seja, $22,2 %$ → (2).

Resposta: (a) – (3); (b) – (3); (c) – (1); (d) – (2).

7Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2026, 2.ª fase, item 1

Um comprador registou, para oito automóveis usados do mesmo modelo, a quilometragem, $x$ , em milhares de quilómetros, e o preço de venda, $y$ , em milhares de euros.

Quilometragem, milhares de km (x)	111,0	97,0	78,7	85,8	74,4	90,0	120,0	117,6
Preço, milhares de € (y)	12,7	13,0	13,3	13,2	13,3	13,1	12,5	12,6

Admita válido o modelo de regressão linear de $y$ sobre $x$ . Estime o preço de venda de um automóvel deste modelo com 100 milhares de quilómetros.
Apresente os parâmetros da reta arredondados às milésimas e o resultado, em milhares de euros, arredondado às décimas.

Resolução

Introduzimos as quilometragens em L1 e os preços em L2 e efetuamos a regressão linear $y = a x + b$ .

Obtemos $a \approx - 0,018$ e $b \approx 14,712$ (declive negativo: o preço diminui com a quilometragem).

Reta de regressão: $y = - 0,018 x + 14,712$ .

Para $x = 100$ : $y = - 0,018 \times 100 + 14,712 = - 1,8 + 14,712 = 12,912$ .

Preço estimado: cerca de 12,9 milhares de euros (12 900€).

8Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2026, 2.ª fase, itens 3.1.1 e 3.1.2

Na 100.ª edição da travessia de Sesimbra, 85 nadadoras participaram numa prova de águas abertas de 2500 m. Os tempos que demoraram a concluir a prova, em minutos, foram agrupados em classes e representados num histograma com o polígono de frequências absolutas acumuladas, cujos valores se apresentam na tabela seguinte.

Tempo (min)	[30, 35[	[35, 40[	[40, 45[	[45, 50[	[50, 55[	[55, 60[	[60, 65[	[65, 70[	[70, 75[
Frequência absoluta acumulada	17	29	37	54	68	79	83	84	85

a) Determine a percentagem de nadadoras que concluíram a prova em menos de 50 minutos, arredondada às unidades.

b) Determine o valor médio dos tempos, a partir dos dados agrupados, em minutos, arredondado às unidades.

Resolução

a) Até ao limite superior da classe $[45; 50 [$ , a frequência acumulada é 54.

$\frac{54}{85} \times 100 \approx 63,5 %$ . Cerca de 64 % das nadadoras.

b) Frequências absolutas (diferenças das acumuladas): $17, 12, 8, 17, 14, 11, 4, 1, 1$ . Marcas de classe: $32,5; 37,5; \dots; 72,5$ .

$\sum x_{i} f_{i} = 32,5 \times 17 + 37,5 \times 12 + 42,5 \times 8 + 47,5 \times 17 + 52,5 \times 14 + 57,5 \times 11 + 62,5 \times 4 + 67,5 \times 1 + 72,5 \times 1 = 3907,5$ .

$\bar{x} = \frac{3907,5}{85} \approx 45,97$ . O tempo médio é de cerca de 46 minutos.

9Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2026, época especial, item 5

A tabela seguinte apresenta, para nove países europeus em 2021, o PIB real per capita, $x$ , em milhares de euros, e as emissões de gases com efeito de estufa (GEE) per capita, $y$ , em toneladas de CO₂ equivalente (fonte: PORDATA).

País	PIB per capita, x (milhares de €)	GEE per capita, y (tCO₂eq)
Alemanha	35,48	9,1
Eslovénia	21,31	7,6
Espanha	23,45	6,1
Dinamarca	50,01	7,5
Irlanda	70,53	12,3
Luxemburgo	84,49	14,7
Países Baixos	41,86	9,6
Portugal	18,06	5,5
Roménia	9,61	6,0

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.
O PIB real per capita da Roménia corresponde, aproximadamente, a (a) do PIB real per capita do Luxemburgo. Sendo $\bar{x}$ a média e $s$ o desvio-padrão da amostra dos valores do PIB, há (b) países com PIB real per capita no intervalo $] \bar{x} - s, \bar{x} + s [$ . Existe uma correlação linear (c) entre o PIB e as emissões. Admitindo a validade do modelo de regressão linear de $y$ em função de $x$ , estima-se que, para a França, com PIB real per capita de 32,53 milhares de euros, as emissões de GEE per capita sejam, aproximadamente, (d) tCO₂eq (valor arredondado às décimas).
(a): (1) 9% (2) 11% (3) 13%
(b): (1) 6 (2) 7 (3) 8
(c): (1) negativa forte (2) positiva fraca (3) positiva forte
(d): (1) 7,9 (2) 8,3 (3) 11,6

Resolução

(a) $\frac{9,61}{84,49} \approx 0,114$ , ou seja, cerca de $11 %$ → (2).

