Ficha nº4 – Raciocínio dedutivo e demonstrações

Hipótese: o triângulo é isósceles. Tese: os ângulos da base são iguais.

Recíproca: «Se as diagonais de um quadrilátero são iguais, então é um quadrado.»

É falsa: um retângulo (não quadrado) tem diagonais iguais.

Um losango que não tem ângulos retos.

LAL: dois lados e o ângulo por eles formado iguais. ALA: um lado e os dois ângulos adjacentes iguais. LLL: os três lados iguais.

Sejam $\alpha$ e $\beta$ verticalmente opostos e $\gamma$ adjacente a ambos. Então $\alpha +\gamma =180°$ e $\beta +\gamma =180°$.

Logo $\alpha =180°-\gamma =\beta$.

Trace-se por $C$ a reta paralela a $AB$. Os ângulos que essa reta forma com $CA$ e $CB$ são alternos internos dos ângulos em $A$ e em $B$, logo iguais a eles.

Esses dois ângulos e o ângulo em $C$ formam um ângulo raso: $\widehat{A}+\widehat{C}+\widehat{B}=180°$.

Seja $\epsilon$ o ângulo externo em $C$. Então $\epsilon +\widehat{C}=180°$ e $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$.

Logo $\epsilon =\widehat{A}+\widehat{B}$.

Como $AB\parallel DC$, $\widehat{A}+\widehat{D}=180°$ (ângulos internos do mesmo lado, que são suplementares). Como $AD\parallel BC$, $\widehat{D}+\widehat{C}=180°$.

Logo $\widehat{A}=\widehat{C}$. Analogamente, $\widehat{B}=\widehat{D}$.

Os triângulos $[PMA]$ e $[PMB]$ têm: $\overline{MA}=\overline{MB}$; o ângulo em $M$ reto nos dois; o lado $[PM]$ comum.

Pelo critério LAL são iguais, logo $\overline{PA}=\overline{PB}$.

Seja $O$ o ponto de interseção das diagonais. Os triângulos $[AOB]$ e $[COD]$ têm $\overline{AB}=\overline{CD}$ e os ângulos adjacentes iguais (alternos internos, porque $AB\parallel CD$).

Pelo critério ALA são iguais, logo $\overline{OA}=\overline{OC}$ e $\overline{OB}=\overline{OD}$.

Os triângulos $[CDA]$ e $[CDB]$ têm $\overline{CA}=\overline{CB}$, o ângulo em $C$ dividido em dois iguais e o lado $[CD]$ comum: são iguais (LAL).

Logo $\overline{DA}=\overline{DB}$ e os ângulos em $D$ são iguais; como somam $180°$, cada um mede $90°$.

Seja $O$ o ponto de interseção das mediatrizes de $[AB]$ e $[BC]$ (não são paralelas, porque $AB$ e $BC$ não são paralelas).

$O$ está na mediatriz de $[AB]$: $\overline{OA}=\overline{OB}$. Está na mediatriz de $[BC]$: $\overline{OB}=\overline{OC}$. Logo $\overline{OA}=\overline{OC}$: $O$ está também na mediatriz de $[AC]$.

Seja $[ABC]$ retângulo em $C$ e $M$ o ponto médio de $[AB]$. Completando o retângulo $[ACBD]$, as diagonais $[AB]$ e $[CD]$ são iguais e bissetam-se em $M$.

Logo $\overline{MC}=\frac{\overline{CD}}{2}=\frac{\overline{AB}}{2}$.

Os triângulos $[CMN]$ e $[CAB]$ têm o ângulo $C$ comum e $\frac{\overline{CM}}{\overline{CA}}=\frac{\overline{CN}}{\overline{CB}}=\frac{1}{2}$: são semelhantes (critério LAL), com razão $\frac{1}{2}$.

Logo $\overline{MN}=\frac{\overline{AB}}{2}$ e os ângulos $CMN$ e $CAB$ são iguais; como são ângulos correspondentes, $MN\parallel AB$.

Seja $O$ o ponto médio comum das diagonais. Os triângulos $[AOB]$ e $[COD]$ têm $\overline{OA}=\overline{OC}$, $\overline{OB}=\overline{OD}$ e os ângulos em $O$ verticalmente opostos: são iguais (LAL).

Logo os ângulos $OAB$ e $OCD$ são iguais; como são alternos internos, $AB\parallel CD$. Do mesmo modo, $AD\parallel BC$.

$[ABCD]$ é um paralelogramo.