Teste nº4

Paralelogramos, lagos e pirâmides

10.º ano – Matemática A – Tema 5 (Geometria analítica)

Grau de dificuldade do teste: Médio

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 15 itens cotados (6 de escolha múltipla, 9 de resposta aberta)

Fácil 36

Médio 134

Difícil 30

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Fácil (12 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , o ponto $M (1, - 2)$ é o ponto médio do segmento de reta $[A B]$ , sendo $A (- 3, 4)$ .
Quais são as coordenadas do ponto $B$ ?

(A) $(- 1, 1)$

(B) $(4, - 6)$

(C) $(- 7, 10)$

(D) $(5, - 8)$

Resolução

Seja $B (a, b)$ . Então $\frac{- 3 + a}{2} = 1$ e $\frac{4 + b}{2} = - 2$ .

$- 3 + a = 2 \Leftrightarrow a = 5$ e $4 + b = - 4 \Leftrightarrow b = - 8$ .

(A) é o ponto médio de $[A M]$ ; (B) é $M - A$ ; (C) é o simétrico de $M$ relativamente a $A$ .

Opção (D)

2Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , considere os pontos $A (1, k)$ e $B (4, 2)$ , com $k \in ℝ$ .
Sabe-se que $\overset{―}{A B} = 5$ .
Quais são os valores possíveis de $k$ ?

(A) $k = - 6 \lor k = 2$

(B) $k = 6 \lor k = - 2$

(C) $k = 7 \lor k = - 3$

(D) $k = 2 \lor k = 6$

Resolução

${\overset{―}{A B}}^{2} = (4 - 1)^{2} + (2 - k)^{2} = 25$ .

$9 + (2 - k)^{2} = 25 \Leftrightarrow (2 - k)^{2} = 16 \Leftrightarrow 2 - k = 4 \lor 2 - k = - 4$ .

$k = - 2 \lor k = 6$ .

A opção (C) esquece a parcela $9$ ; em (D), $k = 2$ daria $\overset{―}{A B} = 3$ .

Opção (B)

3Médio Num referencial o.n. $x O y$ , considere os pontos $A (- 2, - 1)$ , $B (4, 1)$ , $C (5, 4)$ e $D (- 1, 2)$ .

3.1. Médio (14 pontos) Mostre que o quadrilátero $[A B C D]$ é um paralelogramo.

3.2. Médio (12 pontos) Escreva uma condição que defina o semiplano fechado, limitado pela reta $A B$ , que contém o ponto $D$ .

Resolução

3.1.

Um quadrilátero é um paralelogramo se e só se as suas diagonais se bissetam, isto é, se $[A C]$ e $[B D]$ têm o mesmo ponto médio.

Ponto médio de $[A C]$ : $(\frac{- 2 + 5}{2}, \frac{- 1 + 4}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ .

Ponto médio de $[B D]$ : $(\frac{4 - 1}{2}, \frac{1 + 2}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ .

(Em alternativa: $m_{A B} = m_{D C} = \frac{1}{3}$ e $m_{A D} = m_{B C} = 3$ , logo os lados opostos são paralelos.)

As diagonais têm o mesmo ponto médio, logo $[A B C D]$ é um paralelogramo.

3.2.

Declive de $A B$ : $m = \frac{1 - (- 1)}{4 - (- 2)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ; $y = \frac{1}{3} x + b$ e, como $A \in A B$ , $- 1 = - \frac{2}{3} + b \Leftrightarrow b = - \frac{1}{3}$ .

Reta $A B$ : $y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}$ .

Para $D (- 1, 2)$ : $\frac{1}{3} \times (- 1) - \frac{1}{3} = - \frac{2}{3}$ e $2 > - \frac{2}{3}$ , logo $D$ está acima da reta.

$y \geq \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}$

4Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , considere os pontos $A (0, 4)$ e $B (6, 0)$ .
Qual é a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta $[A B]$ ?

