Ficha de exames nº3

Provas de 2020–2026

10.º ano – Matemática A – Tema 5 (Geometria analítica)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 8 itens 4 fáceis3 médios1 difícil

1Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2020, 2.ª fase, item 1.2

Num referencial ortonormado $O x y z$ , considere o cubo $[A B C D E F G H]$ (o vértice $H$ não está visível na figura original), em que $[A G]$ é uma diagonal espacial. Sabe-se que:
• $A (7, 1, 4)$ e $G (5, 3, 6)$ ;
• a reta $A E$ é definida por $(x, y, z) = (7, 1, 4) + k (3, - 6, 2), k \in ℝ$ .
Determine, sem recorrer à calculadora, a equação reduzida da superfície esférica que passa nos oito vértices do cubo.

Resolução

O centro da superfície esférica que passa nos oito vértices de um cubo é o centro do cubo, que é o ponto médio de qualquer diagonal espacial, por exemplo $[A G]$ .

Centro: $M = (\frac{7 + 5}{2}, \frac{1 + 3}{2}, \frac{4 + 6}{2}) = (6, 2, 5)$ .

$\overset{―}{A G} = \sqrt{(5 - 7)^{2} + (3 - 1)^{2} + (6 - 4)^{2}} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12}$ .

Raio: $r = \frac{\overset{―}{A G}}{2} = \frac{\sqrt{12}}{2}$ , logo $r^{2} = \frac{12}{4} = 3$ .

Equação reduzida: $(x - 6)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 5)^{2} = 3$ .

2Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2020, época especial, item 2

Na figura, está representado, num referencial ortonormado $x O y$ , o hexágono regular $[M N P Q R S]$ , cujo centro é a origem $O$ . Sabe-se que o vértice $M$ tem coordenadas $(1, 0)$ e que o vértice $N$ pertence ao primeiro quadrante.
Qual é a equação reduzida da reta $M N$ ?

(A) $y = - \sqrt{3} x + \sqrt{3}$

(B) $y = - \sqrt{3} x + \sqrt{6}$

(C) $y = - x + 2$

(D) $y = - x + 1$

Resolução

Num hexágono regular de centro $O$ , o triângulo $[O M N]$ é equilátero; como $\overset{―}{O M} = 1$ , todos os lados medem $1$ .

A projeção de $N$ no eixo $O x$ é o ponto médio de $[O M]$ , logo $x_{N} = \frac{1}{2}$ ; a ordenada de $N$ é a altura do triângulo equilátero: $y_{N} = \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Assim, $N (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Declive de $M N$ : $m = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{1}{2}} = - \sqrt{3}$ .

$y = - \sqrt{3} x + b$ e $M (1, 0)$ pertence à reta: $0 = - \sqrt{3} + b \Leftrightarrow b = \sqrt{3}$ .

$M N : y = - \sqrt{3} x + \sqrt{3}$ : opção (A).

3Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2021, 2.ª fase, item 1.1

Num referencial ortonormado $O x y z$ , considere o trapézio $[P Q R S]$ , de bases $[P Q]$ e $[R S]$ , cujo lado $[P S]$ é perpendicular às bases. Sabe-se que $P (1, - 1, 2)$ , $Q (- 2, 1, 1)$ e $R (- 5, 5, - 3)$ .
Qual das condições seguintes define a superfície esférica de centro no ponto $R$ e que passa no ponto $Q$ ?

(A) $(x - 5)^{2} + (y + 5)^{2} + (z - 3)^{2} = 59$

(B) $(x - 5)^{2} + (y + 5)^{2} + (z - 3)^{2} = 41$

(C) $(x + 5)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 3)^{2} = 41$

(D) $(x + 5)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 3)^{2} = 59$

Resolução

A superfície esférica de centro $R (- 5, 5, - 3)$ tem equação da forma $(x + 5)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 3)^{2} = r^{2}$ , o que exclui as opções (A) e (B).

O raio é $\overset{―}{R Q}$ : ${\overset{―}{R Q}}^{2} = (- 2 + 5)^{2} + (1 - 5)^{2} + (1 + 3)^{2} = 9 + 16 + 16 = 41$ .

