Teste nº6

Condições, regiões e problemas no espaço

10.º ano – Matemática A – Tema 5 (Geometria analítica)

Grau de dificuldade do teste: Difícil

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 14 itens cotados (6 de escolha múltipla, 8 de resposta aberta)

Médio 94

Difícil 106

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , os pontos $A (2 a - 1, 3)$ e $B (5, b + 1)$ , com $a, b \in ℝ$ , são simétricos relativamente ao eixo $O y$ .
Quais são os valores de $a$ e de $b$ ?

(A) $a = 3$ e $b = - 4$

(B) $a = - 2$ e $b = - 4$

(C) $a = - 2$ e $b = 2$

(D) $a = 3$ e $b = 2$

Resolução

Pontos simétricos relativamente ao eixo $O y$ têm abcissas simétricas e a mesma ordenada.

$2 a - 1 = - 5 \Leftrightarrow a = - 2$ e $b + 1 = 3 \Leftrightarrow b = 2$ .

(A) corresponde à simetria relativamente ao eixo $O x$ e (B) à meia-volta de centro $O$ .

Opção (C)

2Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , considere os pontos $A (3, - 1)$ , $B (3, 5)$ e $C (- 1, 2)$ .
Qual é a área do triângulo $[A B C]$ ?

(A) $24$

(B) $12$

(C) $6$

(D) $15$

Resolução

$A$ e $B$ têm a mesma abcissa, logo a reta $A B$ é vertical, de equação $x = 3$ , e $\overset{―}{A B} = 5 - (- 1) = 6$ .

A altura relativa à base $[A B]$ é a distância de $C$ à reta $x = 3$ : $| 3 - (- 1) | = 4$ .

Área $= \frac{6 \times 4}{2} = 12$ . A opção (A) esquece a divisão por $2$ .

Opção (B)

3Difícil Num parque de merendas, fixou-se um referencial o.n. $x O y$ em que a unidade é a dezena de metros.
Um relvado circular tem centro no ponto $C (4, 3)$ e raio $3$ . A zona de piquenique é a parte desse relvado (incluindo a fronteira) situada abaixo da reta $r$ que passa em $C$ e no ponto $(0, 1)$ , ou sobre essa reta.
Uma mesa está colocada no ponto $M (5, 1)$ .

3.1. Médio (16 pontos) Escreva uma condição que defina a zona de piquenique e verifique se a mesa está nessa zona.

3.2. Difícil (16 pontos) Determine a área real da zona de piquenique, em metros quadrados, arredondada às unidades.

Resolução

3.1.

Reta $r$ : declive $\frac{3 - 1}{4 - 0} = \frac{1}{2}$ e ordenada na origem $1$ , logo $y = \frac{1}{2} x + 1$ .

Relvado: $(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} \leq 9$ . Abaixo de $r$ ou sobre $r$ : $y \leq \frac{1}{2} x + 1$ .

Zona de piquenique: $(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} \leq 9 \land y \leq \frac{1}{2} x + 1$ .

Para $M (5, 1)$ : $(5 - 4)^{2} + (1 - 3)^{2} = 5 \leq 9$ e $1 \leq \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2}$ ; as duas condições são verdadeiras.

$(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} \leq 9 \land y \leq \frac{1}{2} x + 1$ ; a mesa está na zona de piquenique.

3.2.

A reta $r$ passa no centro $C$ do círculo, logo divide-o em dois semicírculos geometricamente iguais.

A zona de piquenique é um semicírculo de raio $3$ : área $= \frac{π \times 3^{2}}{2} = \frac{9 π}{2}$ unidades quadradas.

Uma unidade de comprimento corresponde a $10$ m, logo uma unidade quadrada corresponde a $100 m^{2}$ .

Área real: $\frac{9 π}{2} \times 100 = 450 π \approx 1413,7$ .

A área da zona de piquenique é, aproximadamente, $1414 m^{2}$ .

4Difícil (12 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , considere a circunferência de centro $(- 1, 2)$ que passa na origem do referencial.
Qual das condições seguintes define o conjunto dos pontos exteriores a essa circunferência que pertencem ao 3.º quadrante?

(A) $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} > 5 \land x < 0 \land y < 0$

(B) $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} > 5 \lor (x < 0 \land y < 0)$

(C) $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} > 5 \land x < 0 \land y < 0$

(D) $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} > \sqrt{5} \land x < 0 \land y < 0$

Resolução

Raio: distância do centro à origem, $\sqrt{(- 1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$ , logo $r^{2} = 5$ .

Pontos exteriores: $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} > 5$ ; 3.º quadrante: $x < 0 \land y < 0$ .

Os pontos têm de verificar as duas condições em simultâneo (conjunção), o que exclui (B); (C) tem o centro errado e (D) compara com $r$ em vez de $r^{2}$ .

Nota: a condição de exterioridade não é redundante, pois, por exemplo, $(- 1; - 0,1)$ está no 3.º quadrante e é interior ( $0 + 4,41 < 5$ ).

