Teste nº5

Desafios de estatística I

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

Grau de dificuldade do teste: Difícil

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 14 itens cotados (5 de escolha múltipla, 9 de resposta aberta)

Médio 64

Difícil 136

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Médio (12 pontos) Num concelho com $45 000$ eleitores, inquiriram-se $300$ eleitores escolhidos aleatoriamente sobre se concordavam com a construção de um novo pavilhão desportivo. Dos inquiridos, $54 %$ responderam que sim. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) A população em estudo é constituída pelos $300$ eleitores inquiridos.

(B) O valor $54 %$ é uma característica da amostra, que permite estimar a percentagem de concordância na população.

(C) A amostra tem dimensão $45 000$ .

(D) A variável em estudo é quantitativa contínua.

Resolução

A população é o conjunto dos $45 000$ eleitores do concelho; a amostra é o conjunto dos $300$ inquiridos. Logo (A) e (C) são falsas.

A variável «concorda com a construção (sim/não)» é qualitativa; (D) é falsa.

Os $54 %$ foram calculados a partir dos dados da amostra (é uma estatística) e servem para estimar a proporção de eleitores do concelho que concordam.

Opção (B) – $54 %$ é um valor amostral usado para estimar a característica da população.

2Médio (14 pontos) O histograma seguinte representa a distribuição das idades dos $80$ participantes numa caminhada solidária.
Determine a percentagem de participantes com pelo menos $40$ anos, indique, justificando, as classes a que pertencem a mediana e o terceiro quartil e estime a idade média, usando as marcas das classes.

Resolução

Frequências lidas: $10, 22, 26, 14, 8$ ; frequências absolutas acumuladas: $10, 32, 58, 72, 80$ .

Pelo menos $40$ anos: $26 + 14 + 8 = 48$ participantes, ou seja, $\frac{48}{80} = 60 %$ .

Mediana: média dos dados de ordens $40$ e $41$ ; como $32 < 40 < 41 \leq 58$ , pertence a $[40, 50 [$ .

$Q_{3}$ : mediana dos $40$ dados superiores, isto é, média dos dados de ordens $60$ e $61$ ; como $58 < 60 < 61 \leq 72$ , pertence a $[50, 60 [$ .

$\bar{x} \approx \frac{25 \times 10 + 35 \times 22 + 45 \times 26 + 55 \times 14 + 65 \times 8}{80} = \frac{3480}{80} = 43,5$ anos.

$60 %$ ; mediana em $[40, 50 [$ ; $Q_{3}$ em $[50, 60 [$ ; idade média $\approx 43,5$ anos.

3Difícil (16 pontos) A distância, em quilómetros, entre a casa e o local de trabalho de $25$ funcionários de uma empresa, ordenada por ordem crescente, é:

1,2, 2, 2,5, 3,1, 3,4, 3,8, 4, 4,5, 5, 5,2, 5,5, 6, 6,3, 6,8, 7,1, 7,5, 8, 8,4, 9, 9,7, 10,5, 11,2, 12,8, 15, 21,5

a) Determine os percentis de ordem $20$ e de ordem $90$ e interprete o segundo no contexto.
b) Mostre que, para estes dados, o percentil de ordem $50$ coincide com a mediana, mas o percentil de ordem $25$ não coincide com o primeiro quartil obtido pelo método das metades.

Resolução

a) $P_{20}$ : $\frac{25 \times 20}{100} = 5$ (inteiro), logo $P_{20} = \frac{x_{(5)} + x_{(6)}}{2} = \frac{3,4 + 3,8}{2} = 3,6$ km.

$P_{90}$ : $\frac{25 \times 90}{100} = 22,5$ (não inteiro), logo $P_{90} = x_{(23)} = 12,8$ km: cerca de $90 %$ dos funcionários moram a não mais de $12,8$ km do trabalho.

b) $P_{50}$ : $\frac{25 \times 50}{100} = 12,5$ , logo $P_{50} = x_{(13)} = 6,3$ ; como $n = 25$ é ímpar, a mediana é também $x_{(13)} = 6,3$ .

$P_{25}$ : $\frac{25 \times 25}{100} = 6,25$ , logo $P_{25} = x_{(7)} = 4,0$ .

Método das metades: a metade inferior (sem a mediana) são os $12$ primeiros dados, cuja mediana é $Q_{1} = \frac{x_{(6)} + x_{(7)}}{2} = \frac{3,8 + 4,0}{2} = 3,9 \neq 4,0$ .