Logo a condição é $(x + 5)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 3)^{2} = 41$ : opção (C).

4Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2022, época especial, item 1.1

Na figura, está representado, num referencial ortonormado $O x y z$ , o prisma reto $[A B C D E F G H I J K L]$ , cujas bases são hexágonos regulares. Sabe-se que:
• os vértices $A$ e $B$ pertencem ao semieixo positivo $O x$ e o vértice $F$ pertence ao semieixo positivo $O y$ (a base $[A B C D E F]$ está contida no plano $x O y$ );
• o ponto $M (\frac{4}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}, 2)$ é o centro do prisma (ponto equidistante de todos os vértices).
Qual das equações seguintes define o plano que contém a face $[G H I J K L]$ ?

(A) $z = 2$ (B) $z = 4$ (C) $x = \frac{4}{3}$ (D) $x = \frac{8}{3}$

Resolução

A base $[A B C D E F]$ está contida no plano $x O y$ , de equação $z = 0$ .

Como o prisma é reto, a outra base, $[G H I J K L]$ , está contida num plano paralelo a $x O y$ , de equação $z = h$ , onde $h$ é a altura do prisma. Excluem-se as opções (C) e (D), que definem planos paralelos a $y O z$ .

O centro $M$ do prisma está a meia altura, logo a sua cota é metade da altura: $\frac{h}{2} = 2 \Leftrightarrow h = 4$ .

O plano que contém $[G H I J K L]$ é definido por $z = 4$ : opção (B).

5Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2023, 2.ª fase, item 8.1

Num referencial ortonormado $O x y z$ , considere os pontos $A (4, 0, 0)$ e $B (12, 2, \frac{13}{2})$ , vértices de um prisma hexagonal reto.
Qual das equações seguintes define a superfície esférica de diâmetro $[A B]$ ?

(A) $(x - 8)^{2} + (y - 1)^{2} + {(z - \frac{13}{4})}^{2} = \frac{441}{16}$

(B) $(x - 8)^{2} + (y - 1)^{2} + {(z - \frac{13}{4})}^{2} = \frac{441}{4}$

(C) $(x - 4)^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{441}{16}$

(D) $(x - 4)^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{441}{4}$

Resolução

O centro da superfície esférica é o ponto médio de $[A B]$ : $M (\frac{4 + 12}{2}, \frac{0 + 2}{2}, \frac{0 + \frac{13}{2}}{2}) = (8, 1, \frac{13}{4})$ . Isto exclui as opções (C) e (D).

${\overset{―}{A B}}^{2} = (12 - 4)^{2} + (2 - 0)^{2} + {(\frac{13}{2} - 0)}^{2} = 64 + 4 + \frac{169}{4} = \frac{441}{4}$ .

O raio é metade do diâmetro, logo $r^{2} = \frac{{\overset{―}{A B}}^{2}}{4} = \frac{441}{16}$ $(r = \frac{21}{4})$ .

Equação: $(x - 8)^{2} + (y - 1)^{2} + {(z - \frac{13}{4})}^{2} = \frac{441}{16}$ . Resposta: (A).

6Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2025, 1.ª fase, item 10.2

Num referencial ortonormado $O x y z$ , considere o prisma triangular $[A B C D E F]$ . Sabe-se que:
• os pontos $A$ e $B$ têm coordenadas $(4, 2, 0)$ e $(2, 3, - 3)$ , respetivamente;
• a reta $B C$ é paralela à reta $D F$ , que tem a direção do vetor $\vec{v} = (1, 1, - 5)$ ;
• o ponto $C$ pertence ao plano mediador do segmento de reta $[A B]$ .
Determine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do ponto $C$ .

Resolução

Como $B C ∥ D F$ , uma equação vetorial da reta $B C$ é $(x, y, z) = (2, 3, - 3) + k (1, 1, - 5), k \in ℝ$ . Logo $C (2 + k, 3 + k, - 3 - 5 k)$ para um certo $k$ .

O plano mediador de $[A B]$ é o conjunto dos pontos equidistantes de $A$ e de $B$ ; portanto $\overset{―}{A C} = \overset{―}{B C}$ , ou seja, ${\overset{―}{A C}}^{2} = {\overset{―}{B C}}^{2}$ .