(A) $y = - \frac{2}{3} x + 4$

(B) $y = \frac{3}{2} x + 2$

(C) $y = \frac{3}{2} x - \frac{5}{2}$

(D) $y = \frac{2}{3} x$

Resolução

$P (x, y)$ pertence à mediatriz se e só se $x^{2} + (y - 4)^{2} = (x - 6)^{2} + y^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 8 y + 16 = x^{2} - 12 x + 36 + y^{2} \Leftrightarrow 8 y = 12 x - 20 \Leftrightarrow y = \frac{3}{2} x - \frac{5}{2}$ .

(A) é a reta $A B$ ; (D) passa no ponto médio $(3, 2)$ , mas o ponto $(0, 0)$ dessa reta não é equidistante de $A$ e $B$ ( $4 \neq 6$ ).

Opção (C)

5Médio Num parque, um lago tem a forma de um círculo. Fixou-se um referencial o.n. $x O y$ em que a unidade é a dezena de metros.
A margem do lago é a circunferência de equação $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 10$ e, no centro $F$ do lago, há um repuxo.
Um caminho retilíneo atravessa o lago e é representado pela reta $r$ de equação $y = 2 x - 8$ .
Sejam $P$ e $Q$ os pontos onde o caminho interseta a margem do lago, sendo $P$ o de menor abcissa.

5.1. Médio (16 pontos) Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine as coordenadas dos pontos $P$ e $Q$ .
Na sua resposta, reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale os pontos relevantes.

5.2. Difícil (14 pontos) Mostre que o triângulo $[F P Q]$ é retângulo e isósceles e determine a sua área real, em metros quadrados.

Resolução

5.1.

Resolvendo a equação da circunferência em ordem a $y$ : $(y - 1)^{2} = 10 - (x - 2)^{2} \Leftrightarrow y = 1 \pm \sqrt{10 - (x - 2)^{2}}$ .

Na calculadora, definem-se $y_{1} = 1 + \sqrt{10 - (x - 2)^{2}}$ , $y_{2} = 1 - \sqrt{10 - (x - 2)^{2}}$ e $y_{3} = 2 x - 8$ .

Com a função de interseção, obtém-se a interseção de $y_{3}$ com $y_{2}$ no ponto $(3, - 2)$ e de $y_{3}$ com $y_{1}$ no ponto $(5, 2)$ .

Confirmação: $(3 - 2)^{2} + (- 2 - 1)^{2} = 1 + 9 = 10$ e $(5 - 2)^{2} + (2 - 1)^{2} = 9 + 1 = 10$ ; ambos verificam $y = 2 x - 8$ .

$P (3, - 2)$ e $Q (5, 2)$

5.2.

$F (2, 1)$ é o centro; $\overset{―}{F P} = \overset{―}{F Q} = \sqrt{10}$ , pois $P$ e $Q$ pertencem à circunferência de raio $\sqrt{10}$ . Logo, o triângulo é isósceles.

${\overset{―}{P Q}}^{2} = (5 - 3)^{2} + (2 - (- 2))^{2} = 4 + 16 = 20$ .

${\overset{―}{F P}}^{2} + {\overset{―}{F Q}}^{2} = 10 + 10 = 20 = {\overset{―}{P Q}}^{2}$ ; pelo recíproco do teorema de Pitágoras, o triângulo é retângulo em $F$ .

Área no referencial: $\frac{\sqrt{10} \times \sqrt{10}}{2} = 5$ unidades quadradas.

Cada unidade de comprimento corresponde a $10$ m, logo cada unidade quadrada corresponde a $100 m^{2}$ : $5 \times 100 = 500$ .

O triângulo é retângulo (em $F$ ) e isósceles; a sua área real é $500 m^{2}$ .

6Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , considere a região do plano definida pela condição $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \leq 4 \land x \geq 1 \land y \leq 1$ .
Qual é a área dessa região?

