Teste nº4

Quotas, Borda e crédito

10.º ano – Matemática A – Tema 1 (Modelos matemáticos para a cidadania)

Grau de dificuldade do teste: Médio

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 15 itens cotados (5 de escolha múltipla, 10 de resposta aberta)

Fácil 36

Médio 150

Difícil 14

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Médio (12 pontos) Numa votação com $5$ candidatos e $40$ votantes usa-se o método de Borda: cada votante ordena todos os candidatos, atribuindo $5$ pontos ao 1.º, $4$ ao 2.º, $3$ ao 3.º, $2$ ao 4.º e $1$ ao 5.º.
Qual é o número total de pontos atribuídos aos cinco candidatos?

(A) $200$

(B) $400$

(C) $600$

(D) $800$

Resolução

Cada votante distribui $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ pontos.

Total: $40 \times 15 = 600$ pontos, independentemente das preferências.

$200 = 40 \times 5$ conta apenas os pontos do 1.º lugar; $400 = 40 \times (4 + 3 + 2 + 1)$ esquece o 1.º lugar.

Opção (C)

2Fácil Os $36$ membros de um clube desportivo escolheram o novo logótipo entre quatro propostas, X, Y, Z e W. Cada membro ordenou as quatro propostas por preferência, como mostra a tabela.

N.º de votos	14	10	8	4
1.ª preferência	X	Y	Z	W
2.ª preferência	Y	Z	Y	Z
3.ª preferência	Z	W	W	Y
4.ª preferência	W	X	X	X

2.1. Fácil (12 pontos) Indique a proposta vencedora pelo método da maioria simples e verifique se tem maioria absoluta.

2.2. Médio (14 pontos) Determine a proposta vencedora pelo método de Borda, atribuindo $4$ , $3$ , $2$ e $1$ pontos, respetivamente, às 1.ª, 2.ª, 3.ª e 4.ª preferências.

Resolução

2.1.

Primeiras preferências: X $14$ , Y $10$ , Z $8$ , W $4$ .

A maioria absoluta exige mais de $18$ votos; nenhuma proposta a obtém.

Pelo método da maioria simples vence X, com $14$ votos, sem maioria absoluta.

2.2.

X: $14 \times 4 + 10 \times 1 + 8 \times 1 + 4 \times 1 = 78$ .

Y: $14 \times 3 + 10 \times 4 + 8 \times 3 + 4 \times 2 = 114$ .

Z: $14 \times 2 + 10 \times 3 + 8 \times 4 + 4 \times 3 = 102$ .

W: $14 \times 1 + 10 \times 2 + 8 \times 2 + 4 \times 4 = 66$ .

Verificação: $78 + 114 + 102 + 66 = 360 = 36 \times 10$ .

Pelo método de Borda vence a proposta Y ( $114$ pontos).

3Médio (14 pontos) Considere de novo a votação do item 2.
Um dos membros do clube afirmou: «A proposta X, vencedora pelo método da maioria simples, perderia contra qualquer uma das outras propostas, se a votação fosse feita só entre as duas.» Mostre que esta afirmação é verdadeira e comente o que ela revela sobre o método da maioria simples.

Resolução

Num confronto direto entre X e outra proposta, cada membro vota na que coloca mais acima.

Os $14$ membros da 1.ª coluna colocam X em 1.º lugar, logo votam sempre em X.

Nas restantes colunas ( $10 + 8 + 4 = 22$ membros), X está em último lugar, logo estes votam sempre na outra proposta.

Assim, X perde contra Y, contra Z e contra W, sempre por $22$ votos contra $14$ .

A afirmação é verdadeira. O método da maioria simples só considera as primeiras preferências e pode eleger uma opção rejeitada pela maioria ( $22$ em $36$ membros colocam X em último lugar).

4Fácil (12 pontos) Num círculo eleitoral que elege $12$ deputados, um partido obteve $18 %$ dos votos válidos.
Qual é a quota-padrão (quota exata) desse partido?

(A) $2,16$

(B) $1,8$

(C) $2$

(D) $0,216$

Resolução

A quota-padrão é a parte proporcional dos lugares: percentagem de votos $\times$ número de lugares.

$0,18 \times 12 = 2,16$ .

O partido deveria ter, por proporcionalidade exata, $2,16$ lugares; a quota não é necessariamente um número inteiro.

Opção (A)

5Médio Num círculo eleitoral que elege $8$ deputados, cinco partidos obtiveram os votos apresentados na tabela.

Partido	A	B	C	D	E
N.º de votos	41 200	30 600	14 900	8300	5000

5.1. Médio (14 pontos) Determine a distribuição dos mandatos pelo método de Sainte-Laguë.

5.2. Médio (14 pontos) Diz-se que uma distribuição respeita a regra da quota se cada partido recebe um número de mandatos igual à sua quota-padrão arredondada por defeito ou por excesso. Calcule a quota-padrão de cada partido e verifique se a distribuição obtida em 5.1 respeita a regra da quota.

Resolução

5.1.

