Teste nº6

Demonstrações vetoriais, retas e superfícies esféricas

10.º ano – Matemática A – Tema 6 (Vetores no plano e no espaço)

Grau de dificuldade do teste: Difícil

⏱ Duração: 90 minutos📝 Cotação: 200 pontos🧮 Calculadora gráfica permitida📋 13 itens cotados (5 de escolha múltipla, 8 de resposta aberta)

Médio 102

Difícil 98

Distribuição dos 200 pontos por grau de dificuldade

Instruções (como no Exame Nacional): nos itens de escolha múltipla, selecione a única opção correta. Nos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos e justificações necessários. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exato. Cada item indica o grau de dificuldade e a cotação. As cotações estão na tabela no final do teste.

1Médio (12 pontos) Na figura, está representado o paralelogramo $[A B C D]$ , cujas diagonais se intersetam no ponto $O$ .
Qual é o vetor igual a $\frac{1}{2} \vec{A C} + \vec{B O}$ ?

(A) $\vec{A B}$

(B) $\vec{0}$

(C) $\vec{C B}$

(D) $\vec{B C}$

Resolução

As diagonais de um paralelogramo bissetam-se, logo $\frac{1}{2} \vec{A C} = \vec{A O} = \vec{O C}$ .

$\frac{1}{2} \vec{A C} + \vec{B O} = \vec{O C} + \vec{B O} = \vec{B O} + \vec{O C} = \vec{B C}$ (regra do triângulo).

Opção (D)

2Difícil (18 pontos) Na figura, está representado um quadrilátero $[A B C D]$ . Os pontos $M$ e $N$ são, respetivamente, os pontos médios das diagonais $[A C]$ e $[B D]$ .
Mostre que $\vec{A B} + \vec{C D} = 2 \vec{M N}$ .
Sugestão: escreva $\vec{M N}$ de duas formas diferentes, usando a regra do triângulo.

Resolução

$\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A B} + \vec{B N}$ .

$\vec{M N} = \vec{M C} + \vec{C D} + \vec{D N}$ .

Somando: $2 \vec{M N} = (\vec{M A} + \vec{M C}) + \vec{A B} + \vec{C D} + (\vec{B N} + \vec{D N})$ .

Como $M$ é o ponto médio de $[A C]$ , $\vec{M C} = - \vec{M A}$ , logo $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{0}$ ; analogamente $\vec{B N} + \vec{D N} = \vec{B N} - \vec{N D} = \vec{0}$ .

Logo, $\vec{A B} + \vec{C D} = 2 \vec{M N}$ , como se queria mostrar.

3Médio (18 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , considere o triângulo de vértices $A (1, 1)$ , $B (7, 3)$ e $C (3, 7)$ . Sejam $M$ o ponto médio de $[B C]$ e $N$ o ponto médio de $[A C]$ .
Determine as coordenadas do ponto $G$ tal que $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A M}$ e verifique que $G$ pertence à reta $B N$ .

Resolução

$M = (\frac{7 + 3}{2}, \frac{3 + 7}{2}) = (5, 5)$ , logo $\vec{A M} = (4, 4)$ .

$G = A + \frac{2}{3} \vec{A M} = (1 + \frac{8}{3}, 1 + \frac{8}{3}) = (\frac{11}{3}, \frac{11}{3})$ .

$N = (\frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + 7}{2}) = (2, 4)$ e $\vec{B N} = (- 5, 1)$ ; reta $B N$ : $(x, y) = (7, 3) + k (- 5, 1), k \in ℝ$ .

$G \in B N$ : $7 - 5 k = \frac{11}{3} \Leftrightarrow k = \frac{2}{3}$ e $3 + k = \frac{11}{3} \Leftrightarrow k = \frac{2}{3}$ . O mesmo valor de $k$ , logo $G$ pertence a $B N$ .

