Teste nº4

Funções: injetividade, transformações e modelação

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

Grau de dificuldade do teste: Médio

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 15 itens cotados (6 de escolha múltipla, 9 de resposta aberta)

Fácil 36

Médio 148

Difícil 16

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Médio (12 pontos) Na figura está representada, num referencial o.n. $x O y$ , parte do gráfico de uma função quadrática $f$ . O ponto $V (2, - 1)$ é o vértice da parábola e o ponto $A (0, 3)$ pertence ao gráfico de $f$ .
Qual das expressões seguintes define $f$ ?

(A) $f (x) = (x - 2)^{2} - 1$

(B) $f (x) = (x + 2)^{2} - 1$

(C) $f (x) = 2 (x - 2)^{2} - 1$

(D) $f (x) = \frac{1}{2} (x - 2)^{2} - 1$

Resolução

Como o vértice é $(2, - 1)$ , tem-se $f (x) = a (x - 2)^{2} - 1$ , o que exclui (B).

Como $A (0, 3)$ pertence ao gráfico: $a (0 - 2)^{2} - 1 = 3 \Leftrightarrow 4 a = 4 \Leftrightarrow a = 1$ .

Em (C) obter-se-ia $f (0) = 7$ e em (D) $f (0) = 1$ .

$f (x) = (x - 2)^{2} - 1$

Opção (A)

2Médio (12 pontos) Qual das funções seguintes é injetiva?

(A) $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = x^{2} - 4 x$

(B) $g : ℝ \to ℝ$ , $g (x) = | x - 1 |$

(C) $h : [0, + \infty [\to ℝ$ , $h (x) = x^{2}$

(D) $j : [- 1, 3] \to ℝ$ , $j (x) = (x - 1)^{2}$

Resolução

Uma função é injetiva se objetos diferentes têm imagens diferentes.

$f (0) = f (4) = 0$ ; $g (0) = g (2) = 1$ ; $j (- 1) = j (3) = 4$ : nenhuma destas é injetiva.

Em $[0, + \infty [$ , $h$ é estritamente crescente; se $x_{1} \neq x_{2}$ então $x_{1}^{2} \neq x_{2}^{2}$ .

A função $h$ é injetiva.

Opção (C)

3Médio (14 pontos) Considere a função $f$ , de domínio $ℝ$ , definida por $f (x) = 5 - 2 x$ .
Determine uma expressão de $f^{- 1} (x)$ e resolva a equação $f (x) = f^{- 1} (x)$ .

Resolução

$y = 5 - 2 x \Leftrightarrow 2 x = 5 - y \Leftrightarrow x = \frac{5 - y}{2}$ .

Logo $f^{- 1} (x) = \frac{5 - x}{2}$ .

$5 - 2 x = \frac{5 - x}{2} \Leftrightarrow 10 - 4 x = 5 - x \Leftrightarrow - 3 x = - 5$ .

$x = \frac{5}{3}$ (ponto onde os gráficos de $f$ e $f^{- 1}$ se intersetam, sobre a reta $y = x$ : $f (\frac{5}{3}) = \frac{5}{3}$ ✓).

$f^{- 1} (x) = \frac{5 - x}{2}$ ; $S = {\frac{5}{3}}$

4Médio (12 pontos) Sejam $f$ e $g$ as funções, de domínio $ℝ$ , definidas por $f (x) = x - 3$ e $g (x) = x^{2}$ .
Qual é a solução da equação $(f \circ g) (x) = (g \circ f) (x)$ ?

(A) $2$

(B) $3$

(C) $- 2$

(D) $0$

Resolução

$(f \circ g) (x) = f (x^{2}) = x^{2} - 3$ .

$(g \circ f) (x) = g (x - 3) = (x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{2} - 3 = x^{2} - 6 x + 9 \Leftrightarrow 6 x = 12 \Leftrightarrow x = 2$ .

$x = 2$

Opção (A)

5Fácil (12 pontos) Qual é a equação do eixo de simetria da parábola de equação $y = - 2 x^{2} + 8 x - 1$ ?

(A) $x = 2$

(B) $x = - 2$

(C) $x = 4$

(D) $x = - 4$

Resolução

O eixo de simetria é a reta vertical que passa no vértice: $x = - \frac{b}{2 a}$ .

$x = - \frac{8}{2 \times (- 2)} = - \frac{8}{- 4} = 2$ .

A opção (C) resulta de esquecer o fator $2$ no denominador; (B) e (D) de erros de sinal.

$x = 2$

Opção (A)

6Médio Considere a função $f$ , de domínio $ℝ$ , definida por $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .

