Ficha de exames nº5

Provas de 2022–2026

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 14 itens 4 fáceis5 médios5 difíceis

1Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2022, época especial, itens 12.1 e 12.2

Considere a função $h$ , de domínio $ℝ$ , definida por $h (x) = x^{2}$ . Num referencial ortonormado $x O y$ , seja $s$ uma reta de declive $m$ positivo que interseta o gráfico de $h$ em dois pontos, $A$ e $B$ . Sabe-se que $A (- 1, 1)$ e que $B (m + 1, (m + 1)^{2})$ .

a) Mostre que a ordenada na origem da reta $s$ é $m + 1$ . (Adaptado: no original, item de escolha múltipla.)

b) Seja $C$ a projeção ortogonal do ponto $B$ no eixo $O y$ . Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor de $m$ para o qual a área do triângulo $[A B C]$ é igual a $4$ (sabe-se que esse valor existe e é único). Na sua resposta: escreva uma equação que permita resolver o problema; reproduza o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora, com as abcissas relevantes arredondadas às milésimas; apresente o valor de $m$ arredondado às centésimas.

Resolução

a) A reta $s$ tem equação $y = m x + b$ e passa em $A (- 1, 1)$ : $1 = m \times (- 1) + b \Leftrightarrow b = m + 1$ . Logo a ordenada na origem é $m + 1$ (no original, opção (A)).

b) (Confirmação de $B$ : $x^{2} = m x + m + 1 \Leftrightarrow x^{2} - 1 = m (x + 1) \Leftrightarrow (x + 1) (x - 1 - m) = 0$ , logo $x = - 1$ ou $x = m + 1$ .) A projeção de $B$ em $O y$ é $C (0, (m + 1)^{2})$ .

Tomando $[B C]$ (horizontal) para base: $\overset{―}{B C} = m + 1$ . A altura relativa a $[B C]$ é a diferença das ordenadas de $C$ e de $A$ : $(m + 1)^{2} - 1$ (positiva, pois $m > 0$ ).

Área: $\frac{(m + 1) [(m + 1)^{2} - 1]}{2} = 4$ . Na calculadora, representamos $y_{1} = \frac{(x + 1) [(x + 1)^{2} - 1]}{2}$ e $y_{2} = 4$ , para $x > 0$ .

O ponto de interseção tem abcissa $x \approx 1,166$ .

Logo $m \approx 1,17$ .

2Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2022, época especial, itens 4.1 e 4.2

A Luísa vai construir uma tela retangular com 20 dm de perímetro. Seja $x$ o comprimento, em decímetros, de um dos lados da tela ( $0 < x < 10$ ).

a) Mostre que a área da tela, em dm², é dada por $A (x) = 10 x - x^{2}$ . Comece por escrever uma expressão do comprimento do outro lado em função de $x$ .

b) A pintura que a Luísa pretende fazer exige uma tela com área de, pelo menos, 16 dm². Determine o conjunto dos valores que $x$ pode tomar. Apresente a resposta na forma de intervalo de números reais.

Resolução

a) O semiperímetro é $20 \div 2 = 10$ dm, logo o outro lado mede $10 - x$ .

$A (x) = x (10 - x) = 10 x - x^{2}$ .

b) Queremos $A (x) \geq 16 \Leftrightarrow 10 x - x^{2} \geq 16 \Leftrightarrow - x^{2} + 10 x - 16 \geq 0$ .

Resolvemos $x^{2} - 10 x + 16 = 0$ : $x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2} \Leftrightarrow x = 2 \lor x = 8$ .

A parábola $y = - x^{2} + 10 x - 16$ tem a concavidade voltada para baixo, logo é não negativa entre os zeros (inclusive).

$x \in [2; 8]$ .

3Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2023, 1.ª fase, item 13

Sejam $a$ e $b$ dois números reais não nulos. Seja $f$ a função, de domínio $ℝ$ , definida por $f (x) = a x^{2} + b x$ .
Sabe-se que a reta de equação $y = a x + b$ é tangente ao gráfico de $f$ (isto é, interseta-o num único ponto).
Determine as coordenadas do ponto de tangência.

Resolução

Os pontos comuns à reta e ao gráfico de $f$ obtêm-se resolvendo $a x^{2} + b x = a x + b \Leftrightarrow a x^{2} + (b - a) x - b = 0$ .