Opção (A)

5Difícil Num referencial o.n. $x O y$ , considere os pontos $A (1, 0)$ e $B (5, 0)$ e a reta $t$ de equação $y = x + 1$ .
Seja $𝒞$ a circunferência que passa nos pontos $A$ e $B$ e cujo centro pertence à reta $t$ .

5.1. Difícil (16 pontos) Determine uma equação da circunferência $𝒞$ e mostre que $𝒞$ interseta o eixo $O y$ em dois pontos, indicando as suas coordenadas.

5.2. Médio (16 pontos) Considere a reta $s$ de equação $y = - x + 6$ .
Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência $𝒞$ com a reta $s$ . Apresente as coordenadas arredondadas às centésimas.
Na sua resposta, reproduza o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale os pontos relevantes.

Resolução

5.1.

O centro é equidistante de $A$ e de $B$ , logo pertence à mediatriz de $[A B]$ , que é a reta vertical $x = 3$ (pois $A$ e $B$ estão no eixo $O x$ e o ponto médio é $(3, 0)$ ).

Como o centro também pertence a $t$ : $y = 3 + 1 = 4$ , logo o centro é $(3, 4)$ .

Raio: $\sqrt{(3 - 1)^{2} + (4 - 0)^{2}} = \sqrt{20}$ . Equação: $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 20$ .

Com $x = 0$ : $9 + (y - 4)^{2} = 20 \Leftrightarrow (y - 4)^{2} = 11 \Leftrightarrow y = 4 - \sqrt{11} \lor y = 4 + \sqrt{11}$ .

$(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 20$ ; interseta $O y$ nos pontos $(0, 4 - \sqrt{11})$ e $(0, 4 + \sqrt{11})$

5.2.

Da equação de $𝒞$ : $y = 4 \pm \sqrt{20 - (x - 3)^{2}}$ .

Definem-se $y_{1} = 4 + \sqrt{20 - (x - 3)^{2}}$ , $y_{2} = 4 - \sqrt{20 - (x - 3)^{2}}$ e $y_{3} = - x + 6$ .

Com a função de interseção: $y_{3}$ interseta $y_{1}$ no ponto de abcissa $\approx - 0,62$ e $y_{2}$ no ponto de abcissa $\approx 5,62$ .

Ordenadas: $- (- 0,6225) + 6 \approx 6,62$ e $- 5,6225 + 6 \approx 0,38$ .

$(- 0,62; 6,62)$ e $(5,62; 0,38)$

6Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , considere, para cada $k \in ℝ$ , os pontos $A (k, 2)$ e $B (3, k)$ .
Para que valor de $k$ pertence o ponto médio de $[A B]$ à reta de equação $y = 2 x - 1$ ?

(A) $- 1$

(B) $0$

(C) $2$

(D) $- 2$

Resolução

Ponto médio: $M (\frac{k + 3}{2}, \frac{2 + k}{2})$ .

$M$ pertence à reta se e só se $\frac{2 + k}{2} = 2 \times \frac{k + 3}{2} - 1 \Leftrightarrow \frac{2 + k}{2} = k + 2$ .

$2 + k = 2 k + 4 \Leftrightarrow k = - 2$ .

Confirmação: para $k = - 2$ , $M (\frac{1}{2}, 0)$ e $2 \times \frac{1}{2} - 1 = 0$ .

Opção (D)

7Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , qual das condições seguintes define o eixo $O x$ ?

(A) $x = 0$

(B) $y = 0 \land z = 0$

(C) $y = 0 \lor z = 0$

(D) $x = 0 \land y = 0$

Resolução

Os pontos do eixo $O x$ são da forma $(x, 0, 0)$ : ordenada e cota nulas, abcissa qualquer.

Logo, o eixo $O x$ é a interseção dos planos $y = 0$ ( $x O z$ ) e $z = 0$ ( $x O y$ ): $y = 0 \land z = 0$ .

(A) é o plano $y O z$ ; (C) é a reunião de dois planos; (D) é o eixo $O z$ .

Opção (B)

8Difícil Na figura está representada, num referencial o.n. $O x y z$ , a pirâmide quadrangular regular $[A B C D V]$ .
Sabe-se que:
• a base $[A B C D]$ está contida no plano $x O y$ , sendo $A (0, 0, 0)$ , $B (6, 0, 0)$ , $C (6, 6, 0)$ e $D (0, 6, 0)$ ;
• o vértice $V$ tem cota positiva e $\overset{―}{V A} = \sqrt{34}$ .

8.1. Médio (14 pontos) Justifique que o vértice $V$ pertence à reta definida por $x = 3 \land y = 3$ e determine as coordenadas de $V$ .

8.2. Difícil (16 pontos) Escreva uma equação da superfície esférica que passa nos cinco vértices da pirâmide.

8.3. Difícil (16 pontos) Mostre que o plano mediador da aresta $[V B]$ pode ser definido pela equação $3 x - 3 y - 4 z - 1 = 0$ e determine as coordenadas do ponto de interseção desse plano com a reta $A B$ .

Resolução

8.1.

Numa pirâmide regular, o vértice projeta-se ortogonalmente no centro da base, que é o ponto médio de $[A C]$ : $(3, 3, 0)$ .

