Ficha nº3 – Lugares geométricos no plano

É o conjunto dos pontos do plano que estão à mesma distância de $A$ e de $B$. É a reta perpendicular a $[AB]$ que passa no seu ponto médio.

É o conjunto dos pontos do ângulo que estão à mesma distância das duas semirretas que o formam (os lados do ângulo).

A circunferência é formada pelos pontos a distância igual a $3$ de $C$; o círculo pelos pontos a distância menor ou igual a $3$.

$P$ pertence ao círculo, mas não à circunferência.

Duas retas paralelas a $r$, uma de cada lado, a $2$ cm de $r$.

É a coroa circular de centro $O$ limitada pelas circunferências de raios $2$ e $4$ (incluindo as duas circunferências).

São os pontos de interseção da mediatriz de $[AB]$ com a circunferência de centro $A$ e raio $3$.

Com $\overline{AB}=4$: a mediatriz está a $2$ cm de $A$ e $2<3$, logo há $2$ pontos. Com $\overline{AB}=8$: a mediatriz está a $4$ cm de $A$ e $4>3$, logo não há nenhum.

Um ponto equidistante de $A$ e $B$ está na mediatriz de $[AB]$; equidistante de $B$ e $C$, na mediatriz de $[BC]$. As duas mediatrizes cortam-se num único ponto.

É um único ponto: o circuncentro do triângulo $[ABC]$.

Estar à mesma distância de dois lados é pertencer à bissetriz do ângulo que eles formam. As três bissetrizes internas cortam-se num único ponto.

O incentro.

O centro tem de estar a distância $2$ de $r$.

Duas retas paralelas a $r$, a $2$ unidades de distância, uma de cada lado.

$\frac{4\times h}{2}=6\iff h=3$: $P$ tem de estar a $3$ cm da reta $AB$.

Duas retas paralelas a $AB$, a $3$ cm de distância.

$P$ é a interseção de $s$ com a mediatriz de $[AB]$.

Não existe se $s$ for paralela à mediatriz (ou seja, $s$ perpendicular a $AB$ sem passar no ponto médio). Há uma infinidade se $s$ for a própria mediatriz.

O tesouro $T$ está na mediatriz, logo o triângulo $[AMT]$ é retângulo em $M$, com $\overline{AM}=6$ m e $\overline{AT}=10$ m.

$\overline{MT}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8$ m.

$8$ m de $M$; há $2$ posições possíveis, uma de cada lado de $[AB]$.

O triângulo $[APB]$ é retângulo em $P$; o seu circuncentro é o ponto médio $M$ da hipotenusa $[AB]$.

Logo $\overline{MP}=\overline{MA}=\overline{MB}=\frac{\overline{AB}}{2}$: $P$ está na circunferência de centro $M$ e diâmetro $[AB]$.

$M$ é a imagem de $Q$ pela homotetia de centro $A$ e razão $\frac{1}{2}$. A imagem de uma circunferência é uma circunferência com centro na imagem do centro e raio multiplicado por $\frac{1}{2}$.

$M$ descreve a circunferência de centro no ponto médio de $[AO]$ e raio $3$.

Os pontos equidistantes das duas retas estão nas bissetrizes dos quatro ângulos formados, que são duas retas (cada uma é bissetriz de dois ângulos verticalmente opostos).

Dois ângulos adjacentes somam $180°$; as metades somam $90°$. Logo, as duas bissetrizes são perpendiculares.