Como a reta é tangente, esta equação do 2.º grau ( $a \neq 0$ ) tem uma única solução, ou seja, o binómio discriminante é nulo: $Δ = (b - a)^{2} - 4 \cdot a \cdot (- b) = b^{2} - 2 a b + a^{2} + 4 a b = (a + b)^{2}$ .

$Δ = 0 \Leftrightarrow (a + b)^{2} = 0 \Leftrightarrow b = - a$ .

Substituindo $b = - a$ na equação: $a x^{2} - 2 a x + a = 0 \Leftrightarrow a (x - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (pois $a \neq 0$ ).

A ordenada do ponto é $f (1) = a + b = a - a = 0$ (ou, na reta, $y = a \cdot 1 + b = 0$ ).

O ponto de tangência é $(1, 0)$ .

4Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2024, 1.ª fase, item 1

Seja $f$ uma função de domínio $ℝ$ e contradomínio $[- 1, 3]$ .
Qual é o contradomínio da função $g$ , de domínio $ℝ$ , definida por $g (x) = f (x - 2) + 1$ ?

(A) $[- 3, 1]$

(B) $[- 2, 2]$

(C) $[0, 4]$

(D) $[1, 5]$

Resolução

O gráfico de $y = f (x - 2)$ obtém-se do gráfico de $f$ por uma translação horizontal de $2$ unidades para a direita; uma translação horizontal não altera o contradomínio, que continua a ser $[- 1, 3]$ .

O gráfico de $g (x) = f (x - 2) + 1$ obtém-se do anterior por uma translação vertical de $1$ unidade para cima: todas as ordenadas aumentam $1$ .

Assim, $D_{g}^{'} = [- 1 + 1, 3 + 1] = [0, 4]$ . Resposta: (C).

5Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2024, 1.ª fase, item 13

Sejam $b$ e $m$ dois números reais não nulos.
Sabe-se que a reta de equação $y = m x + 1$ é tangente (isto é, tem um único ponto em comum) ao gráfico da função quadrática definida por $f (x) = 2 x^{2} + b x + 5$ num ponto de abcissa positiva.
Determine a abcissa desse ponto.

Resolução

Os pontos comuns à reta e ao gráfico de $f$ obtêm-se resolvendo $2 x^{2} + b x + 5 = m x + 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} + (b - m) x + 4 = 0$ .

A reta é tangente se esta equação tiver uma única solução, ou seja, se o binómio discriminante for nulo: $(b - m)^{2} - 4 \times 2 \times 4 = 0 \Leftrightarrow (b - m)^{2} = 32$ .

Logo $b - m = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ ou $b - m = - 4 \sqrt{2}$ .

A solução única da equação é $x = - \frac{b - m}{2 \times 2} = - \frac{b - m}{4}$ . Para $b - m = 4 \sqrt{2}$ , obtém-se $x = - \sqrt{2}$ (negativa, rejeita-se); para $b - m = - 4 \sqrt{2}$ , obtém-se $x = \sqrt{2}$ .

Verificação: com $b - m = - 4 \sqrt{2}$ , a equação fica $2 x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 4 = 0 \Leftrightarrow 2 {(x - \sqrt{2})}^{2} = 0$ .

A abcissa do ponto de tangência é $\sqrt{2}$ .

6Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2024, 1.ª fase, itens 7.1 e 7.2

Uma empresa vai contratar uma transportadora para levar produtos do seu armazém até uma feira. O preço de cada serviço é a soma de um valor fixo com um valor variável por quilómetro percorrido:
• Transportadora A: valor fixo de 9,50€ e 0,60€ por quilómetro;
• Transportadora B: valor fixo de 5€ e 0,85€ por quilómetro.

a) Para um percurso de 10 km, qual das transportadoras apresenta o preço mais baixo? Apresente os cálculos.

b) A empresa verificou que, para o percurso entre o armazém e a feira, as duas transportadoras cobram o mesmo preço. Qual é o comprimento, em quilómetros, desse percurso?

Resolução

a) A: $9,50 + 0,60 \times 10 = 15,50$ €. B: $5 + 0,85 \times 10 = 13,50$ €.

Para 10 km, a transportadora B é mais barata.

b) Sendo $x$ o comprimento do percurso, em km: $A (x) = 9,5 + 0,6 x$ e $B (x) = 5 + 0,85 x$ (funções afins).