Assim, $V$ pertence à reta perpendicular ao plano $x O y$ (paralela a $O z$ ) que passa em $(3, 3, 0)$ : $x = 3 \land y = 3$ .

Seja $V (3, 3, c)$ , com $c > 0$ : ${\overset{―}{V A}}^{2} = 9 + 9 + c^{2} = 34 \Leftrightarrow c^{2} = 16 \Leftrightarrow c = 4$ (pois $c > 0$ ).

$V (3, 3, 4)$

8.2.

O centro é equidistante de $A$ , $B$ , $C$ e $D$ , logo pertence à reta $x = 3 \land y = 3$ ; seja $E (3, 3, c)$ .

${\overset{―}{E A}}^{2} = 9 + 9 + c^{2} = 18 + c^{2}$ e ${\overset{―}{E V}}^{2} = (4 - c)^{2} = 16 - 8 c + c^{2}$ .

$18 + c^{2} = 16 - 8 c + c^{2} \Leftrightarrow 8 c = - 2 \Leftrightarrow c = - \frac{1}{4}$ .

$r^{2} = 18 + \frac{1}{16} = \frac{289}{16}$ , ou seja, $r = \frac{17}{4}$ .

$(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{289}{16}$

8.3.

$P (x, y, z)$ pertence ao plano mediador de $[V B]$ se e só se $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = (x - 6)^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

$- 6 x + 9 - 6 y + 9 - 8 z + 16 = - 12 x + 36 \Leftrightarrow 6 x - 6 y - 8 z - 2 = 0 \Leftrightarrow 3 x - 3 y - 4 z - 1 = 0$ .

A reta $A B$ é o eixo $O x$ : $y = 0 \land z = 0$ . Substituindo: $3 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$ .

Verificação: o ponto $(\frac{1}{3}, 0, 0)$ dista $\frac{17}{3}$ de $B$ e $\sqrt{\frac{64}{9} + 9 + 16} = \sqrt{\frac{289}{9}} = \frac{17}{3}$ de $V$ .

Plano mediador: $3 x - 3 y - 4 z - 1 = 0$ ; interseção com a reta $A B$ : $(\frac{1}{3}, 0, 0)$

9Difícil (12 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere, para cada $k \in ℝ$ , a superfície esférica de equação $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - k)^{2} = 10$ .
Para que valores de $k$ é a interseção desta superfície esférica com o plano $x O y$ uma circunferência de raio $\sqrt{6}$ ?

(A) $k = 2$

(B) $k = 4$

(C) $k = - 2 \lor k = 2$

(D) $k = - 4 \lor k = 4$

Resolução

Plano $x O y$ : $z = 0$ . Substituindo: $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + k^{2} = 10 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 10 - k^{2}$ .

Pretende-se $10 - k^{2} = (\sqrt{6})^{2} = 6 \Leftrightarrow k^{2} = 4 \Leftrightarrow k = - 2 \lor k = 2$ .

(A) esquece a solução negativa; (B) e (D) resultam de usar $10 - k$ em vez de $10 - k^{2}$ .

Opção (C)

10Difícil (18 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere o ponto $P (2, 1, - 1)$ .
Determine as coordenadas dos pontos do eixo $O y$ cuja distância a $P$ é igual a $3$ e mostre que não existe nenhum ponto do eixo $O x$ cuja distância a $P$ seja igual a $1$ .

Resolução

Um ponto do eixo $O y$ é da forma $Q (0, y, 0)$ .

$\overset{―}{P Q} = 3 \Leftrightarrow (0 - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (0 + 1)^{2} = 9 \Leftrightarrow (y - 1)^{2} = 4 \Leftrightarrow y = 3 \lor y = - 1$ .

Os pontos são $(0, 3, 0)$ e $(0, - 1, 0)$ .

Um ponto do eixo $O x$ é da forma $R (x, 0, 0)$ : ${\overset{―}{P R}}^{2} = (x - 2)^{2} + 1 + 1 = (x - 2)^{2} + 2$ .

Como $(x - 2)^{2} \geq 0$ , tem-se ${\overset{―}{P R}}^{2} \geq 2 > 1$ , logo a equação $\overset{―}{P R} = 1$ é impossível.

Pontos do eixo $O y$ : $(0, 3, 0)$ e $(0, - 1, 0)$ ; nenhum ponto do eixo $O x$ dista $1$ de $P$ (a distância mínima é $\sqrt{2}$ ).

Cotações

Item	1	2	3.1	3.2	4	5.1	5.2	6
Cotação (pontos)	12	12	16	16	12	16	16	12
Dificuldade
Tipo	EM	EM	RA	RA	EM	RA	RA	EM

Item	7	8.1	8.2	8.3	9	10	Total
Cotação (pontos)	12	14	16	16	12	18	200
Dificuldade
Tipo	EM	RA	RA	RA	EM	RA

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 6 itens – 72 pontos

Resposta aberta: 8 itens – 128 pontos

Por grau de dificuldade

Médio 7 itens – 94 pontos

Difícil 7 itens – 106 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

Teste nº6 – Condições, regiões e problemas no espaço

Teste nº6

10.º ano – Matemática A – Tema 5 (Geometria analítica)

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