Divide-se o número de votos de cada partido por $1, 3, 5, 7$ (a negrito os eleitos):

A: $41 200; 13 733, 3; 8240; 5885,7$
B: $30 600; 10 200; 6120; 4371,4$
C: $14 900; 4966,7; 2980; 2128,6$
D: $8300; 2766,7; 1660; 1185,7$
E: $5000; 1666,7; 1000; 714,3$

Os oito maiores quocientes são: $41 200$ (A), $30 600$ (B), $14 900$ (C), $13 733,3$ (A), $10 200$ (B), $8300$ (D), $8240$ (A), $6120$ (B).

O quociente seguinte, $5885,7$ (A), já não é eleito.

A: 3; B: 3; C: 1; D: 1; E: 0.

5.2.

Total de votos: $41 200 + 30 600 + 14 900 + 8300 + 5000 = 100 000$ .

Quota-padrão $= \frac{votos}{100 000} \times 8$ : A $3,296$ ; B $2,448$ ; C $1,192$ ; D $0,664$ ; E $0,4$ .

A: $3 \in {3, 4}$ ; B: $3 \in {2, 3}$ ; C: $1 \in {1, 2}$ ; D: $1 \in {0, 1}$ ; E: $0 \in {0, 1}$ .

Todos os partidos recebem a sua quota arredondada por defeito ou por excesso: a distribuição respeita a regra da quota.

6Médio (12 pontos) O preço de um artigo aumentou $25 %$ , passando a custar $60$ €.
Que desconto percentual se deve aplicar ao novo preço para que o artigo volte a custar o mesmo que antes do aumento?

(A) $25 %$

(B) $20 %$

(C) $12,5 %$

(D) $80 %$

Resolução

Preço inicial: $\frac{60}{1,25} = 48$ €.

Desconto necessário: $60 - 48 = 12$ €, que corresponde a $\frac{12}{60} = 0,20$ do novo preço.

O desconto é de $20 %$ (e não $25 %$ , porque incide sobre um valor maior).

Opção (B)

7Médio Nas tabelas de retenção na fonte de IRS atuais, o valor a reter obtém-se multiplicando o salário bruto mensal, $R$ , pela taxa marginal do escalão e subtraindo uma parcela a abater. Considere a tabela seguinte (simplificada, com valores fictícios).

Salário bruto mensal, R (€)	Taxa marginal	Parcela a abater (€)
até 900,00	0 %	0,00
de 900,01 a 1300,00	15 %	135,00
de 1300,01 a 1800,00	25 %	265,00
de 1800,01 a 2500,00	32 %	391,00

Considere ainda que o desconto para a Segurança Social é de $11 %$ do salário bruto.

7.1. Fácil (12 pontos) A Inês tem um salário bruto mensal de $1600$ €. Determine o seu salário líquido.

7.2. Médio (14 pontos) Chama-se taxa efetiva de retenção ao quociente entre o valor retido e o salário bruto. Mostre que, no 3.º escalão, a taxa efetiva é dada por $t (R) = 0,25 - \frac{265}{R}$ e determine o salário bruto, nesse escalão, a que corresponde uma taxa efetiva de $10 %$ . Apresente o resultado em euros, arredondado aos cêntimos.

Resolução

7.1.

Segurança Social: $0,11 \times 1600 = 176$ €.

$1600$ € está no 3.º escalão: retenção de IRS $= 1600 \times 0,25 - 265 = 400 - 265 = 135$ €.

Salário líquido: $1600 - 176 - 135 = 1289$ €.

O salário líquido da Inês é $1289$ €.

7.2.

No 3.º escalão, o valor retido é $0,25 R - 265$ .

Taxa efetiva: $t (R) = \frac{0,25 R - 265}{R} = 0,25 - \frac{265}{R}$ , como se queria mostrar.

$t (R) = 0,10$ ⇔ $0,25 - \frac{265}{R} = 0,10$ ⇔ $\frac{265}{R} = 0,15$ ⇔ $R = \frac{265}{0,15}$ .

$R \approx 1766,67$ , que pertence ao 3.º escalão (entre $1300,01$ e $1800$ €).

A taxa efetiva é $10 %$ para um salário bruto de $1766,67$ €.

8Médio (12 pontos) Aplicaram-se $1000$ € a juro composto, à taxa anual nominal de $6 %$ , com capitalização mensal.
Qual é o capital acumulado ao fim de um ano, arredondado aos cêntimos?

(A) $1060,00$ €

(B) $1061,36$ €

(C) $1061,68$ €

(D) $2012,20$ €

Resolução

Com capitalização mensal, a taxa mensal é $\frac{6 %}{12} = 0,5 %$ e há $12$ capitalizações num ano.

$C = 1000 \times 1, 005^{12} \approx 1061,68$ €.

$1060$ € corresponde a juro simples; $1061,36$ € a capitalização trimestral; $2012,20$ € resulta de usar $6 %$ ao mês.