(A) $π$

(B) $2 π$

(C) $4 π$

(D) $\frac{π}{2}$

Resolução

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \leq 4$ é o círculo de centro $(1, 1)$ e raio $2$ .

As condições $x \geq 1$ e $y \leq 1$ definem, em conjunção, um quadrante com vértice no centro do círculo.

A região é um quarto de círculo de raio $2$ : área $= \frac{π \times 2^{2}}{4} = π$ .

Opção (A)

7Fácil (12 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , qual é a distância do ponto $P (3, - 4, 12)$ à origem do referencial?

(A) $11$

(B) $19$

(C) $13$

(D) $169$

Resolução

$\overset{―}{O P} = \sqrt{3^{2} + (- 4)^{2} + 12^{2}}$ .

$\overset{―}{O P} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ .

(A) e (B) somam as coordenadas (com e sem valor absoluto) e (D) é o quadrado da distância.

Opção (C)

8Médio Num referencial o.n. $O x y z$ , considere os pontos $A (1, - 1, 2)$ e $B (3, 1, 0)$ .

8.1. Médio (14 pontos) Mostre que o plano mediador do segmento de reta $[A B]$ pode ser definido pela equação $x + y - z - 1 = 0$ .

8.2. Médio (14 pontos) Seja $C$ o ponto de interseção do plano mediador de $[A B]$ com o eixo $O z$ .
Escreva uma equação da superfície esférica de centro $C$ que passa em $A$ e justifique que essa superfície esférica também passa em $B$ .

Resolução

8.1.

$P (x, y, z)$ pertence ao plano mediador de $[A B]$ se e só se ${\overset{―}{P A}}^{2} = {\overset{―}{P B}}^{2}$ .

$(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2}$ .

$- 2 x + 1 + 2 y + 1 - 4 z + 4 = - 6 x + 9 - 2 y + 1$ (os termos $x^{2}$ , $y^{2}$ e $z^{2}$ anulam-se).

$4 x + 4 y - 4 z - 4 = 0 \Leftrightarrow x + y - z - 1 = 0$ .

Verificação: o ponto médio de $[A B]$ , $(2, 0, 1)$ , satisfaz $2 + 0 - 1 - 1 = 0$ .

O plano mediador de $[A B]$ é definido por $x + y - z - 1 = 0$ .

8.2.

No eixo $O z$ , $x = 0$ e $y = 0$ : $0 + 0 - z - 1 = 0 \Leftrightarrow z = - 1$ , logo $C (0, 0, - 1)$ .

Raio: $\overset{―}{C A} = \sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + (2 + 1)^{2}} = \sqrt{11}$ .

Equação: $x^{2} + y^{2} + (z + 1)^{2} = 11$ .

Como $C$ pertence ao plano mediador de $[A B]$ , $\overset{―}{C B} = \overset{―}{C A} = \sqrt{11}$ (confirmação: $9 + 1 + 1 = 11$ ), logo $B$ também pertence à superfície esférica.

$x^{2} + y^{2} + (z + 1)^{2} = 11$ ; passa em $B$ porque $C$ é equidistante de $A$ e de $B$ .

9Médio Na figura está representada, num referencial o.n. $O x y z$ , a pirâmide quadrangular regular $[A B C D V]$ .
Sabe-se que:
• a base $[A B C D]$ está contida no plano $x O y$ , sendo $A (2, - 2, 0)$ , $B (2, 2, 0)$ , $C (- 2, 2, 0)$ e $D (- 2, - 2, 0)$ ;
• o vértice $V$ pertence ao semieixo positivo $O z$ e a altura da pirâmide é $4$ .

9.1. Fácil (12 pontos) Determine as coordenadas do ponto médio $M$ da aresta $[V B]$ e escreva uma equação do plano que passa em $M$ e é paralelo ao plano $y O z$ .