$P_{20} = 3,6$ km e $P_{90} = 12,8$ km; $P_{50} = \tilde{x} = 6,3$ km, mas $P_{25} = 4,0 \neq Q_{1} = 3,9$ (as duas definições podem dar valores ligeiramente diferentes).

4Difícil (12 pontos) Um conjunto de dados $x_{1}, \dots, x_{n}$ tem média $10$ e desvio-padrão $2$ . Os dados $y_{i} = a x_{i} + b$ ( $a < 0$ ) têm média $4$ e desvio-padrão $6$ . Quais são os valores de $a$ e de $b$ ?

(A) $a = 3$ e $b = - 26$

(B) $a = - 3$ e $b = 34$

(C) $a = - 3$ e $b = - 26$

(D) $a = - 3$ e $b = 4$

Resolução

$s_{y} = | a | s_{x} \Leftrightarrow 6 = | a | \times 2 \Leftrightarrow | a | = 3$ ; como $a < 0$ , $a = - 3$ (exclui-se (A)).

$\bar{y} = a \bar{x} + b \Leftrightarrow 4 = - 3 \times 10 + b \Leftrightarrow b = 34$ .

Opção (B) – $a = - 3$ e $b = 34$ .

5Difícil O número de horas semanais de prática desportiva de $15$ alunos de uma turma, por ordem crescente, é:

2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 18

5.1. Médio (14 pontos) Determine os quartis e mostre que existe um único outlier (critério $1,5 \times AIQ$ ).

5.2. Difícil (18 pontos) O aluno que pratica $18$ horas é atleta federado e o professor decidiu analisar os dados sem esse valor. Determine, com a calculadora quando necessário, a média, o desvio-padrão (arredondados às centésimas), a mediana e os quartis antes e depois da remoção. Que medidas foram mais afetadas? Justifique.

Resolução

5.1.

$n = 15$ : mediana $x_{(8)} = 6$ .

Metade inferior $2, 3, 3, 4, 4, 5, 5$ : $Q_{1} = 4$ ; metade superior $6, 7, 7, 8, 9, 10, 18$ : $Q_{3} = 8$ .

$AIQ = 4$ ; limites $4 - 6 = - 2$ e $8 + 6 = 14$ .

Só $18 > 14$ fica fora do intervalo $[- 2, 14]$ .

$Q_{1} = 4$ , $Q_{2} = 6$ , $Q_{3} = 8$ ; o único outlier é $18$ horas.

5.2.

Antes (com $n = 15$ ): $\bar{x} \approx 6,47$ , $s \approx 3,93$ , $\tilde{x} = 6$ , $Q_{1} = 4$ , $Q_{3} = 8$ .

Depois ( $n = 14$ , par): $\bar{x} \approx 5,64$ e $s \approx 2,37$ .

Mediana: $\frac{x_{(7)} + x_{(8)}}{2} = \frac{5 + 6}{2} = 5,5$ ; metade inferior $2, 3, 3, 4, 4, 5, 5$ : $Q_{1} = 4$ ; metade superior $6, 6, 7, 7, 8, 9, 10$ : $Q_{3} = 7$ .

A média e, sobretudo, o desvio-padrão sofreram alterações relevantes (o desvio-padrão diminuiu cerca de $40 %$ ), porque dependem de todos os valores e o outlier tinha um desvio muito grande.

A mediana e os quartis quase não mudaram, pois dependem apenas da posição dos dados centrais: são medidas resistentes.

Média: $6,47 \to 5,64$ ; desvio-padrão: $3,93 \to 2,37$ ; mediana: $6 \to 5,5$ ; quartis: $4$ e $8 \to 4$ e $7$ . Foram mais afetados a média e o desvio-padrão.

6Difícil (18 pontos) Considere $n$ dados $x_{1}, \dots, x_{n}$ de média $\bar{x}$ .
a) Mostre que $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}$ .
b) Para um conjunto de $10$ dados sabe-se que $\sum x_{i} = 150$ e $\sum x_{i}^{2} = 2340$ . Determine a variância e o desvio-padrão desses dados (arredondado às centésimas).

Resolução

a) Desenvolvendo o quadrado: $\sum (x_{i} - \bar{x})^{2} = \sum (x_{i}^{2} - 2 \bar{x} x_{i} + {\bar{x}}^{2}) = \sum x_{i}^{2} - 2 \bar{x} \sum x_{i} + n {\bar{x}}^{2}$ .

Como $\sum x_{i} = n \bar{x}$ : $\sum x_{i}^{2} - 2 \bar{x} \cdot n \bar{x} + n {\bar{x}}^{2} = \sum x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}$ , como se queria mostrar.

b) $\bar{x} = \frac{150}{10} = 15$ .

