Ficha de exames nº2

Provas de 2021–2026

10.º ano – Matemática A – Tema 6 (Vetores no plano e no espaço)

📚 Itens de exames nacionais e testes intermédios

Itens de exames nacionais e testes intermédios portugueses que correspondem às Aprendizagens Essenciais deste tema, ordenados por data da prova. Em cada exercício indica-se a prova de origem e o grau de dificuldade. Os itens de MACS e de Matemática B foram adaptados (linguagem e, quando indicado, método) ao programa de Matemática A.

📝 4 itens 3 médios1 difícil

1Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2021, época especial, item 1.2

Na figura, está representada, num referencial ortonormado $O x y z$ , a pirâmide regular $[A B C D E]$ , de base quadrada $[A B C D]$ e vértice $E$ . Sabe-se que:
• a base da pirâmide está contida no plano $x O z$ ;
• o vértice $A$ pertence ao semieixo positivo $O z$ e o vértice $B$ pertence ao semieixo negativo $O x$ ;
• $E (- 2, 6, 2)$ e $\vec{B E} = (- 1, 6, 2)$ ;
• o volume da pirâmide é igual a $20$ .
Determine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do vetor $\vec{A B}$ .

Resolução

$B = E - \vec{B E} = (- 2, 6, 2) - (- 1, 6, 2) = (- 1, 0, 0)$ .

A base está no plano $x O z$ (de equação $y = 0$ ), logo a altura da pirâmide é a distância de $E$ a esse plano, isto é, $| y_{E} | = 6$ .

$V = \frac{1}{3} \times A_{b a s e} \times 6 = 20 \Leftrightarrow A_{b a s e} = 10$ ; como a base é um quadrado, $\overset{―}{A B} = \sqrt{10}$ .

$A$ pertence ao semieixo positivo $O z$ : $A (0, 0, c)$ , com $c > 0$ . Então $\vec{A B} = B - A = (- 1, 0, - c)$ e $‖ \vec{A B} ‖^{2} = 1 + c^{2}$ .

$1 + c^{2} = 10 \Leftrightarrow c^{2} = 9 \Leftrightarrow c = 3$ (pois $c > 0$ ). Logo $A (0, 0, 3)$ .

$\vec{A B} = (- 1, 0, - 3)$ .

2Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2023, 1.ª fase, itens 6.1 e 6.2

Na figura, está representado, num referencial ortonormado $O x y z$ , o prisma triangular reto $[O A B C D E]$ , de bases $[A B C]$ e $[O E D]$ , paralelas ao plano $y O z$ .
Sabe-se que:
• as bases $[A B C]$ e $[O E D]$ estão inscritas em semicircunferências de diâmetros $[A B]$ e $[O E]$ , respetivamente;
• o ponto $A$ pertence ao semieixo positivo $O x$ e o ponto $E$ pertence ao semieixo positivo $O y$ ;
• $\overset{―}{O E} = 12,5$ ;
• a reta $A C$ é definida pela equação vetorial $(x, y, z) = (10, 0, 0) + k (0, 4, 3), k \in ℝ$ .

a) Qual das seguintes equações vetoriais define a reta $O D$ ?

(A) $(x, y, z) = (0, 6, 8) + k (0, 2, \frac{3}{2}), k \in ℝ$

(B) $(x, y, z) = (0, 4, 3) + k (0, 2, \frac{3}{2}), k \in ℝ$

(C) $(x, y, z) = (0, 4, 3) + k (0, 3, 4), k \in ℝ$

(D) $(x, y, z) = (0, 6, 8) + k (0, 3, 4), k \in ℝ$

b) A reta $A C$ interseta a superfície esférica de diâmetro $[A B]$ nos pontos $A$ e $C$ . Determine, sem utilizar a calculadora, as coordenadas do ponto $C$ .

Resolução

a) As bases do prisma são paralelas e geometricamente iguais e as arestas laterais são paralelas a $O x$ ; por isso, a reta $O D$ é paralela à reta $A C$ e tem como vetor diretor $\vec{u} = (0, 4, 3)$ ou qualquer vetor colinear, por exemplo $\frac{1}{2} \vec{u} = (0, 2, \frac{3}{2})$ .

A reta $O D$ passa na origem, logo os seus pontos são da forma $t (0, 4, 3)$ ; para $t = 1$ obtém-se o ponto $(0, 4, 3)$ , que pertence à reta. O ponto $(0, 6, 8)$ não pertence à reta (não existe $t$ com $4 t = 6$ e $3 t = 8$ ), e $(0, 3, 4)$ não é colinear com $(0, 4, 3)$ .

Resposta: (B).

b) O ponto $A$ pertence ao eixo $O x$ e à reta $A C$ , logo $A (10, 0, 0)$ . Como $\overset{―}{A B} = \overset{―}{O E} = 12,5$ e $[A B]$ é paralelo a $O y$ , tem-se $B (10; 12,5; 0)$ .

O centro da superfície esférica é o ponto médio de $[A B]$ : $M (10; 6,25; 0)$ , e o raio é $\frac{12,5}{2} = 6,25$ . Equação: $(x - 10)^{2} + (y - 6,25)^{2} + z^{2} = 6, 25^{2}$ .