6.1. Fácil (12 pontos) Estude o sinal de $f$ e indique o conjunto-solução da inequação $f (x) < 0$ .

6.2. Médio (14 pontos) Sejam $g$ e $h$ as funções definidas por $g (x) = f (- x)$ e $h (x) = - f (x)$ .
Indique, justificando, a equação do eixo de simetria do gráfico de $g$ e o contradomínio de $h$ .

Resolução

6.1.

Zeros: $x^{2} - 6 x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$ , isto é, $x = 1$ ou $x = 5$ .

Como $a = 1 > 0$ : $f (x) > 0$ em $] - \infty, 1 [\cup] 5, + \infty [$ e $f (x) < 0$ em $] 1, 5 [$ .

$f (1) = f (5) = 0$ .

$f (x) < 0 \Leftrightarrow x \in] 1, 5 [$

6.2.

Forma canónica: $f (x) = (x - 3)^{2} - 4$ , com vértice $(3, - 4)$ e contradomínio $[- 4, + \infty [$ .

O gráfico de $g (x) = f (- x)$ é o simétrico do de $f$ em relação ao eixo $O y$ ; o vértice passa a $(- 3, - 4)$ .

Logo o eixo de simetria do gráfico de $g$ é $x = - 3$ (de facto $g (x) = x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 4$ ).

O gráfico de $h = - f$ é o simétrico do de $f$ em relação ao eixo $O x$ : vértice $(3, 4)$ , concavidade para baixo.

Eixo de simetria do gráfico de $g$ : $x = - 3$ ; $D_{h}^{'} =] - \infty, 4]$

7Médio (12 pontos) Seja $f$ uma função de domínio $ℝ$ cujos únicos zeros são $- 4$ e $6$ .
Seja $g$ a função definida por $g (x) = f (2 x)$ . Quais são os zeros de $g$ ?

(A) $- 8$ e $12$

(B) $- 2$ e $3$

(C) $- 4$ e $6$

(D) $- 6$ e $4$

Resolução

$g (x) = 0 \Leftrightarrow f (2 x) = 0 \Leftrightarrow 2 x = - 4 \lor 2 x = 6$ .

Logo $x = - 2$ ou $x = 3$ .

O gráfico de $f (2 x)$ é uma contração horizontal (de coeficiente $\frac{1}{2}$ ) do gráfico de $f$ ; (A) seria o caso de $f (\frac{x}{2})$ e (D) o de $f (- x)$ .

$- 2$ e $3$

Opção (B)

8Médio (12 pontos) Qual é o conjunto dos valores reais de $m$ para os quais $x^{2} - 2 m x + 9 > 0$ , para todo o $x \in ℝ$ ?

(A) $] - 3, 3 [$

(B) $[- 3, 3]$

(C) $] - \infty, - 3 [\cup] 3, + \infty [$

(D) $] - 9, 9 [$

Resolução

Como $a = 1 > 0$ , a expressão é sempre positiva se e só se não tiver zeros, isto é, $Δ < 0$ .

$Δ = (- 2 m)^{2} - 4 \times 1 \times 9 = 4 m^{2} - 36$ .

$4 m^{2} - 36 < 0 \Leftrightarrow m^{2} < 9 \Leftrightarrow - 3 < m < 3$ .

Em (B), para $m = \pm 3$ a expressão anula-se num ponto; (C) corresponde a $Δ > 0$ .

$] - 3, 3 [$

Opção (A)

9Difícil (16 pontos) Mostre que, qualquer que seja o número real $m$ , a equação $x^{2} + (m - 1) x - m^{2} - 1 = 0$ tem duas soluções reais distintas.

Resolução

Trata-se de uma equação do 2.º grau com $a = 1$ , $b = m - 1$ e $c = - m^{2} - 1$ .

$Δ = (m - 1)^{2} - 4 \times 1 \times (- m^{2} - 1) = (m - 1)^{2} + 4 m^{2} + 4$ .

Para todo o $m \in ℝ$ : $(m - 1)^{2} \geq 0$ e $4 m^{2} \geq 0$ .

Logo $Δ \geq 4 > 0$ para todo o $m$ .

Como $Δ > 0$ para qualquer $m$ , a equação tem sempre duas soluções reais distintas.

10Médio Uma bola é lançada verticalmente para cima. Admita que a altura, $h$ , em metros, a que a bola se encontra do solo, $t$ segundos após o lançamento, é dada por

$h (t) = 1,5 + 20 t - 5 t^{2}$

desde o instante do lançamento até a bola atingir o solo. Na figura está representado o gráfico de $h$ .

10.1. Fácil (12 pontos) Indique a altura a que a bola foi lançada e determine a altura da bola um segundo após o lançamento.

