Teste nº3

Dispersão, percentis e regressão

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

Grau de dificuldade do teste: Médio

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 14 itens cotados (5 de escolha múltipla, 9 de resposta aberta)

Fácil 12

Médio 172

Difícil 16

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Fácil (12 pontos) Pretende-se estudar o tempo diário que os jovens portugueses com idades entre os $15$ e os $18$ anos dedicam ao estudo. Qual das amostras seguintes é a mais adequada para esse estudo?

(A) Os alunos de uma turma do 11.º ano de uma escola de Lisboa.

(B) $500$ jovens dos $15$ aos $18$ anos, escolhidos aleatoriamente em todos os distritos e regiões autónomas.

(C) Os jovens que responderem voluntariamente a um inquérito publicado numa rede social.

(D) Os $20$ melhores alunos de cada escola secundária do país.

Resolução

Uma amostra deve ser representativa da população: todos os jovens dos $15$ aos $18$ anos devem ter possibilidade de ser escolhidos.

(A) Amostra pequena e concentrada numa só escola e região: não representa o país.

(C) Amostra de resposta voluntária: só respondem os mais interessados (enviesamento). (D) Escolher os melhores alunos enviesa o tempo de estudo para cima.

(B) Seleção aleatória e abrangendo todo o território: é a mais representativa.

Opção (B) – amostra aleatória e abrangente, logo representativa.

2Médio (14 pontos) Perguntou-se a $40$ famílias de um bairro quantos animais de estimação têm. A tabela seguinte apresenta as frequências relativas obtidas, sendo $a$ e $b$ números reais.

Número de animais	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Frequência relativa	$0,30$	$a$	$0,20$	$b$	$0,05$

Sabe-se que a frequência relativa acumulada correspondente a $1$ animal é $0,65$ .
Determine $a$ , $b$ , o número de famílias com exatamente $3$ animais e a mediana do número de animais por família.

Resolução

A frequência relativa acumulada de $1$ é $0,30 + a = 0,65$ , logo $a = 0,35$ .

A soma das frequências relativas é $1$ : $0,30 + 0,35 + 0,20 + b + 0,05 = 1 \Leftrightarrow b = 0,10$ .

Famílias com $3$ animais: $0,10 \times 40 = 4$ .

Frequências relativas acumuladas: $0,30; 0,65; 0,85; 0,95; 1$ . Os dados de ordem $20$ e $21$ correspondem a $1$ animal (pois $12 < 20$ e $21 \leq 26$ ).

Logo a mediana é $\frac{1 + 1}{2} = 1$ .

$a = 0,35$ , $b = 0,10$ ; $4$ famílias; mediana $= 1$ animal.

3Médio (16 pontos) As classificações (de $0$ a $20$ ) obtidas por $20$ alunos num teste de Físico-Química, ordenadas, foram:

6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 17, 18, 19

A professora decidiu atribuir um prémio aos alunos cuja classificação fosse superior ao percentil de ordem $90$ e propor apoio aos alunos com classificação não superior ao percentil de ordem $33$ .
Determine $P_{33}$ e $P_{90}$ e indique quantos alunos recebem prémio e quantos recebem proposta de apoio.

Resolução

Para o percentil de ordem $k$ de $n$ dados ordenados calcula-se $\frac{n k}{100}$ : se for inteiro, $P_{k}$ é a média dos dados dessa ordem e da seguinte; caso contrário, $P_{k}$ é o dado de ordem igual ao inteiro imediatamente superior.

$P_{33}$ : $\frac{20 \times 33}{100} = 6,6$ , não inteiro; logo $P_{33} = x_{(7)} = 11$ .

$P_{90}$ : $\frac{20 \times 90}{100} = 18$ , inteiro; logo $P_{90} = \frac{x_{(18)} + x_{(19)}}{2} = \frac{17 + 18}{2} = 17,5$ .

Classificações superiores a $17,5$ : $18$ e $19$ , ou seja, $2$ alunos ( $10 %$ dos alunos).

Classificações não superiores a $11$ : $6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 11$ , ou seja, $8$ alunos.

$P_{33} = 11$ e $P_{90} = 17,5$ ; $2$ alunos recebem prémio e $8$ recebem proposta de apoio.

