Teste nº1

Eleições na escola e primeiro ordenado

10.º ano – Matemática A – Tema 1 (Modelos matemáticos para a cidadania)

Grau de dificuldade do teste: Fácil

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 15 itens cotados (5 de escolha múltipla, 10 de resposta aberta)

Fácil 110

Médio 90

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Fácil (12 pontos) Na eleição para a associação de estudantes de uma escola secundária concorreram quatro listas, A, B, C e D. Todos os votos foram válidos e a sua distribuição está representada no gráfico seguinte.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) A lista A venceu com maioria absoluta dos votos.

(B) Nenhuma lista venceu por maioria simples.

(C) A lista A venceu por maioria simples, mas não obteve maioria absoluta.

(D) As listas C e D obtiveram, em conjunto, mais votos do que a lista B.

Resolução

Total de votos: $312 + 287 + 145 + 96 = 840$ . A maioria absoluta exige mais de metade, ou seja, mais de $420$ votos.

A lista A, a mais votada, tem $312$ votos, menos do que $421$ : vence por maioria simples, mas sem maioria absoluta. Logo, (A) e (B) são falsas.

As listas C e D têm, juntas, $145 + 96 = 241$ votos, menos do que os $287$ da lista B; (D) é falsa.

A afirmação verdadeira é a (C).

Opção (C)

2Fácil Os $29$ alunos de uma turma do 10.º ano vão escolher o destino da visita de estudo. Cada aluno ordenou, por preferência, quatro destinos: Algarve, Gerês, Lisboa e Porto. Os resultados estão na tabela seguinte.

N.º de votos	10	8	7	4
1.ª preferência	Algarve	Gerês	Porto	Lisboa
2.ª preferência	Gerês	Porto	Gerês	Porto
3.ª preferência	Porto	Lisboa	Lisboa	Gerês
4.ª preferência	Lisboa	Algarve	Algarve	Algarve

2.1. Fácil (12 pontos) Qual é o destino escolhido pelo método da maioria simples? Justifique que esse destino não obtém maioria absoluta.

2.2. Médio (14 pontos) Aplique o método de Borda, atribuindo $4$ pontos à 1.ª preferência, $3$ à 2.ª, $2$ à 3.ª e $1$ à 4.ª. Indique o destino escolhido e compare com o resultado do item anterior.

Resolução

2.1.

Primeiras preferências: Algarve $10$ , Gerês $8$ , Porto $7$ , Lisboa $4$ .

Pelo método da maioria simples vence o destino com mais primeiras preferências: Algarve.

A maioria absoluta exige mais de metade dos votos: mais de $\frac{29}{2} = 14,5$ , ou seja, pelo menos $15$ votos.

Como $10 < 15$ , o Algarve vence sem maioria absoluta.

2.2.

Algarve: $10 \times 4 + 8 \times 1 + 7 \times 1 + 4 \times 1 = 59$ pontos.

Gerês: $10 \times 3 + 8 \times 4 + 7 \times 3 + 4 \times 2 = 91$ pontos.

Porto: $10 \times 2 + 8 \times 3 + 7 \times 4 + 4 \times 3 = 84$ pontos.

Lisboa: $10 \times 1 + 8 \times 2 + 7 \times 2 + 4 \times 4 = 56$ pontos.

Pelo método de Borda é escolhido o Gerês ( $91$ pontos).

O resultado é diferente: o Algarve, mais votado em 1.º lugar, fica em último lugar para $19$ alunos, enquanto o Gerês é bem aceite por quase todos (1.º ou 2.º lugar para $25$ alunos).

3Fácil (12 pontos) Numa eleição para um órgão com $5$ lugares, os partidos P, Q, R e S obtiveram, respetivamente, $4200$ , $3100$ , $1500$ e $900$ votos. Os mandatos são distribuídos pelo método de Hondt.
Qual é a distribuição de mandatos?

(A) P: 3; Q: 2; R: 0; S: 0

(B) P: 2; Q: 1; R: 1; S: 1

(C) P: 2; Q: 2; R: 1; S: 0

(D) P: 2; Q: 2; R: 0; S: 1

Resolução

Dividem-se os votos de cada partido por $1, 2, 3, \dots$

P: $4200; 2100; 1400$ . Q: $3100; 1550; 1033,3$ . R: $1500; 750$ . S: $900$ .

Os cinco maiores quocientes são $4200, 3100, 2100, 1550$ e $1500$ .

Logo, P obtém $2$ mandatos, Q obtém $2$ , R obtém $1$ e S nenhum (o quociente $1500$ de R supera o terceiro quociente de P, $1400$ ).

Opção (C)

4Médio (16 pontos) Na eleição para uma assembleia de freguesia, com $9$ mandatos, as listas A, B, C e D obtiveram os votos indicados na tabela.

Lista	A	B	C	D
N.º de votos	2450	1980	860	410

Determine a distribuição dos mandatos pelo método de Hondt. Apresente a tabela dos quocientes.