$\sum (x_{i} - \bar{x})^{2} = 2340 - 10 \times 15^{2} = 2340 - 2250 = 90$ .

$s^{2} = \frac{90}{10 - 1} = 10$ e $s = \sqrt{10} \approx 3,16$ .

Variância $10$ ; desvio-padrão $\approx 3,16$ .

7Difícil (12 pontos) Um conjunto de cinco números naturais tem uma única moda, igual a $3$ , mediana $5$ e média $6$ . Qual é o maior valor que o maior desses números pode tomar?

(A) $12$

(B) $13$

(C) $14$

(D) $19$

Resolução

Sejam os dados ordenados $a \leq b \leq 5 \leq d \leq e$ . A soma é $5 \times 6 = 30$ .

A moda única é $3$ , logo $3$ aparece pelo menos duas vezes: $a = b = 3$ (não pode aparecer três vezes, pois o $3 .^{\circ}$ dado é $5$ ). Então $d + e = 30 - 11 = 19$ .

Se $d = 5$ , o $5$ apareceria duas vezes e haveria duas modas; logo $d \geq 6$ e $e \leq 19 - 6 = 13$ .

Com $3, 3, 5, 6, 13$ verificam-se todas as condições. A opção $14$ resulta de admitir $d = 5$ ; $19$ de esquecer a condição $d \geq 5$ .

Opção (B) – o maior valor possível é $13$ .

8Difícil (16 pontos) Numa empresa trabalham $30$ homens, cujo salário médio é $1200$ euros, e algumas mulheres, cujo salário médio é $1350$ euros. O salário médio de todos os trabalhadores é $1260$ euros.
Determine o número de mulheres que trabalham na empresa e o novo salário médio de todos os trabalhadores se apenas os salários das mulheres forem aumentados em $5 %$ .

Resolução

Seja $m$ o número de mulheres. A soma dos salários é $30 \times 1200 + 1350 m$ e também $1260 (30 + m)$ .

$36 000 + 1350 m = 37 800 + 1260 m \Leftrightarrow 90 m = 1800 \Leftrightarrow m = 20$ .

Um aumento de $5 %$ em todos os salários das mulheres multiplica a sua média por $1,05$ : $1350 \times 1,05 = 1417,5$ euros.

Nova média global: $\frac{30 \times 1200 + 20 \times 1417,5}{50} = \frac{36 000 + 28 350}{50} = 1287$ euros.

Trabalham $20$ mulheres; o novo salário médio é $1287$ euros.

9Difícil Uma pequena empresa registou, em oito meses, o investimento em publicidade, $x$ , em centenas de euros, e as vendas, $y$ , em milhares de euros.

$x$ (centenas de €)	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$y$ (milhares de €)	$15$	$18$	$19$	$23$	$24$	$28$	$29$	$33$

9.1. Médio (12 pontos) Recorrendo à calculadora, determine a equação da reta de regressão de $y$ sobre $x$ (coeficientes arredondados às centésimas) e o valor de $r$ (arredondado às milésimas). Interprete o valor de $r$ .

9.2. Difícil (16 pontos) A empresa pretende atingir $30$ mil euros de vendas num mês. Use o modelo para estimar o investimento em publicidade necessário, e comente a fiabilidade de usar o modelo para estimar as vendas correspondentes a um investimento de $2500$ euros.

Resolução

9.1.

Introduzem-se os dados em duas listas e efetua-se a regressão linear.

$y = 2,49 x + 9,94$ e $r \approx 0,993$ .

Como $r$ é positivo e muito próximo de $1$ , há uma associação linear positiva muito forte: meses com maior investimento em publicidade tendem a ter mais vendas.

$y = 2,49 x + 9,94$ ; $r \approx 0,993$ (associação linear positiva muito forte).

9.2.

Vendas de $30$ mil euros: $y = 30$ . $30 = 2,49 x + 9,94 \Leftrightarrow x = \frac{30 - 9,94}{2,49} \approx 8,06$ .

Investimento estimado: cerca de $8,06$ centenas de euros, ou seja, cerca de $806$ euros.

Como $8,06 \in [2, 9]$ , é uma interpolação e, sendo $r \approx 0,993$ , a estimativa é fiável.

$2500$ euros corresponde a $x = 25$ , muito fora do intervalo observado $[2, 9]$ : seria uma extrapolação. O modelo daria $y = 2,49 \times 25 + 9,94 \approx 72,2$ , mas não há garantia de que o efeito da publicidade se mantenha linear (é natural que as vendas estabilizem).