4Médio (12 pontos) Um conjunto de dados $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ tem média $12$ e desvio-padrão $3$ . Considere os dados $y_{i} = - 2 x_{i} + 5$ , com $i \in {1, \dots, n}$ .
Quais são a média e o desvio-padrão dos dados $y_{i}$ ?

(A) $\bar{y} = - 19$ e $s_{y} = - 6$

(B) $\bar{y} = - 19$ e $s_{y} = 6$

(C) $\bar{y} = - 19$ e $s_{y} = - 1$

(D) $\bar{y} = - 24$ e $s_{y} = 6$

Resolução

Se $y_{i} = a x_{i} + b$ , então $\bar{y} = a \bar{x} + b$ e $s_{y} = | a | s_{x}$ .

$\bar{y} = - 2 \times 12 + 5 = - 19$ .

$s_{y} = | - 2 | \times 3 = 6$ (o desvio-padrão nunca é negativo e não depende de $b$ ), o que exclui (A) e (C); (D) esquece a parcela $5$ na média.

Opção (B) – $\bar{y} = - 19$ e $s_{y} = 6$ .

5Médio O histograma seguinte representa a distribuição dos tempos de espera, em minutos, de 60 utentes de um centro de saúde, numa manhã.

5.1. Médio (14 pontos) Recorrendo às marcas das classes e às capacidades estatísticas da calculadora, estime a média e o desvio-padrão dos tempos de espera. Apresente os resultados arredondados às décimas.

5.2. Médio (16 pontos) Admitindo que, em cada classe, os tempos se distribuem uniformemente, estime a percentagem de utentes que esperaram menos de $25$ minutos. Indique, justificando, a classe a que pertence a mediana.

Resolução

5.1.

Frequências lidas: $6, 14, 20, 12, 6, 2$ (total $60$ ); marcas das classes: $5, 15, 25, 35, 45, 55$ .

Na calculadora, introduzem-se as marcas numa lista e as frequências noutra (como frequências absolutas) e calculam-se as estatísticas.

$\bar{x} \approx \frac{5 \times 6 + 15 \times 14 + 25 \times 20 + 35 \times 12 + 45 \times 6 + 55 \times 2}{60} = \frac{1540}{60} \approx 25,67$ .

Desvio-padrão (amostral): $s \approx 12,47$ .

$\bar{x} \approx 25,7$ min e $s \approx 12,5$ min.

5.2.

Menos de $20$ minutos: $6 + 14 = 20$ utentes.

A classe $[20, 30 [$ tem $20$ utentes; com distribuição uniforme, metade (cerca de $10$ ) esperou menos de $25$ minutos.

Total estimado: $20 + 10 = 30$ utentes, ou seja, $\frac{30}{60} = 50 %$ .

Frequências absolutas acumuladas: $6, 20, 40, 52, 58, 60$ . A mediana corresponde à média dos dados de ordem $30$ e $31$ , e $20 < 30 < 31 \leq 40$ .

Cerca de $50 %$ dos utentes; a mediana pertence à classe $[20, 30 [$ .

6Médio (18 pontos) Uma loja registou o número de bicicletas vendidas em cada um de $15$ meses consecutivos. Os valores, por ordem crescente, foram:

42, 45, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 55, 56, 58, 60, 61, 63, 95

Verifique, usando o critério $1,5 \times AIQ$ , que existe exatamente um outlier e estude o efeito da sua remoção na média e na mediana. Apresente a média arredondada às centésimas e comente qual das duas medidas é mais resistente a valores extremos.

Resolução

$n = 15$ (ímpar): mediana $= x_{(8)} = 53$ . Metade inferior $42, \dots, 52$ ( $7$ dados): $Q_{1} = x_{(4)} = 48$ ; metade superior $55, \dots, 95$ : $Q_{3} = x_{(12)} = 60$ .

$AIQ = 60 - 48 = 12$ ; limites: $48 - 1,5 \times 12 = 30$ e $60 + 1,5 \times 12 = 78$ .

O único valor fora de $[30, 78]$ é $95$ (pois $95 > 78$ ): é o único outlier.

Com o outlier: $\bar{x} = \frac{836}{15} \approx 55,73$ e $\tilde{x} = 53$ .

