Teste nº6 – Decidir com números

Cada votante distribui $3+2+1=6$ pontos; no total são distribuídos $45\times 6=270$ pontos.

C obteve $270-100-92=78$ pontos.

$33$ resulta de usar $45\times (2+1)=135$ como total, ignorando o 1.º lugar; $170$ esquece os pontos de B.

Opção (B)

2.1.

A tem $11$ primeiras preferências em $21$; como $11>\mathrm{10,5}$, tem maioria absoluta.

Borda: A $11\times 3+10\times 1=43$; B $11\times 2+10\times 3=52$; C $11\times 1+10\times 2=31$.

B tem mais pontos ($52>43$).

A tem maioria absoluta das primeiras preferências, mas o método de Borda elege B.

2.2.

A: $11\times 4+10\times 2=64$.

B: $11\times 2+10\times 4=62$.

C: $11\times 1+10\times 3=41$; D: $11\times 3+10\times 1=43$.

Vence A ($64$ pontos), embora D fique em 2.º lugar sem vencer.

Comentário: nenhum sócio mudou a sua preferência entre A e B, mas a entrada de D, colocado entre A e B pelo primeiro grupo, aumentou a distância de pontos entre A e B nesse grupo e trocou o vencedor. O método de Borda é sensível à introdução de candidatos «irrelevantes», o que permite manipular o resultado; em contrapartida, valoriza candidatos de consenso.

Sejam $a$ e $b$ as percentagens de votos de A e B, com $a+b=100$. Quocientes de A: $a,{\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{a}{3}}$; de B: $b,{\displaystyle \frac{b}{2}},\dots$

A elege os três deputados se o seu 3.º quociente superar o 1.º de B: ${\displaystyle \frac{a}{3}}>b=100-a$.

$a>300-3a$ ⇔ $4a>300$ ⇔ $a>75$.

Por exemplo, com $70\%$, os quocientes $70,35,30$ (B), $\mathrm{23,3}$ dão a A só $2$ deputados.

Opção (D)

4.1.

Separados (a negrito os eleitos):

A: $\mathbf{23}\mathbf{000};\mathbf{11}\mathbf{500};\mathbf{7666}\mathbf{,}\mathbf{7};\mathbf{5750};4600$
B: $\mathbf{16}\mathbf{100};\mathbf{8050};\mathbf{5366}\mathbf{,}\mathbf{7};4025;3220$
C: $\mathbf{10}\mathbf{500};5250;3500;2625;2100$
D: $3600;1800;1200;900;720$

Eleitos: $23000$ (A), $16100$ (B), $11500$ (A), $10500$ (C), $8050$ (B), $\mathrm{7666,7}$ (A), $5750$ (A), $\mathrm{5366,7}$ (B). Separados: A 4, B 3, C 1, D 0.

Coligados:

A: $\mathbf{23}\mathbf{000};\mathbf{11}\mathbf{500};\mathbf{7666}\mathbf{,}\mathbf{7};\mathbf{5750};4600$
B: $\mathbf{16}\mathbf{100};\mathbf{8050};\mathrm{5366,7};4025;3220$
C+D: $\mathbf{14}\mathbf{100};\mathbf{7050};4700;3525;2820$

Eleitos: $23000$ (A), $16100$ (B), $14100$ (C+D), $11500$ (A), $8050$ (B), $\mathrm{7666,7}$ (A), $7050$ (C+D), $5750$ (A). A 4, B 2, C+D 2.

Com o método de Hondt, a coligação ganha: $2$ mandatos contra $1+0=1$.

4.2.

Separados, com divisores $1,3,5,7$:

A: $\mathbf{23}\mathbf{000};\mathbf{7666}\mathbf{,}\mathbf{7};\mathbf{4600};\mathrm{3285,7}$
B: $\mathbf{16}\mathbf{100};\mathbf{5366}\mathbf{,}\mathbf{7};3220;2300$
C: $\mathbf{10}\mathbf{500};\mathbf{3500};2100;1500$
D: $\mathbf{3600};1200;720;\mathrm{514,3}$

Eleitos: $23000$ (A), $16100$ (B), $10500$ (C), $\mathrm{7666,7}$ (A), $\mathrm{5366,7}$ (B), $4600$ (A), $3600$ (D), $3500$ (C). Separados: A 3, B 2, C 2, D 1, ou seja, C e D têm $3$ mandatos.