${\overset{―}{B C}}^{2} = k^{2} + k^{2} + (- 5 k)^{2} = 27 k^{2}$ .

${\overset{―}{A C}}^{2} = (k - 2)^{2} + (k + 1)^{2} + (- 3 - 5 k)^{2} = k^{2} - 4 k + 4 + k^{2} + 2 k + 1 + 25 k^{2} + 30 k + 9 = 27 k^{2} + 28 k + 14$ .

$27 k^{2} + 28 k + 14 = 27 k^{2} \Leftrightarrow 28 k = - 14 \Leftrightarrow k = - \frac{1}{2}$ .

$C (2 - \frac{1}{2}, 3 - \frac{1}{2}, - 3 + \frac{5}{2})$ , isto é, $C (\frac{3}{2}, \frac{5}{2}, - \frac{1}{2})$ .

7Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2026, 1.ª fase, item 15

Seja $f$ a função, de domínio $ℝ$ , definida por $f (x) = x^{2} - 1$ , e seja $s$ a reta de equação $y = a$ , com $a > - 1$ .
Determine, em função de $a$ , o raio da circunferência que contém o vértice da parábola que representa graficamente $f$ e os pontos de interseção dessa parábola com a reta $s$ .

Resolução

Interseção da parábola com $s$ : $x^{2} - 1 = a \Leftrightarrow x^{2} = a + 1 \Leftrightarrow x = - \sqrt{a + 1} \lor x = \sqrt{a + 1}$ (pois $a + 1 > 0$ ). Pontos: $P (- \sqrt{a + 1}, a)$ e $Q (\sqrt{a + 1}, a)$ .

O vértice da parábola é $V (0, - 1)$ .

Os pontos $P$ e $Q$ são simétricos em relação ao eixo $O y$ ; o centro da circunferência pertence à mediatriz de $[P Q]$ , que é o eixo $O y$ . Seja $C (0, c)$ o centro.

Como $\overset{―}{C V} = \overset{―}{C Q}$ : $(c + 1)^{2} = {(\sqrt{a + 1})}^{2} + (a - c)^{2} \Leftrightarrow c^{2} + 2 c + 1 = a + 1 + a^{2} - 2 a c + c^{2}$ .

$\Leftrightarrow 2 c + 2 a c = a + a^{2} \Leftrightarrow 2 c (1 + a) = a (1 + a) \Leftrightarrow c = \frac{a}{2}$ (pois $1 + a \neq 0$ ).

O raio é $r = \overset{―}{C V} = | \frac{a}{2} + 1 | = \frac{a}{2} + 1$ (positivo, pois $a > - 1$ ). Logo, $r = 1 + \frac{a}{2}$ .

8Fácil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2026, época especial, item 1.1

Num referencial ortonormado $O x y z$ , considere a superfície esférica de centro no ponto de coordenadas $(\frac{1}{2}, 3, 3)$ , tangente ao plano $x O y$ no ponto $A$ e tangente ao plano $x O z$ no ponto $B$ .
Qual das equações seguintes define a superfície esférica?

(A) ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 9$

(B) $x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{73}{4}$

(C) ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = \frac{73}{4}$

(D) $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$

Resolução

O centro é $C (\frac{1}{2}, 3, 3)$ , pelo que a equação tem a forma ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = r^{2}$ ; excluem-se (B) e (D), que têm centro na origem.

A superfície é tangente ao plano $x O y$ (de equação $z = 0$ ) no ponto $A$ , que é a projeção ortogonal do centro nesse plano: $A (\frac{1}{2}, 3, 0)$ .

O raio é $r = \overset{―}{C A} = 3 - 0 = 3$ (distância do centro ao plano $x O y$ , igual à cota do centro); confirma-se que a distância ao plano $x O z$ , a ordenada $3$ , também é $3$ , com $B (\frac{1}{2}, 0, 3)$ .

Assim $r^{2} = 9$ e a equação é ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 9$ . Resposta: (A). (Note-se que $\frac{73}{4} = \frac{1}{4} + 9 + 9$ é o quadrado da distância do centro à origem, que não é o raio.)

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