Sem o outlier ( $n = 14$ ): $\bar{x} = \frac{741}{14} \approx 52,93$ e $\tilde{x} = \frac{x_{(7)} + x_{(8)}}{2} = \frac{52 + 53}{2} = 52,5$ .

A média desceu cerca de $2,8$ unidades, enquanto a mediana só desceu $0,5$ : a mediana é mais resistente a valores extremos.

O outlier é $95$ ; a média passa de $55,73$ para $52,93$ e a mediana de $53$ para $52,5$ ; a mediana é mais resistente.

7Médio (12 pontos) Num conjunto de dados, o primeiro quartil é $24$ e o terceiro quartil é $36$ . Usando o critério $1,5 \times AIQ$ , qual dos valores seguintes, se pertencesse ao conjunto, seria considerado outlier?

(A) $54$

(B) $6$

(C) $55$

(D) $8$

Resolução

$AIQ = 36 - 24 = 12$ e $1,5 \times 12 = 18$ .

Limite inferior: $24 - 18 = 6$ ; limite superior: $36 + 18 = 54$ .

São outliers os valores menores do que $6$ ou maiores do que $54$ ; $54$ e $6$ coincidem com os limites e $8$ está dentro do intervalo $[6, 54]$ .

Apenas $55 > 54$ é outlier.

Opção (C) – $55$ é superior a $Q_{3} + 1,5 \times AIQ = 54$ .

8Médio (16 pontos) Um conjunto de $n$ dados tem média $\bar{x}$ . Acrescenta-se ao conjunto um novo dado, $c$ .
Mostre que a nova média é $\frac{n \bar{x} + c}{n + 1}$ e que esta é superior a $\bar{x}$ se e só se $c > \bar{x}$ .

Resolução

Como $\bar{x} = \frac{x_{1} + \dots + x_{n}}{n}$ , a soma dos $n$ dados é $x_{1} + \dots + x_{n} = n \bar{x}$ .

Depois de acrescentar $c$ , há $n + 1$ dados de soma $n \bar{x} + c$ ; logo a nova média é ${\bar{x}}^{'} = \frac{n \bar{x} + c}{n + 1}$ .

${\bar{x}}^{'} > \bar{x} \Leftrightarrow \frac{n \bar{x} + c}{n + 1} > \bar{x} \Leftrightarrow n \bar{x} + c > (n + 1) \bar{x}$ (pois $n + 1 > 0$ ).

$\Leftrightarrow n \bar{x} + c > n \bar{x} + \bar{x} \Leftrightarrow c > \bar{x}$ .

A nova média é $\frac{n \bar{x} + c}{n + 1}$ e é superior a $\bar{x}$ se e só se $c > \bar{x}$ , como se queria mostrar.

9Médio A tabela seguinte apresenta a idade $x$ , em anos, e o preço de venda $y$ , em milhares de euros, de oito automóveis usados do mesmo modelo, anunciados num site.

$x$ (anos)	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$7$	$8$	$10$
$y$ (milhares de €)	$21,5$	$19,8$	$18,0$	$16,9$	$15,1$	$12,2$	$11,0$	$8,1$

9.1. Médio (14 pontos) Recorrendo à calculadora, determine a equação da reta de regressão de $y$ sobre $x$ (coeficientes arredondados às centésimas) e o coeficiente de correlação linear (arredondado às milésimas). Interprete, no contexto, o declive da reta.

9.2. Médio (16 pontos) Utilize a reta obtida para estimar o preço de um automóvel deste modelo com $6$ anos e de outro com $25$ anos. Comente a fiabilidade de cada estimativa.

Resolução

9.1.

Introduzem-se as idades numa lista e os preços noutra e efetua-se a regressão linear.

Obtém-se $y = - 1,48 x + 22,71$ e $r \approx - 0,999$ .

O valor de $r$ , muito próximo de $- 1$ , indica uma associação linear negativa muito forte entre a idade e o preço.

Declive $- 1,48$ : por cada ano a mais de idade, o preço estimado diminui, em média, cerca de $1,48$ milhares de euros (cerca de $1480$ €).

$y = - 1,48 x + 22,71$ ; $r \approx - 0,999$ ; o preço desce, em média, cerca de $1,48$ milhares de euros por ano.

9.2.