$G (\frac{11}{3}, \frac{11}{3})$ , que pertence à reta $B N$ ( $k = \frac{2}{3}$ ).

4Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere os pontos $A (1, k, 2)$ e $B (3, 1, - 2)$ , com $k \in ℝ$ .
Para que valores de $k$ se tem $\overset{―}{A B} = 6$ ?

(A) $k = 5$

(B) $k = - 3$ ou $k = 5$

(C) $k = 3$ ou $k = - 5$

(D) $k = - 4$ ou $k = 4$

Resolução

$\vec{A B} = (2, 1 - k, - 4)$ , logo $\overset{―}{A B} = \sqrt{4 + (1 - k)^{2} + 16}$ .

$\overset{―}{A B} = 6 \Leftrightarrow 20 + (1 - k)^{2} = 36 \Leftrightarrow (1 - k)^{2} = 16 \Leftrightarrow 1 - k = \pm 4$ .

$k = - 3 \lor k = 5$ .

(A) esquece uma solução; (C) tem os sinais trocados; (D) resolve $k^{2} = 16$ , esquecendo o $1$ .

Opção (B)

5Médio (16 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere os vetores $\vec{u} (1, 2, - 1)$ e $\vec{v} (2, 0, 1)$ .
Mostre que o vetor $\vec{w} (4, 4, - 1)$ é combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ e verifique se o vetor $\vec{t} (1, 1, 1)$ também o é.

Resolução

Procuram-se $a, b$ tais que $a \vec{u} + b \vec{v} = \vec{w}$ : ${\begin{matrix} a + 2 b = 4 \\ 2 a = 4 \\ - a + b = - 1 \end{matrix}$ .

Da segunda, $a = 2$ ; da primeira, $b = 1$ ; na terceira, $- 2 + 1 = - 1$ ✓. Logo $\vec{w} = 2 \vec{u} + \vec{v}$ .

Para $\vec{t}$ : ${\begin{matrix} a + 2 b = 1 \\ 2 a = 1 \\ - a + b = 1 \end{matrix}$ ; $a = \frac{1}{2}$ e $b = \frac{1}{4}$ .

Terceira equação: $- \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} \neq 1$ : o sistema é impossível.

$\vec{w} = 2 \vec{u} + \vec{v}$ ; $\vec{t}$ não é combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ .

6Difícil (12 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , a reta $r$ é definida por $(x, y) = (2, 1) + k (m, 2), k \in ℝ$ , com $m \in ℝ$ , e passa no ponto $P (5, - 3)$ .
Qual é o valor de $m$ ?

(A) $- \frac{2}{3}$

(B) $\frac{3}{2}$

(C) $- \frac{3}{2}$

(D) $- 6$

Resolução

$P \in r \Leftrightarrow$ existe $k$ tal que $2 + k m = 5$ e $1 + 2 k = - 3$ .

Da segunda equação: $k = - 2$ .

Na primeira: $2 - 2 m = 5 \Leftrightarrow m = - \frac{3}{2}$ .

(A) inverte o quociente; (B) erro de sinal; (D) resulta de $m = 3 \times (- 2)$ .

Opção (C)

7Médio (16 pontos) Num referencial o.n. $x O y$ , considere a reta $r$ definida por $2 x + 3 y = 6$ .
Mostre que $(x, y) = (3, 0) + k (- 3, 2), k \in ℝ$ , é uma equação vetorial de $r$ e determine o valor de $a$ para o qual o ponto $P (a, a + 1)$ pertence a $r$ .

Resolução

$2 x + 3 y = 6 \Leftrightarrow y = - \frac{2}{3} x + 2$ : declive $- \frac{2}{3}$ .

O vetor $(- 3, 2)$ tem declive $\frac{2}{- 3} = - \frac{2}{3}$ , logo é vetor diretor de $r$ ; e $(3, 0) \in r$ , pois $2 \times 3 + 3 \times 0 = 6$ .