$9,5 + 0,6 x = 5 + 0,85 x \Leftrightarrow 4,5 = 0,25 x \Leftrightarrow x = 18$ .

Verificação: $A (18) = B (18) = 20,30$ €. O percurso tem 18 km.

7Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2024, 2.ª fase, itens 2.1 e 2.2 (adaptado)

Um projétil é lançado verticalmente para cima. A sua altura, $h$ , em metros, $t$ segundos após o lançamento, é dada por

$h (t) = - 4,9 t^{2} + 20 t + 10,$

desde o instante em que é lançado até ao instante em que atinge o solo.

a) Indique a altura a que o projétil foi lançado e determine, aproximadamente, quanto tempo depois do lançamento o projétil atinge o solo (arredondado às décimas).

b) Quantos segundos demorou o projétil a atingir, pela primeira vez, 25 metros de altura? Apresente o resultado arredondado às unidades.

Resolução

a) A altura de lançamento é $h (0) = 10$ m.

O projétil atinge o solo quando $h (t) = 0$ : $- 4,9 t^{2} + 20 t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 196}}{- 9,8} = \frac{- 20 \pm \sqrt{596}}{- 9,8}$ .

Soluções: $t \approx - 0,45$ (não serve, $t \geq 0$ ) ou $t \approx 4,53$ . Lançado a 10 m de altura, atinge o solo cerca de 4,5 s depois.

b) $h (t) = 25 \Leftrightarrow - 4,9 t^{2} + 20 t + 10 = 25 \Leftrightarrow - 4,9 t^{2} + 20 t - 15 = 0$ .

$Δ = 20^{2} - 4 \times (- 4,9) \times (- 15) = 400 - 294 = 106$ ; $t = \frac{- 20 \pm \sqrt{106}}{- 9,8} \Leftrightarrow t \approx 0,99 \lor t \approx 3,09$ .

(Na calculadora: interseção de $y_{1} = - 4,9 x^{2} + 20 x + 10$ com $y_{2} = 25$ , primeiro ponto de abcissa $\approx 0,99$ .)

O projétil atingiu 25 m pela primeira vez cerca de 1 segundo após o lançamento.

8Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2025, 1.ª fase, itens 1.1 e 1.2 (adaptado)

Galileu estudou a queda dos corpos usando rampas. Uma esfera é largada no ponto $A$ , no instante $t = 0$ , e rola ao longo de uma rampa $[A B]$ com $26,4$ m de comprimento. A distância, $d$ , em metros, da esfera ao ponto $A$ , $t$ segundos após ter sido largada, é dada por

$d (t) = 0,82 t^{2} .$

a) Determine o tempo que a esfera demora a percorrer a rampa. Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.

b) Indique a distância percorrida pela esfera ao fim de 1 segundo.

c) Compare a distância percorrida nos primeiros 4 segundos com a distância percorrida nos primeiros 2 segundos.

Resolução

a) Queremos $d (t) = 26,4$ , com $t > 0$ : $0,82 t^{2} = 26,4 \Leftrightarrow t^{2} = \frac{26,4}{0,82} \approx 32,195$ .

$t = \sqrt{32,195 \dots} \approx 5,67$ (a solução negativa não tem significado). A esfera demora cerca de 5,7 s.

b) $d (1) = 0,82 \times 1^{2} = 0,82$ . Ao fim de 1 s, percorreu 0,82 m.

c) $d (4) = 0,82 \times 16 = 13,12$ m e $d (2) = 0,82 \times 4 = 3,28$ m.

$\frac{d (4)}{d (2)} = \frac{0,82 \times 16}{0,82 \times 4} = 4$ . Em 4 segundos, a esfera percorre o quádruplo da distância percorrida em 2 segundos.

9Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2025, 2.ª fase, itens 1.1 e 1.2

O custo total de produção, $C$ , em euros, de um produto de uma empresa é dado, em função da quantidade produzida, $x$ , em unidades, por

$C (x) = 0,01 x^{3} - 0,5 x^{2} + 100 x + 2000, 0 \leq x \leq 150 .$

Utilize as capacidades gráficas da calculadora.

a) Indique o valor dos custos fixos (custos que não dependem da quantidade produzida), o valor máximo do custo total de produção que a empresa pode ter e o custo por unidade quando a empresa produz 10 unidades.

b) Determine o número de unidades que a empresa deve produzir para que o custo total seja de 17 000 euros.