Para $x = 6$ : $y = - 1,48 \times 6 + 22,71 = 13,83$ , ou seja, cerca de $13 830$ euros.

Como $6 \in [1, 10]$ , trata-se de uma interpolação; sendo $| r |$ muito próximo de $1$ , a estimativa é fiável.

Para $x = 25$ : $y = - 1,48 \times 25 + 22,71 = - 14,29$ , um preço negativo, o que não tem significado.

$25$ está muito fora do intervalo dos dados observados (extrapolação): nada garante que a relação linear se mantenha (aliás, a reta anula-se para $x \approx 15,3$ ).

Cerca de $13,83$ milhares de euros (estimativa fiável); para $25$ anos a estimativa ( $- 14,29$ ) não é válida por se tratar de uma extrapolação.

10Médio (12 pontos) Num estudo sobre $50$ cidades europeias, obteve-se um coeficiente de correlação linear $r = - 0,87$ entre a altitude média da cidade e a temperatura média anual. Qual das afirmações seguintes é a interpretação correta deste valor?

(A) Existe uma associação linear negativa forte entre a altitude e a temperatura.

(B) Existe uma associação linear negativa fraca entre a altitude e a temperatura.

(C) $87 %$ dos pontos do diagrama de dispersão estão sobre a reta de regressão.

(D) Por cada metro de altitude, a temperatura diminui $0,87$ graus.

Resolução

O sinal de $r$ indica o sentido da associação: $r < 0$ , associação negativa (à maior altitude tende a corresponder menor temperatura).

$| r | = 0,87$ é próximo de $1$ , logo a associação linear é forte; exclui-se (B).

$r$ não é uma percentagem de pontos sobre a reta (C), nem é o declive da reta de regressão (D).

Opção (A) – associação linear negativa forte.

11Difícil (16 pontos) Os cinco dados $2, 6, a, b, 14$ estão ordenados por ordem crescente. Sabe-se que a mediana é $7$ e a média é $8$ .
Determine $a$ e $b$ e, em seguida, o desvio-padrão do conjunto, apresentando o resultado arredondado às centésimas.

Resolução

Com $5$ dados ordenados, a mediana é o $3 .^{\circ}$ dado: $a = 7$ .

Média $8$ : $\frac{2 + 6 + 7 + b + 14}{5} = 8 \Leftrightarrow 29 + b = 40 \Leftrightarrow b = 11$ (e verifica-se $7 \leq 11 \leq 14$ ).

Desvios em relação à média: $- 6, - 2, - 1, 3, 6$ ; soma dos quadrados: $36 + 4 + 1 + 9 + 36 = 86$ .

$s^{2} = \frac{86}{5 - 1} = 21,5$ e $s = \sqrt{21,5} \approx 4,64$ .

$a = 7$ , $b = 11$ e $s \approx 4,64$ .

12Médio (12 pontos) Num teste, os $20$ alunos da turma A obtiveram média $12$ valores e os $30$ alunos da turma B obtiveram média $14,5$ valores. Qual é a média das classificações do conjunto dos $50$ alunos?

(A) $13,25$

(B) $13,5$

(C) $13$

(D) $14$

Resolução

Soma das classificações da turma A: $20 \times 12 = 240$ ; da turma B: $30 \times 14,5 = 435$ .

Média global: $\frac{240 + 435}{50} = \frac{675}{50} = 13,5$ .

O valor $13,25$ é a média simples das duas médias, que ignora que as turmas têm dimensões diferentes.

Opção (B) – a média global é $13,5$ valores.

Cotações

Item	1	2	3	4	5.1	5.2	6	7
Cotação (pontos)	12	14	16	12	14	16	18	12
Dificuldade
Tipo	EM	RA	RA	EM	RA	RA	RA	EM

Item	8	9.1	9.2	10	11	12	Total
Cotação (pontos)	16	14	16	12	16	12	200
Dificuldade
Tipo	RA	RA	RA	EM	RA	EM

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 5 itens – 60 pontos

Resposta aberta: 9 itens – 140 pontos

Por grau de dificuldade

Fácil 1 itens – 12 pontos

Médio 12 itens – 172 pontos

Difícil 1 itens – 16 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

Teste nº3 – Dispersão, percentis e regressão

Teste nº3

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

Cotações

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