(b) Na calculadora: $\bar{x} \approx 39,42$ e $s \approx 25,15$ , logo o intervalo é, aproximadamente, $] 14,27; 64,57 [$ . Ficam de fora a Roménia (9,61), a Irlanda (70,53) e o Luxemburgo (84,49): há 6 países no intervalo → (1).

(c) Na calculadora, $r \approx 0,93$ : correlação positiva forte → (3).

(d) Reta de regressão: $y \approx 0,115 x + 4,188$ . Para $x = 32,53$ : $y \approx 7,9$ → (1).

Resposta: (a) – (2); (b) – (1); (c) – (3); (d) – (1).

10Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2026, época especial, itens 3.1, 3.2 e 3.3

O José e a Carla registaram os tempos, em minutos, de dez treinos de corrida cada um.
Tempos do José: 50, 40, 85, 65, 110, 85, 105, 70, 150, 110.
Os tempos da Carla estão resumidos no diagrama de extremos e quartis cujos valores se apresentam na tabela seguinte. Sabe-se que nenhum treino da Carla durou exatamente 75 minutos.

	Mínimo	1.º quartil	Mediana	3.º quartil	Máximo
Tempos da Carla (min)	50	70	75	90	120

a) Qual das afirmações seguintes é falsa?

(A) Se a Carla tivesse corrido mais 10 minutos em cada treino, a mediana dos seus tempos seria 85 minutos.

(B) A mediana dos dez tempos do José é 85 minutos.

(C) A amplitude dos tempos do José é superior em 30 minutos à amplitude dos tempos da Carla.

(D) O número de treinos em que a Carla correu mais de 75 minutos é igual ao número de treinos em que correu menos de 75 minutos.

b) A média dos tempos dos vinte treinos dos dois amigos é 84,5 minutos. Determine a média dos tempos dos treinos da Carla.

c) O diagrama de dispersão do tempo de cada treino do José, $x$ , e da energia gasta, $y$ , em quilocalorias, mostra pontos muito próximos de uma reta com declive positivo. Qual das opções pode apresentar o coeficiente de correlação e a reta de regressão de $y$ sobre $x$ ?

(A) $r = 0,224$ ; $y = 9,995 x - 21,084$ (B) $r = 0,224$ ; $y = - 9,995 x - 21,084$

(C) $r = 0,998$ ; $y = - 9,995 x - 21,084$ (D) $r = 0,998$ ; $y = 9,995 x - 21,084$

Resolução

a) Tempos do José ordenados: 40; 50; 65; 70; 85; 85; 105; 110; 110; 150; mediana $= \frac{85 + 85}{2} = 85$ (B verdadeira). Somar 10 a todos os valores soma 10 à mediana: $75 + 10 = 85$ (A verdadeira).

Como a mediana da Carla é 75 e nenhum treino durou 75 minutos, 5 treinos duraram menos e 5 mais (D verdadeira).

Amplitudes: José $150 - 40 = 110$ ; Carla $120 - 50 = 70$ ; a diferença é $40$ minutos, não 30. A afirmação falsa é a (C).

b) Soma dos tempos do José: $50 + 40 + 85 + 65 + 110 + 85 + 105 + 70 + 150 + 110 = 870$ . Soma dos 20 tempos: $20 \times 84,5 = 1690$ .

Soma dos tempos da Carla: $1690 - 870 = 820$ ; média: $\frac{820}{10} = 82$ . A média da Carla é 82 minutos.

c) Pontos muito próximos de uma reta indicam correlação forte ( $r$ próximo de 1 em valor absoluto) e o declive positivo indica correlação positiva: $r > 0$ e declive da reta positivo.

Opção (D): $r = 0,998$ e $y = 9,995 x - 21,084$ .

Ficha de exames nº9 – Estatística (2025–2026)

Ficha de exames nº9

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

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