10.2. Médio (16 pontos) Determine a altura máxima atingida pela bola e o instante em que tal acontece.

10.3. Médio (16 pontos) Durante quanto tempo esteve a bola a mais de $15$ metros do solo?
Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, resolva o problema. Reproduza o(s) gráfico(s) visualizado(s), devidamente identificado(s), e apresente o resultado em segundos, arredondado às centésimas (nos cálculos intermédios conserve, pelo menos, três casas decimais).

Resolução

10.1.

A altura no lançamento é $h (0) = 1,5$ m.

$h (1) = 1,5 + 20 \times 1 - 5 \times 1^{2} = 16,5$ .

A bola foi lançada a $1,5$ m do solo; ao fim de $1$ s estava a $16,5$ m.

10.2.

$h$ é uma função quadrática com $a = - 5 < 0$ ; o máximo é atingido no vértice.

$t_{V} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{20}{2 \times (- 5)} = 2$ .

$h (2) = 1,5 + 40 - 20 = 21,5$ .

A altura máxima é $21,5$ m, atingida $2$ segundos após o lançamento.

10.3.

Pretende-se resolver $h (t) > 15$ . Introduzem-se $y_{1} = 1,5 + 20 x - 5 x^{2}$ e $y_{2} = 15$ , numa janela como $[0, 4,5] \times [0, 25]$ .

Os pontos de interseção têm abcissas $t_{1} \approx 0,860$ e $t_{2} \approx 3,140$ .

A bola está acima de $15$ m para $t \in] t_{1}, t_{2} [$ .

Duração: $t_{2} - t_{1} \approx 3,140 - 0,860 \approx 2,28$ .

A bola esteve a mais de $15$ m do solo durante aproximadamente $2,28$ segundos.

11Médio (14 pontos) Considere a função $f$ , de domínio $ℝ$ , definida por $f (x) = | 2 x - 4 | + x$ .
Escreva uma expressão de $f$ sem utilizar o símbolo de módulo (definindo $f$ por ramos) e resolva a equação $f (x) = 5$ .

Resolução

$| 2 x - 4 | = 2 x - 4$ se $x \geq 2$ e $| 2 x - 4 | = - 2 x + 4$ se $x < 2$ .

Logo $f (x) = {\begin{matrix} 4 - x & se x < 2 \\ 3 x - 4 & se x \geq 2 \end{matrix}$ .

Se $x < 2$ : $4 - x = 5 \Leftrightarrow x = - 1$ , que verifica $x < 2$ ✓.

Se $x \geq 2$ : $3 x - 4 = 5 \Leftrightarrow x = 3$ , que verifica $x \geq 2$ ✓.

$S = {- 1, 3}$

12Médio (14 pontos) Considere a função $f$ , de domínio $ℝ$ , definida por

$f (x) = {\begin{matrix} - x - 1 & se x < 0 \\ x^{2} - 2 x - 1 & se x \geq 0 \end{matrix}$

cujo gráfico está representado na figura.
Determine, analiticamente, os zeros de $f$ e indique o contradomínio de $f$ .

Resolução

Se $x < 0$ : $- x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ , que verifica $x < 0$ ✓.

Se $x \geq 0$ : $x^{2} - 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$ ; só $1 + \sqrt{2}$ verifica $x \geq 0$ (pois $1 - \sqrt{2} < 0$ ).

Contradomínio do 1.º ramo: para $x < 0$ , $- x - 1 > - 1$ , logo $] - 1, + \infty [$ .

Contradomínio do 2.º ramo: $x^{2} - 2 x - 1 = (x - 1)^{2} - 2$ , com mínimo $- 2$ em $x = 1 \geq 0$ , logo $[- 2, + \infty [$ .

Reunindo: $D_{f}^{'} = [- 2, + \infty [$ .

Zeros: $- 1$ e $1 + \sqrt{2}$ ; $D_{f}^{'} = [- 2, + \infty [$

Cotações

Item	1	2	3	4	5	6.1	6.2	7
Cotação (pontos)	12	12	14	12	12	12	14	12
Dificuldade
Tipo	EM	EM	RA	EM	EM	RA	RA	EM

Item	8	9	10.1	10.2	10.3	11	12	Total
Cotação (pontos)	12	16	12	16	16	14	14	200
Dificuldade
Tipo	EM	RA	RA	RA	RA	RA	RA

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 6 itens – 72 pontos

Resposta aberta: 9 itens – 128 pontos

Por grau de dificuldade

Fácil 3 itens – 36 pontos

Médio 11 itens – 148 pontos

Difícil 1 itens – 16 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

Teste nº4 – Funções: injetividade, transformações e modelação

Teste nº4

10.º ano – Matemática A – Tema 4 (Funções)

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