Resolução

a) Custos fixos: custo quando nada se produz, $C (0) = 2000$ €.

Na calculadora, o gráfico de $C$ em $[0; 150]$ é sempre crescente, pelo que o custo máximo é $C (150) = 0,01 \times 150^{3} - 0,5 \times 150^{2} + 100 \times 150 + 2000 = 33 750 - 11 250 + 15 000 + 2000 = 39 500$ €.

$C (10) = 10 - 50 + 1000 + 2000 = 2960$ €, logo o custo por unidade é $\frac{2960}{10} = 296$ €.

Custos fixos: 2000€; custo máximo: 39 500€; custo por unidade (10 unidades): 296€.

b) Representamos $y_{1} = C (x)$ e $y_{2} = 17 000$ na janela $[0; 150] \times [0; 40 000]$ e determinamos a interseção: $x = 100$ .

Verificação: $C (100) = 10 000 - 5000 + 10 000 + 2000 = 17 000$ . A empresa deve produzir 100 unidades.

10Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2025, 2.ª fase, itens 7.1 e 7.2

Para medir a temperatura podem usar-se diferentes escalas: a escala Celsius (°C), em que 0 °C e 100 °C correspondem, respetivamente, aos pontos de congelação e de ebulição da água; a escala Fahrenheit (°F); e a escala Kelvin (K), em que 0 K é o «zero absoluto». As conversões a partir da temperatura $C$ , em graus Celsius, são dadas pelas funções afins

$F = 1,8 C + 32 e K = C + 273,15 .$

a) Indique a temperatura de congelação da água em graus Fahrenheit, a temperatura de ebulição da água em kelvin e o valor, em graus Celsius, do zero absoluto.

b) Admita que a temperatura média da superfície do Sol é 5778 K. Determine essa temperatura em graus Fahrenheit, arredondada às unidades (sem arredondamentos intermédios).

Resolução

a) Congelação: $C = 0 \Rightarrow F = 1,8 \times 0 + 32 = 32$ °F.

Ebulição: $C = 100 \Rightarrow K = 100 + 273,15 = 373,15$ K.

Zero absoluto: $K = 0 \Leftrightarrow C + 273,15 = 0 \Leftrightarrow C = - 273,15$ . 32 °F; 373,15 K; −273,15 °C.

b) $5778 = C + 273,15 \Leftrightarrow C = 5504,85$ °C.

$F = 1,8 \times 5504,85 + 32 = 9908,73 + 32 = 9940,73$ . Cerca de 9941 °F.

11Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2025, época especial, item 5

O arco da ponte Alexandre III, sobre o rio Sena, é modelado pela função quadrática

$d (x) = - 0,0021 x^{2} + 0,2247 x,$

em que $d (x)$ é a altura, em metros, de um ponto do arco acima da superfície da água e $x$ é a distância, em metros, medida na horizontal, da projeção ortogonal desse ponto na água ao ponto $O$ da margem do rio. Uma empresa de passeios de barco quer colocar boias fixas a delimitar um canal de passagem sob a ponte, de modo que todas as embarcações passem sob o arco sem lhe tocar. A altura máxima permitida para as embarcações é de $3,2$ metros.
Determine a largura máxima do canal, em metros, arredondada às unidades. Em cálculos intermédios, use quatro casas decimais.

Resolução

As embarcações (até 3,2 m de altura) passam sem tocar no arco onde $d (x) \geq 3,2$ ; os limites do canal são as soluções de $d (x) = 3,2$ .

$- 0,0021 x^{2} + 0,2247 x = 3,2 \Leftrightarrow 0,0021 x^{2} - 0,2247 x + 3,2 = 0$ .

$x = \frac{0,2247 \pm \sqrt{0, 2247^{2} - 4 \times 0,0021 \times 3,2}}{2 \times 0,0021} = \frac{0,2247 \pm \sqrt{0,0236}}{0,0042}$ , ou seja, $x \approx 16,9153$ ou $x \approx 90,0847$ (na calculadora: interseção de $y_{1} = d (x)$ com $y_{2} = 3,2$ ).

Como a parábola tem a concavidade voltada para baixo, $d (x) \geq 3,2$ para $x \in [16,9153; 90,0847]$ .