Coligados:

A: $\mathbf{23}\mathbf{000};\mathbf{7666}\mathbf{,}\mathbf{7};\mathbf{4600};\mathbf{3285}\mathbf{,}\mathbf{7}$
B: $\mathbf{16}\mathbf{100};\mathbf{5366}\mathbf{,}\mathbf{7};3220;2300$
C+D: $\mathbf{14}\mathbf{100};\mathbf{4700};2820;\mathrm{2014,3}$

Eleitos: $23000$ (A), $16100$ (B), $14100$ (C+D), $\mathrm{7666,7}$ (A), $\mathrm{5366,7}$ (B), $4700$ (C+D), $4600$ (A), $\mathrm{3285,7}$ (A). A 4, B 2, C+D 2.

Com Sainte-Laguë, a coligação teria $2$ mandatos, menos do que os $3$ que C e D obtêm separados.

Comentário: o método de Hondt favorece os partidos com mais votos e, por isso, incentiva as coligações; o de Sainte-Laguë, mais próximo da proporcionalidade, trata melhor os partidos pequenos e retira essa vantagem.

Total de votos: $100000$; A tem $\mathrm{45,9}\%$ dos votos, menos de metade.

Hondt (divisores $1,2,3,\dots$): os $11$ maiores quocientes são $45900$ (A), $29300$ (B), $22950$ (A), $15300$ (A), $14650$ (B), $13700$ (C), $11475$ (A), $11100$ (D), $\mathrm{9766,7}$ (B), $9180$ (A), $7650$ (A).

A obtém $6$ lugares em $11$ (mais de metade): maioria absoluta dos lugares. O quociente seguinte seria $\mathrm{7325,0}$ (B).

Sainte-Laguë (divisores $1,3,5,\dots$): os $11$ maiores quocientes são $45900$ (A), $29300$ (B), $15300$ (A), $13700$ (C), $11100$ (D), $\mathrm{9766,7}$ (B), $9180$ (A), $\mathrm{6557,1}$ (A), $5860$ (B), $5100$ (A), $\mathrm{4566,7}$ (C).

Com Sainte-Laguë, A obtém apenas $5$ lugares (A 5, B 3, C 2, D 1), sem maioria absoluta.

Com Hondt, A tem maioria absoluta de lugares ($6$ em $11$) com $\mathrm{45,9}\%$ dos votos; com Sainte-Laguë, isso não acontece.

Cada prestação: ${\displaystyle \frac{21000}{14}}=1500$ €.

Desconto: $\mathrm{0,11}\times 1500=165$ €.

$\mathrm{192,50}$ € resulta de dividir por $12$; $2310$ € é o desconto anual; $1500$ € é a prestação.

Opção (A)

7.1.

Descontos totais na proposta A: $11\%+\mathrm{11,6}\%=\mathrm{22,6}\%$ do salário bruto.

Salário líquido: $1450\times (1-\mathrm{0,226})=1450\times \mathrm{0,774}$.

$1450\times \mathrm{0,774}=\mathrm{1122,30}$ €, como se queria mostrar.

7.2.

Proposta A: $\mathrm{1122,30}\times 14=15\mathrm{712,20}$ € por ano.

Proposta B: líquido mensal $1650\times (1-\mathrm{0,11}-\mathrm{0,139})=1650\times \mathrm{0,751}=\mathrm{1239,15}$ €; anual $\mathrm{1239,15}\times 12=14\mathrm{869,80}$ €.

Apesar do salário mensal mais alto, a proposta B rende menos $\mathrm{842,40}$ € por ano.

Condição: $12\times \mathrm{0,751}b\ge 15\mathrm{712,20}$ ⇔ $b\ge {\displaystyle \frac{15\mathrm{712,20}}{\mathrm{9,012}}}\approx \mathrm{1743,4754}$.