Um ponto genérico da reta $A C$ é $(10, 4 k, 3 k)$ . Substituindo: $(4 k - 6,25)^{2} + 9 k^{2} = 6, 25^{2} \Leftrightarrow 16 k^{2} - 50 k + 9 k^{2} = 0 \Leftrightarrow 25 k^{2} - 50 k = 0 \Leftrightarrow 25 k (k - 2) = 0$ .

$k = 0$ corresponde ao ponto $A$ ; $k = 2$ dá o ponto $C$ : $C (10, 8, 6)$ .

3Médio

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2024, 2.ª fase, itens 1.1 e 1.2

Num referencial ortonormado $O x y z$ , considere o cubo $[A B C D E F G H]$ . Sabe-se que:
• o plano $A B C$ é definido pela equação $x = 0$ ;
• o ponto $A$ pertence ao semieixo positivo $O y$ e $\overset{―}{O A} = 4$ ;
• o ponto $F$ pertence ao plano $x O y$ ;
• $[F C]$ é uma diagonal espacial do cubo;
• a reta $F C$ é definida pela equação vetorial $(x, y, z) = (- 5, 2, 14) + k (- 5, - 1, 7), k \in ℝ$ .

a) Mostre que a reta definida por $(x, y, z) = (- 10, 2, 14) + k (5, 1, - 7), k \in ℝ$ , é a reta que passa no ponto $A$ e é paralela à reta $F C$ .

b) Determine a equação cartesiana reduzida da superfície esférica que contém todos os vértices do cubo.

Resolução

a) $A (0, 4, 0)$ . O vetor $(5, 1, - 7) = - 1 \times (- 5, - 1, 7)$ é colinear com o vetor diretor de $F C$ , logo as retas são paralelas (ou coincidentes).

$A$ pertence à reta: $(0, 4, 0) = (- 10 + 5 k, 2 + k, 14 - 7 k) \Leftrightarrow k = 2 \land k = 2 \land k = 2$ . Como $k = 2$ verifica as três equações, a reta passa em $A$ e é paralela a $F C$ (é a opção correta do item original).

b) $F$ é o ponto da reta $F C$ com $z = 0$ : $14 + 7 k = 0 \Leftrightarrow k = - 2$ , logo $F (- 5 + 10, 2 + 2, 0) = F (5, 4, 0)$ .

$C$ pertence ao plano $x = 0$ : $- 5 - 5 k = 0 \Leftrightarrow k = - 1$ , logo $C (0, 3, 7)$ .

Como $[F C]$ é uma diagonal espacial, a superfície esférica que contém os vértices do cubo tem centro no ponto médio de $[F C]$ : $M (\frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{7}{2})$ .

$\overset{―}{F C} = \sqrt{(5 - 0)^{2} + (4 - 3)^{2} + (0 - 7)^{2}} = \sqrt{75}$ , logo $r = \frac{\sqrt{75}}{2}$ e $r^{2} = \frac{75}{4}$ .

Equação: ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} + {(z - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{75}{4}$ .

4Difícil

📄 Adaptado de: Exame Nacional de Matemática A (635), 2026, 1.ª fase, item 4.2

Na figura, está representado, num referencial ortonormado $O x y z$ , o paralelepípedo retângulo $[A B C D E F G H]$ . Sabe-se que:
• o ponto $A$ pertence ao eixo $O x$ e o ponto $B$ pertence ao eixo $O y$ ;
• a face $[A B G F]$ está contida no plano $x O y$ e as arestas $[A D]$ , $[B C]$ , $[G H]$ e $[F E]$ são perpendiculares a esse plano;
• o ponto $C$ tem coordenadas $(0, 6, 4)$ e o ponto $G$ tem coordenadas $(6, 9, 0)$ ;
• a reta $D H$ é definida pela equação vetorial $(x, y, z) = (2, - 3, 4) + k (1, 3, 0), k \in ℝ$ , e é paralela à reta $A G$ .
Determine, sem recorrer à calculadora, uma equação da superfície esférica de centro no ponto $A$ e que passa no ponto $F$ .

Resolução

Como a reta $A G$ é paralela à reta $D H$ , tem vetor diretor $(1, 3, 0)$ e passa em $G (6, 9, 0)$ : $(x, y, z) = (6, 9, 0) + k (1, 3, 0), k \in ℝ$ .

O ponto $A$ pertence ao eixo $O x$ , logo tem ordenada nula: $9 + 3 k = 0 \Leftrightarrow k = - 3$ . Assim, $A (6 - 3, 0, 0) = A (3, 0, 0)$ .

O ponto $B$ pertence ao eixo $O y$ e $[B C]$ é perpendicular ao plano $x O y$ , logo $B$ é a projeção de $C$ nesse plano: $B (0, 6, 0)$ .

Como $[A B G F]$ é um retângulo, $\vec{A F} = \vec{B G} = G - B = (6, 3, 0)$ , pelo que $F = A + (6, 3, 0) = (9, 3, 0)$ .

O raio da superfície esférica é $\overset{―}{A F} = \sqrt{6^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{45}$ , logo $r^{2} = 45$ .

Equação: $(x - 3)^{2} + y^{2} + z^{2} = 45$ .

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