Largura: $90,0847 - 16,9153 = 73,1694$ . A largura máxima do canal é de cerca de 73 m.

12Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2026, 2.ª fase, item 7.1

Uma arquiteta projetou um espaço exterior delimitado por dois arcos de parábola, contidos nos gráficos das funções quadráticas

$f (x) = - 0,25 x^{2} + 0,5 x + 3,75 e g (x) = 0,25 x^{2} - 1,5 x + 1,25,$

num referencial em que a unidade é o metro. O retângulo $[A B C D]$ envolve esse espaço: cada um dos seus lados horizontais contém o vértice de uma das parábolas e cada um dos lados verticais contém um dos pontos de interseção dos gráficos de $f$ e $g$ .
Determine a área do retângulo $[A B C D]$ .

Resolução

Vértice de $f$ (concavidade para baixo): $x_{V} = - \frac{0,5}{2 \times (- 0,25)} = 1$ ; $f (1) = - 0,25 + 0,5 + 3,75 = 4$ (máximo).

Vértice de $g$ (concavidade para cima): $x_{V} = - \frac{- 1,5}{2 \times 0,25} = 3$ ; $g (3) = 2,25 - 4,5 + 1,25 = - 1$ (mínimo). Altura do retângulo: $4 - (- 1) = 5$ m.

Interseções: $f (x) = g (x) \Leftrightarrow - 0,5 x^{2} + 2 x + 2,5 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$ .

$x = - 1 \lor x = 5$ , logo a largura do retângulo é $5 - (- 1) = 6$ m.

Área de $[A B C D]$ : $6 \times 5 = 30$ m².

13Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2026, 2.ª fase, item 7.2

Num jardim, fixou-se um referencial cartesiano em que a unidade é o metro. Foram plantadas duas árvores nos pontos $P (40; 0)$ e $Q (0; 30)$ . Uma terceira árvore vai ser plantada sobre a reta $P Q$ , num ponto de abcissa 13.
Determine a ordenada desse ponto, começando por escrever a equação reduzida da reta $P Q$ .

Resolução

A reta $P Q$ é o gráfico de uma função afim $y = m x + b$ . Como $Q (0; 30)$ está no eixo $O y$ , a ordenada na origem é $b = 30$ .

Declive: $m = \frac{30 - 0}{0 - 40} = - \frac{3}{4} = - 0,75$ .

Equação reduzida: $y = - 0,75 x + 30$ .

Para $x = 13$ : $y = - 0,75 \times 13 + 30 = - 9,75 + 30 = 20,25$ .

A ordenada é 20,25 (o ponto é $(13; 20,25)$ ).

14Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática B (735), 2026, época especial, itens 4.1.1 e 4.1.2

Um canteiro tem a forma de um quadrado $[A B C D]$ com 8 m de lado. No seu interior está o quadrado $[E F G H]$ , com os vértices sobre os lados de $[A B C D]$ , tal que $\overset{―}{A E} = \overset{―}{B F} = \overset{―}{C G} = \overset{―}{D H} = x$ (em metros), com $0 < x < 8$ . O quadrado $[E F G H]$ destina-se a flores e a restante zona é relvada.

a) Mostre que a área, em m², da zona destinada a flores é dada por $a (x) = 2 x^{2} - 16 x + 64$ .

b) Determine o valor de $x$ para o qual a área da zona destinada a flores é mínima.

Resolução

a) Os quatro cantos são triângulos retângulos iguais, de catetos $x$ e $8 - x$ ; cada um tem área $\frac{x (8 - x)}{2}$ .

$a (x) = 8^{2} - 4 \times \frac{x (8 - x)}{2} = 64 - 2 x (8 - x) = 64 - 16 x + 2 x^{2}$ , ou seja, $a (x) = 2 x^{2} - 16 x + 64$ .

b) $a$ é quadrática com concavidade voltada para cima, logo tem mínimo no vértice.

$a (x) = 64 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 16 x = 0 \Leftrightarrow 2 x (x - 8) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor x = 8$ ; por simetria, $x_{V} = \frac{0 + 8}{2} = 4$ .

$a (4) = 32 - 64 + 64 = 32$ . A área de flores é mínima para $x = 4$ m (área mínima de 32 m²).

Ficha de exames nº5 – Funções (2022–2026)

Ficha de exames nº5

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

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