Investimento de cerca de $806$ euros (estimativa fiável); a previsão para $2500$ euros é uma extrapolação e não é fiável.

10Difícil (12 pontos) Considere um conjunto de dados bivariados $(x_{i}, y_{i})$ com coeficiente de correlação linear $r \neq 0$ . Qual das alterações seguintes mantém sempre o valor de $r$ ?

(A) Multiplicar todos os valores $y_{i}$ por $- 2$ .

(B) Somar $5$ a todos os valores $x_{i}$ .

(C) Retirar o ponto mais afastado da reta de regressão.

(D) Acrescentar um novo ponto ao conjunto de dados.

Resolução

Somar uma constante a todos os $x_{i}$ desloca a nuvem de pontos na horizontal, sem alterar a sua forma: $r$ mantém-se.

Multiplicar os $y_{i}$ por $- 2$ inverte o sentido da associação: $r$ passa a $- r$ , diferente de $r$ (pois $r \neq 0$ ).

Retirar ou acrescentar pontos altera, em geral, a nuvem de pontos e, portanto, o valor de $r$ (por exemplo, um ponto afastado pode reduzir muito $| r |$ ).

Opção (B) – uma translação dos dados não altera $r$ .

11Difícil (16 pontos) Os seis dados $2, 4, a, b, 10, 12$ estão ordenados por ordem crescente. Sabe-se que a mediana e a média são ambas iguais a $7$ e que a variância é $15,2$ .
Determine $a$ e $b$ . Sugestão: pode usar a igualdade $\sum (x_{i} - \bar{x})^{2} = \sum x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}$ .

Resolução

Mediana: $\frac{a + b}{2} = 7 \Leftrightarrow a + b = 14$ ; média: $\frac{28 + a + b}{6} = 7 \Leftrightarrow a + b = 14$ (a mesma condição).

Variância: $\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{5} = 15,2$ , logo $\sum (x_{i} - \bar{x})^{2} = 76$ e $\sum x_{i}^{2} = 76 + 6 \times 7^{2} = 370$ .

$4 + 16 + a^{2} + b^{2} + 100 + 144 = 370 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 106$ .

Com $b = 14 - a$ : $a^{2} + (14 - a)^{2} = 106 \Leftrightarrow 2 a^{2} - 28 a + 90 = 0 \Leftrightarrow a^{2} - 14 a + 45 = 0 \Leftrightarrow a = 5 \lor a = 9$ .

Como $4 \leq a \leq b$ : se $a = 5$ , $b = 9$ (válido); se $a = 9$ , $b = 5 < a$ (não válido).

$a = 5$ e $b = 9$ .

12Médio (12 pontos) Num estudo com $200$ jovens de $17$ anos, o percentil de ordem $90$ das alturas é $182$ cm. Qual é a interpretação correta?

(A) $90 %$ dos jovens medem exatamente $182$ cm.

(B) Cerca de $90 %$ dos jovens medem no máximo $182$ cm e cerca de $10 %$ medem mais.

(C) Cerca de $10 %$ dos jovens medem no máximo $182$ cm.

(D) A altura média dos jovens é $0,9 \times 182$ cm.

Resolução

O percentil de ordem $k$ é um valor que deixa, aproximadamente, $k %$ dos dados ordenados à sua esquerda (menores ou iguais) e $(100 - k) %$ à direita.

Para $k = 90$ : cerca de $90 %$ das alturas são menores ou iguais a $182$ cm e cerca de $10 %$ são superiores.

(A) confunde percentil com frequência de um valor; (C) inverte as percentagens; (D) confunde percentil com média.

Opção (B) – o $P_{90}$ deixa cerca de $90 %$ dos dados abaixo dele.

Cotações

Item	1	2	3	4	5.1	5.2	6	7
Cotação (pontos)	12	14	16	12	14	18	18	12
Dificuldade
Tipo	EM	RA	RA	EM	RA	RA	RA	EM

Item	8	9.1	9.2	10	11	12	Total
Cotação (pontos)	16	12	16	12	16	12	200
Dificuldade
Tipo	RA	RA	RA	EM	RA	EM

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 5 itens – 60 pontos

Resposta aberta: 9 itens – 140 pontos

Por grau de dificuldade

Médio 5 itens – 64 pontos

Difícil 9 itens – 136 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

Teste nº5 – Desafios de estatística I

Teste nº5

10.º ano – Matemática A – Tema 2 (Estatística)

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