Opção (C)

9Médio (16 pontos) O Duarte depositou $3000$ € numa conta a prazo, em regime de juro composto, à taxa anual nominal de $4,8 %$ , com capitalização trimestral. Não fez outros movimentos.
Determine a taxa de juro trimestral e, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o número mínimo de trimestres necessários para que o capital acumulado ultrapasse $3500$ €. Na sua resposta, reproduza o(s) gráfico(s) visualizado(s) e assinale o(s) ponto(s) relevante(s).

Resolução

Taxa trimestral: $\frac{4,8 %}{4} = 1,2 %$ .

Capital ao fim de $n$ trimestres: $C (n) = 3000 \times 1, 012^{n}$ .

Representam-se $y = 3000 \times 1, 012^{x}$ e $y = 3500$ , por exemplo na janela $[0; 20] \times [2900; 3700]$ .

O ponto de interseção tem abcissa $x \approx 12,92$ .

Como $C (12) \approx 3461,68 < 3500$ e $C (13) \approx 3503,22 > 3500$ , são necessários $13$ trimestres.

Taxa trimestral: $1,2 %$ ; número mínimo de trimestres: $13$ .

10Médio (12 pontos) A Sara pediu um empréstimo de $1000$ €, a liquidar numa única prestação de $1080$ €, um ano depois. No momento do empréstimo pagou uma comissão de abertura de $20$ €.
Qual é, aproximadamente, a taxa anual de encargos efetiva global (TAEG) deste crédito?

(A) $8 %$

(B) $8,16 %$

(C) $10 %$

(D) $10,20 %$

Resolução

A TAEG inclui todos os encargos (juros e comissões). Como paga $20$ € de comissão, a Sara dispõe efetivamente de $1000 - 20 = 980$ €.

Um ano depois paga $1080$ €: $980 (1 + i) = 1080$ .

$i = \frac{1080}{980} - 1 \approx 0,1020$ , ou seja, cerca de $10,20 %$ .

$8 %$ ignora a comissão; $10 %$ soma a comissão ao juro sem a descontar ao capital disponível.

Opção (D)

11Médio (16 pontos) Um banco anuncia um cartão de crédito em que a dívida em atraso é capitalizada mensalmente à taxa de juro mensal de $1,5 %$ . Outro banco anuncia um cartão com TAEG de $18,9 %$ , sem outros encargos.
Mostre que a taxa anual efetiva do primeiro cartão é superior a $19 %$ e indique, justificando, qual dos cartões é mais vantajoso para o cliente.

Resolução

Uma dívida $D$ capitalizada mensalmente à taxa de $1,5 %$ passa, ao fim de $12$ meses, a $D \times 1, 015^{12}$ .

$1, 015^{12} \approx 1,1956$ ; a taxa anual efetiva é $1, 015^{12} - 1 \approx 0,1956$ , isto é, cerca de $19,56 %$ .

Como $19,56 % > 19 %$ , fica provado o pretendido.

Note-se que multiplicar a taxa mensal por $12$ daria apenas $18 %$ : com capitalização, os juros também rendem juros.

O segundo cartão é mais vantajoso, porque a sua TAEG ( $18,9 %$ ) é inferior à taxa anual efetiva do primeiro (cerca de $19,56 %$ ).

12Difícil (14 pontos) O Rui pediu um crédito pessoal de $2000$ €, à taxa de juro anual de $7 %$ , em regime de juro composto, a pagar de uma só vez ao fim de $2$ anos. No momento da contratação, pagou ainda uma comissão de $50$ €.
Determine a TAEG deste crédito. Apresente o resultado em percentagem, arredondado às centésimas.

Resolução

Valor a pagar ao fim de $2$ anos: $2000 \times 1, 07^{2} = 2289,80$ €.

Montante de que o Rui dispõe efetivamente: $2000 - 50 = 1950$ €.

A TAEG é a taxa anual $i$ tal que $1950 (1 + i)^{2} = 2289,80$ .

$(1 + i)^{2} = \frac{2289,80}{1950} \approx 1,17426$ , logo $1 + i = \sqrt{1,17426} \approx 1,08363$ (com $1 + i > 0$ ).

TAEG $\approx 8,36 %$ , superior à taxa de juro de $7 %$ por causa da comissão.

Cotações

Item	1	2.1	2.2	3	4	5.1	5.2	6
Cotação (pontos)	12	12	14	14	12	14	14	12
Dificuldade
Tipo	EM	RA	RA	RA	EM	RA	RA	EM

Item	7.1	7.2	8	9	10	11	12	Total
Cotação (pontos)	12	14	12	16	12	16	14	200
Dificuldade
Tipo	RA	RA	EM	RA	EM	RA	RA

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 5 itens – 60 pontos

Resposta aberta: 10 itens – 140 pontos

Por grau de dificuldade

Fácil 3 itens – 36 pontos

Médio 11 itens – 150 pontos

Difícil 1 itens – 14 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

Teste nº4 – Quotas, Borda e crédito

Teste nº4

10.º ano – Matemática A – Tema 1 (Modelos matemáticos para a cidadania)

Cotações

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