Resolução

Divide-se o número de votos de cada lista por $1, 2, 3, 4, 5$ (os quocientes eleitos estão a negrito):

A: $2450; 1225; 816, 7; 612, 5; 490$
B: $1980; 990; 660; 495; 396$
C: $860; 430; 286,7; 215; 172$
D: $410; 205; 136,7; 102,5; 82$

Os nove maiores quocientes são: $2450$ (A), $1980$ (B), $1225$ (A), $990$ (B), $860$ (C), $816,7$ (A), $660$ (B), $612,5$ (A), $495$ (B).

O 9.º mandato vai para B (quociente $495$ ); o quociente seguinte é $490,0$ (de A), pelo que D não elege.

A: 4 mandatos; B: 4; C: 1; D: 0.

5Fácil (12 pontos) Numa campanha de saldos, um par de sapatilhas, com um desconto de $15 %$ , passou a custar $68$ €.
Qual era o preço antes do desconto?

(A) $78,20$ €

(B) $83,00$ €

(C) $80,00$ €

(D) $57,80$ €

Resolução

Com um desconto de $15 %$ , paga-se $85 %$ do preço inicial: $0,85 p = 68$ .

Logo, $p = \frac{68}{0,85} = 80$ €.

Os distratores correspondem a erros comuns: somar $15 %$ a $68$ ( $78,20$ €), somar $15$ € ou retirar outra vez $15 %$ ( $57,80$ €).

Opção (C)

6Fácil (12 pontos) O preço de um telemóvel aumentou $10 %$ e, um mês depois, o novo preço sofreu uma redução de $10 %$ .
Mostre que o preço final corresponde a $99 %$ do preço inicial.

Resolução

Seja $p$ o preço inicial. Após o aumento de $10 %$ : $p \times 1,10$ .

Após a redução de $10 %$ sobre o novo preço: $p \times 1,10 \times 0,90$ .

Como $1,10 \times 0,90 = 0,99$ , o preço final é $0,99 p$ .

O preço final é $99 %$ do preço inicial (a redução incide sobre um valor maior, por isso não compensa o aumento).

7Fácil (12 pontos) Um casaco custa $65$ €, sem IVA. A taxa de IVA aplicável é $23 %$ .
Quanto se paga pelo casaco?

(A) $14,95$ €

(B) $79,95$ €

(C) $88,00$ €

(D) $50,05$ €

Resolução

O IVA é $23 %$ do preço sem IVA: $0,23 \times 65 = 14,95$ €.

Preço a pagar: $65 + 14,95 = 79,95$ € (ou, diretamente, $65 \times 1,23 = 79,95$ €).

(A) é só o valor do IVA, (C) soma $23$ € e (D) subtrai o imposto.

Opção (B)

8Médio (16 pontos) Numa compra num supermercado, a fatura indica os artigos, os preços sem IVA e as taxas de IVA aplicáveis.

Artigo	Preço sem IVA (€)	Taxa de IVA
Pão e leite	2,40	6 %
Refeição pronta	18,00	13 %
Detergente	6,60	23 %

Determine o valor total do IVA e o valor total a pagar. Apresente os valores em euros, arredondados aos cêntimos.

Resolução

IVA do pão e leite: $2,40 \times 0,06 = 0,144 \approx 0,14$ €.

IVA da refeição: $18,00 \times 0,13 = 2,34$ €.

IVA do detergente: $6,60 \times 0,23 = 1,518 \approx 1,52$ €.

IVA total: $0,14 + 2,34 + 1,52 = 4,00$ €.

Total sem IVA: $2,40 + 18,00 + 6,60 = 27,00$ €; total a pagar: $27,00 + 4,00 = 31,00$ €.

IVA: $4,00$ €; total a pagar: $31,00$ €.

9Fácil A Rita começou a trabalhar com um salário bruto mensal de $1150$ €. Todos os meses são descontados $11 %$ do salário bruto para a Segurança Social e é feita a retenção na fonte de IRS, à taxa indicada na tabela seguinte (tabela simplificada, com valores fictícios), aplicada ao salário bruto.

Salário bruto mensal (€)	Taxa de retenção
até 870,00	0 %
de 870,01 a 1000,00	6,5 %
de 1000,01 a 1250,00	9,0 %
de 1250,01 a 1500,00	11,5 %
de 1500,01 a 2000,00	14,0 %

9.1. Fácil (14 pontos) Determine o salário líquido mensal da Rita.

9.2. Médio (14 pontos) Passado um ano, o salário bruto da Rita aumentou para $1260$ €. Mostre que o salário líquido aumentou menos de $60$ € e determine a percentagem do aumento do salário bruto que se traduziu em aumento do salário líquido. Apresente o resultado em percentagem, arredondado às unidades.

Resolução

9.1.

Segurança Social: $0,11 \times 1150 = 126,50$ €.