Logo $(x, y) = (3, 0) + k (- 3, 2), k \in ℝ$ , define $r$ .

$P \in r \Leftrightarrow 2 a + 3 (a + 1) = 6 \Leftrightarrow 5 a = 3 \Leftrightarrow a = \frac{3}{5}$ .

$a = \frac{3}{5}$

8Difícil (12 pontos) Considere o cubo $[A B C D E F G H]$ representado na figura.
Qual é o vetor igual a $\vec{A F} + \vec{A H} + \vec{A C}$ ?

(A) $\vec{A G}$

(B) $2 \vec{A G}$

(C) $3 \vec{A G}$

(D) $\vec{A E} + \vec{A G}$

Resolução

$\vec{A F} = \vec{A B} + \vec{A E}$ , $\vec{A H} = \vec{A D} + \vec{A E}$ e $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ (regra do paralelogramo nas faces).

Soma: $2 (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E})$ .

Como $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E} = \vec{A G}$ , a soma é $2 \vec{A G}$ .

Opção (B)

9Difícil (18 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere os pontos $A (3, - 1, 2)$ e $B (1, 1, 3)$ .
Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta $A B$ com o plano $x O z$ e mostre que a reta $A B$ não interseta o eixo $O z$ .

Resolução

$\vec{A B} = (- 2, 2, 1)$ ; $A B : (x, y, z) = (3, - 1, 2) + k (- 2, 2, 1), k \in ℝ$ .

Ponto genérico: $(3 - 2 k, - 1 + 2 k, 2 + k)$ .

Plano $x O z$ : $y = 0 \Leftrightarrow k = \frac{1}{2}$ , ponto $(2, 0, \frac{5}{2})$ .

Eixo $O z$ : $x = 0$ e $y = 0$ . $x = 0 \Leftrightarrow k = \frac{3}{2}$ e $y = 0 \Leftrightarrow k = \frac{1}{2}$ : valores diferentes, logo não há nenhum ponto da reta com $x = y = 0$ .

Interseção com $x O z$ : $(2, 0, \frac{5}{2})$ ; a reta não interseta $O z$ .

10Médio (12 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere a superfície esférica de equação $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9$ .
Em que pontos esta superfície esférica interseta o eixo $O y$ ?

(A) $(0, 0, 0)$ e $(0, - 4, 0)$

(B) $(0, 0, 0)$ e $(0, 4, 0)$

(C) $(0, 2, 0)$

(D) $(0, - 1, 0)$ e $(0, 5, 0)$

Resolução

Os pontos do eixo $O y$ são da forma $(0, y, 0)$ .

$1 + (y - 2)^{2} + 4 = 9 \Leftrightarrow (y - 2)^{2} = 4 \Leftrightarrow y = 0 \lor y = 4$ .

(A) troca o sinal de $2$ ; (C) é a projeção do centro; (D) ignora as parcelas $1$ e $4$ .

Opção (B)

11Difícil (20 pontos) Num referencial o.n. $O x y z$ , considere a superfície esférica $S$ de equação $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ e, para cada número real $a$ , a reta $r_{a}$ definida por $(x, y, z) = (a, 0, 0) + k (0, 1, 1), k \in ℝ$ .
Para $a = 1$ , determine os pontos de interseção de $r_{1}$ com $S$ . Determine ainda os valores de $a$ para os quais a reta $r_{a}$ e a superfície esférica $S$ têm um único ponto em comum.

Resolução

Ponto genérico de $r_{a}$ : $(a, k, k)$ . Substituindo em $S$ : $a^{2} + 2 k^{2} = 9$ .

Para $a = 1$ : $2 k^{2} = 8 \Leftrightarrow k = \pm 2$ ; pontos $(1, 2, 2)$ e $(1, - 2, - 2)$ .

Em geral, $k^{2} = \frac{9 - a^{2}}{2}$ : há duas soluções se $9 - a^{2} > 0$ , nenhuma se $9 - a^{2} < 0$ e uma só ( $k = 0$ ) se $9 - a^{2} = 0$ .