9.2. Médio (16 pontos) Determine o volume e a área lateral da pirâmide.

9.3. Difícil (16 pontos) Mostre que existe uma superfície esférica que passa nos cinco vértices da pirâmide e escreva uma equação dessa superfície esférica.

Resolução

9.1.

$V (0, 0, 4)$ e $B (2, 2, 0)$ .

$M (\frac{0 + 2}{2}, \frac{0 + 2}{2}, \frac{4 + 0}{2}) = M (1, 1, 2)$ .

Um plano paralelo a $y O z$ tem equação $x = a$ ; como passa em $M$ , $a = 1$ .

$M (1, 1, 2)$ ; plano: $x = 1$

9.2.

A aresta da base mede $\overset{―}{A B} = 2 - (- 2) = 4$ , logo a área da base é $16$ .

Volume: $\frac{1}{3} \times 16 \times 4 = \frac{64}{3}$ .

A altura de cada face lateral (apótema) é a distância de $V$ ao ponto médio $N (2, 0, 0)$ de $[A B]$ : $\overset{―}{V N} = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ .

Área de uma face lateral: $\frac{4 \times 2 \sqrt{5}}{2} = 4 \sqrt{5}$ ; área lateral: $4 \times 4 \sqrt{5} = 16 \sqrt{5}$ .

Volume $= \frac{64}{3}$ ; área lateral $= 16 \sqrt{5}$

9.3.

Por simetria, um ponto equidistante de $A$ , $B$ , $C$ e $D$ pertence ao eixo $O z$ ; seja o centro $E (0, 0, c)$ .

${\overset{―}{E A}}^{2} = 2^{2} + (- 2)^{2} + c^{2} = 8 + c^{2}$ (igual para $B$ , $C$ e $D$ ) e ${\overset{―}{E V}}^{2} = (4 - c)^{2}$ .

$8 + c^{2} = 16 - 8 c + c^{2} \Leftrightarrow 8 c = 8 \Leftrightarrow c = 1$ .

Logo, $E (0, 0, 1)$ é equidistante dos cinco vértices, com distância $\sqrt{8 + 1} = 3$ .

A superfície esférica de equação $x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 9$ passa nos cinco vértices.

10Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere a esfera definida pela condição $x^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} \leq 13$ .
Qual é a interseção desta esfera com o plano $x O y$ ?

(A) A circunferência de centro $(0, 1, 0)$ e raio $3$

(B) O círculo de centro $(0, 1, 0)$ e raio $3$

(C) O círculo de centro $(0, 1, 0)$ e raio $\sqrt{13}$

(D) O círculo de centro $(0, 1, - 2)$ e raio $3$

Resolução

O plano $x O y$ tem equação $z = 0$ . Substituindo: $x^{2} + (y - 1)^{2} + 4 \leq 13 \Leftrightarrow x^{2} + (y - 1)^{2} \leq 9$ .

No plano $z = 0$ , esta condição define o círculo de centro $(0, 1, 0)$ e raio $3$ .

(A) seria a interseção com a superfície esférica; (C) ignora a cota do centro; (D) tem um centro que não pertence ao plano $x O y$ .

Opção (B)

Cotações

Item	1	2	3.1	3.2	4	5.1	5.2	6
Cotação (pontos)	12	12	14	12	12	16	14	12
Dificuldade
Tipo	EM	EM	RA	RA	EM	RA	RA	EM

Item	7	8.1	8.2	9.1	9.2	9.3	10	Total
Cotação (pontos)	12	14	14	12	16	16	12	200
Dificuldade
Tipo	EM	RA	RA	RA	RA	RA	EM

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 6 itens – 72 pontos

Resposta aberta: 9 itens – 128 pontos

Por grau de dificuldade

Fácil 3 itens – 36 pontos

Médio 10 itens – 134 pontos

Difícil 2 itens – 30 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

Teste nº4 – Paralelogramos, lagos e pirâmides

Teste nº4

10.º ano – Matemática A – Tema 5 (Geometria analítica)

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