O salário bruto está no escalão de $1000,01$ a $1250,00$ €, com taxa de $9 %$ : IRS $= 0,09 \times 1150 = 103,50$ €.

Salário líquido: $1150 - 126,50 - 103,50 = 920,00$ €.

O salário líquido da Rita é $920,00$ €.

9.2.

Segurança Social: $0,11 \times 1260 = 138,60$ €.

$1260$ € pertence ao escalão de $1250,01$ a $1500,00$ €, com taxa de $11,5 %$ : IRS $= 0,115 \times 1260 = 144,90$ €.

Novo salário líquido: $1260 - 138,60 - 144,90 = 976,50$ €.

Aumento líquido: $976,50 - 920,00 = 56,50$ €, que é inferior a $60$ €, como se queria mostrar.

Aumento bruto: $110$ €; $\frac{56,50}{110} \approx 0,5136$ .

Apenas cerca de $51 %$ do aumento bruto chega ao salário líquido (a mudança de escalão faz subir a taxa de retenção sobre todo o salário).

10Fácil (12 pontos) O rendimento mensal líquido de uma família é $2400$ €. A renda da casa é $720$ €.
Que percentagem do rendimento é gasta na renda?

(A) $3,3 %$

(B) $30 %$

(C) $33 %$

(D) $72 %$

Resolução

Percentagem: $\frac{720}{2400} = 0,30$ .

Logo, a renda corresponde a $30 %$ do rendimento.

$3,3 %$ e $33 %$ resultam de dividir $2400$ por $720$ ; $72 %$ resulta de confundir $720$ € com uma fração de $1000$ €.

Opção (B)

11Médio (16 pontos) A tabela seguinte apresenta o orçamento mensal da família da Ana e do Pedro.

Rendimentos	€	Despesas	€
Salário líquido da Ana	1180	Habitação (renda)	650
Salário líquido do Pedro	1040	Alimentação	520
Abono de família	50	Transportes	210
		Energia e água	135
		Comunicações	55
		Educação	120
		Lazer	160
		Outras	90

Mostre que a família consegue poupar, por mês, pelo menos $10 %$ do seu rendimento e determine a percentagem do rendimento gasta com a habitação. Apresente o resultado em percentagem, arredondado às décimas.

Resolução

Rendimento mensal: $1180 + 1040 + 50 = 2270$ €.

Despesas mensais: $650 + 520 + 210 + 135 + 55 + 120 + 160 + 90 = 1940$ €.

Saldo (poupança possível): $2270 - 1940 = 330$ €.

$10 %$ do rendimento: $0,10 \times 2270 = 227$ €. Como $330 > 227$ , a família pode poupar mais de $10 %$ do rendimento.

Habitação: $\frac{650}{2270} \approx 0,2863$ .

A habitação representa cerca de $28,6 %$ do rendimento.

12Fácil O João depositou $2500$ € num banco, durante $3$ anos, à taxa de juro anual de $2 %$ .

12.1. Fácil (12 pontos) Admita que o depósito é feito em regime de juro simples. Determine o juro total recebido e o capital acumulado ao fim dos $3$ anos.

12.2. Médio (14 pontos) Admita, agora, que o depósito é feito em regime de juro composto, com capitalização anual. Escreva uma expressão que dê o capital acumulado ao fim de $n$ anos e determine a diferença, em euros, entre o capital acumulado ao fim de $3$ anos neste regime e no regime do item anterior.

Resolução

12.1.

Em regime de juro simples, o juro de cada ano é calculado sempre sobre o capital inicial: $2500 \times 0,02 = 50$ €.

Juro em $3$ anos: $3 \times 50 = 150$ €.

Capital acumulado: $2500 + 150 = 2650$ €.

Juro: $150$ €; capital acumulado: $2650$ €.

12.2.

Em cada ano o capital é multiplicado por $1,02$ , porque os juros passam a render juros.

Capital ao fim de $n$ anos: $C_{n} = 2500 \times 1, 02^{n}$ .

$C_{3} = 2500 \times 1, 02^{3} = 2653,0200 \approx 2653,02$ €.

Diferença: $2653,02 - 2650 = 3,02$ €.

$C_{n} = 2500 \times 1, 02^{n}$ ; o regime de juro composto rende mais $3,02$ €.

Cotações

Item	1	2.1	2.2	3	4	5	6	7
Cotação (pontos)	12	12	14	12	16	12	12	12
Dificuldade
Tipo	EM	RA	RA	EM	RA	EM	RA	EM

Item	8	9.1	9.2	10	11	12.1	12.2	Total
Cotação (pontos)	16	14	14	12	16	12	14	200
Dificuldade
Tipo	RA	RA	RA	EM	RA	RA	RA

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 5 itens – 60 pontos

Resposta aberta: 10 itens – 140 pontos

Por grau de dificuldade

Fácil 9 itens – 110 pontos

Médio 6 itens – 90 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

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