$9 - a^{2} = 0 \Leftrightarrow a = 3 \lor a = - 3$ ; o ponto comum é $(\pm 3, 0, 0)$ .

$(1, 2, 2)$ e $(1, - 2, - 2)$ ; $a = - 3$ ou $a = 3$

12Difícil Num referencial o.n. $O x y z$ (unidade: quilómetro), o plano $x O y$ representa o nível do mar. As posições de dois aviões, $A$ e $B$ , $t$ minutos após um dado instante, são dadas por

$P_{A} (t) = (0, 0, 10) + t (4, 3, 0) e P_{B} (t) = (20, - 5, 4) + t (- 2, 5, 1), 0 \leq t \leq 6 .$

12.1. Médio (16 pontos) Determine a velocidade do avião $A$ , em quilómetros por hora, e mostre que as trajetórias dos dois aviões não se intersetam.

12.2. Difícil (18 pontos) Por razões de segurança, a distância entre os dois aviões nunca deve ser inferior a $5$ km.
Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, verifique se esta regra é respeitada no intervalo de tempo considerado. Na sua resposta, apresente a expressão da distância $d (t)$ entre os aviões, o(s) gráfico(s) visualizado(s) e as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às centésimas.

Resolução

12.1.

O avião $A$ percorre $‖ (4, 3, 0) ‖ = \sqrt{16 + 9} = 5$ km por minuto, ou seja, $5 \times 60 = 300$ km/h.

As trajetórias intersetam-se se existirem $t$ e $s$ tais que $P_{A} (t) = P_{B} (s)$ : ${\begin{matrix} 4 t = 20 - 2 s \\ 3 t = - 5 + 5 s \\ 10 = 4 + s \end{matrix}$ .

Da terceira, $s = 6$ ; da primeira, $4 t = 8 \Leftrightarrow t = 2$ .

Na segunda: $3 \times 2 = 6$ e $- 5 + 30 = 25$ ; $6 \neq 25$ , o sistema é impossível.

300 km/h; as trajetórias não se intersetam.

12.2.

$\vec{P_{A} P_{B}} = P_{B} (t) - P_{A} (t) = (20 - 6 t, - 5 + 2 t, - 6 + t)$ .

$d (t) = \sqrt{(20 - 6 t)^{2} + (2 t - 5)^{2} + (t - 6)^{2}} = \sqrt{41 t^{2} - 272 t + 461}$ .

Na calculadora, representa-se $y = d (x)$ em $[0; 6]$ e determina-se o mínimo: $(3,32; 3,14)$ .

A distância mínima, cerca de $3,14$ km, atingida para $t \approx 3,32$ min, é inferior a $5$ km.

A regra não é respeitada: a distância mínima é aproximadamente $3,14$ km (para $t \approx 3,32$ min).

Cotações

Item	1	2	3	4	5	6	7	8
Cotação (pontos)	12	18	18	12	16	12	16	12
Dificuldade
Tipo	EM	RA	RA	EM	RA	EM	RA	EM

Item	9	10	11	12.1	12.2	Total
Cotação (pontos)	18	12	20	16	18	200
Dificuldade
Tipo	RA	EM	RA	RA	RA

EM – escolha múltipla · RA – resposta aberta · ● Fácil · ● Médio · ● Difícil

Por tipo de item

Escolha múltipla: 5 itens – 60 pontos

Resposta aberta: 8 itens – 140 pontos

Por grau de dificuldade

Médio 7 itens – 102 pontos

Difícil 6 itens – 98 pontos

Teste original elaborado no estilo do Exame Nacional de Matemática A (IAVE), de acordo com as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano.

Teste nº6 – Demonstrações vetoriais, retas e superfícies esféricas

Teste nº6

10.º ano – Matemática A – Tema 6 (Vetores no plano e no espaço)

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