O salário bruto mensal da proposta B teria de ser, no mínimo, $\mathrm{1743,48}$ € (arredondando por excesso, para garantir a condição).

Seja $q$ o fator anual. Duplicar em $12$ anos significa $q^{12}=2$.

Então $q^{24}=(q^{12}{)}^2=2^2=4$.

O capital quadruplica ao fim de $24$ anos ($48$ anos resultaria de pensar que quadruplicar exige quatro vezes mais tempo).

Opção (B)

Com capitalização semestral, a taxa semestral é ${\displaystyle \frac{r}{2}}$ e, em $3$ anos, há $6$ capitalizações.

$5000{(1+{\displaystyle \frac{r}{2}})}^6=\mathrm{5467,22}⟺{(1+{\displaystyle \frac{r}{2}})}^6=\mathrm{1,093444}$.

$1+{\displaystyle \frac{r}{2}}=\sqrt[6]{\mathrm{1,093444}}\approx \mathrm{1,01500}$, logo ${\displaystyle \frac{r}{2}}\approx \mathrm{0,015}$ e $r\approx \mathrm{0,030}$.

Taxa anual efetiva: $1,{015}^2-1=\mathrm{0,030225}$.

$r\approx \mathrm{3,0}\%$; taxa anual efetiva $\approx \mathrm{3,02}\%$.

Em seis meses o capital é multiplicado por ${\displaystyle \frac{540}{500}}=\mathrm{1,08}$.

Num ano (dois semestres), o fator é $1,{08}^2=\mathrm{1,1664}$.

TAEG $=\mathrm{1,1664}-1=\mathrm{0,1664}$, isto é, $\mathrm{16,64}\%$. ($16\%$ seria a taxa nominal, que ignora a capitalização; $8\%$ é a taxa semestral.)

Opção (C)

a) Pronto pagamento: $990\times (1-\mathrm{0,04})=990\times \mathrm{0,96}=\mathrm{950,40}$ €.

Quem paga a prestações recebe hoje um bem de $\mathrm{950,40}$ € e paga $330$ € ao fim de $1$, $2$ e $3$ meses; com a taxa mensal $i$, os valores atuais das prestações são ${\displaystyle \frac{330}{1+i}},{\displaystyle \frac{330}{(1+i{)}^2}},{\displaystyle \frac{330}{(1+i{)}^3}}$.

Igualando ao valor recebido e fazendo $x={\displaystyle \frac{1}{1+i}}$: $330(x+x^2+x^3)=\mathrm{950,40}$.

b) Representam-se $y=330(x+x^2+x^3)$ e $y=\mathrm{950,40}$, por exemplo na janela $[\mathrm{0,9};1]\times [850;1000]$; o ponto de interseção tem abcissa $x\approx \mathrm{0,9797}$.

$1+i={\displaystyle \frac{1}{x}}\approx \mathrm{1,0207}$, logo $i\approx \mathrm{2,07}\%$ ao mês.

TAEG $=(1+i{)}^{12}-1\approx \mathrm{0,279}$. $i\approx \mathrm{2,07}\%$; TAEG $\approx \mathrm{27,9}\%$.

Comentário: o pagamento «sem juros» esconde um custo, porque se perde o desconto de $\mathrm{39,60}$ €; esse custo corresponde a uma TAEG muito elevada.

Necessidades: $700+420+160+70=1350$ €, ou seja, ${\displaystyle \frac{1350}{2500}}=54\%>50\%$.

Desejos: $380+250+170=800$ €, ou seja, ${\displaystyle \frac{800}{2500}}=32\%>30\%$.

Poupança: $2500-1350-800=350$ €, ou seja, $14\%<20\%$. Nenhuma recomendação é cumprida.

Para poupar $20\%$: $\mathrm{0,20}\times 2500=500$ €; a redução mínima dos desejos é $500-350=150$ €.

Os desejos passam a $800-150=650$ €, isto é, ${\displaystyle \frac{650}{2500}}=26\%\le 30\%$.

Redução mínima: $150$ €; a recomendação dos desejos passa a ser cumprida ($26\%$), mas a das necessidades continua a não o ser ($54\%$).