Ficha nº5

Revisão: pontos notáveis, reta de Euler e lugares geométricos

10.º ano – Matemática A – Tema 3 (Geometria sintética no plano)

📝 15 exercícios, do mais fácil ao mais difícil

5 fáceis6 médios4 difíceis

Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução.

🟢 Nível fácil

1Fácil Associe cada ponto notável às retas que o definem: circuncentro, incentro, ortocentro, baricentro; mediatrizes, bissetrizes, alturas, medianas.

Resolução

Circuncentro – mediatrizes; incentro – bissetrizes; ortocentro – alturas; baricentro – medianas.

2Fácil Uma mediana de um triângulo mede $15$ cm. A que distância do vértice correspondente está o baricentro?

Resolução

O baricentro divide cada mediana na razão $2 : 1$ a partir do vértice: $\frac{2}{3} \times 15 = 10$ cm.

3Fácil Num triângulo retângulo com hipotenusa de $13$ cm, qual é o raio da circunferência circunscrita?

Resolução

O circuncentro é o ponto médio da hipotenusa: $R = 6,5$ cm.

4Fácil O raio da circunferência circunscrita a um triângulo é $9$ cm. Qual é o raio da circunferência dos nove pontos?

Resolução

Metade: $4,5$ cm.

5Fácil Num triângulo, a reta de Euler contém $O$ , $G$ e $H$ com $\overline{O G} = 2$ cm. Calcule $\overline{G H}$ e $\overline{O H}$ .

Resolução

$\overline{G H} = 2 \overline{O G} = 4$ cm; $\overline{O H} = 6$ cm.

🟠 Nível médio

6Médio Determine o baricentro do triângulo de vértices $A (0, 0)$ , $B (6, 0)$ e $C (3, 9)$ .

Resolução

$G = (\frac{0 + 6 + 3}{3}, \frac{0 + 0 + 9}{3}) = (3, 3)$ .

7Médio Determine o circuncentro e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices $A (0, 0)$ , $B (8, 0)$ e $C (0, 6)$ .

Resolução

O triângulo é retângulo em $A$ , logo o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa $[B C]$ : $(4, 3)$ .

Raio: $\frac{\overline{B C}}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .

8Médio Para o triângulo do exercício anterior, determine o raio da circunferência inscrita, sabendo que área $=$ raio inscrito $\times$ semiperímetro.

Resolução

Área: $\frac{8 \times 6}{2} = 24$ . Semiperímetro: $\frac{8 + 6 + 10}{2} = 12$ . $r = \frac{24}{12} = 2$ .

9Médio Num triângulo, o baricentro é $G (2, 1)$ e o circuncentro é $O (5, 4)$ . Determine o ortocentro $H$ , sabendo que $\vec{O H} = 3 \vec{O G}$ .

Resolução

$\vec{O G} = (- 3, - 3)$ , logo $\vec{O H} = (- 9, - 9)$ e $H = (5 - 9, 4 - 9) = (- 4, - 5)$ .

10Médio Os pontos $A$ e $B$ distam $10$ cm. Quantos pontos estão a $13$ cm de $A$ e de $B$ ? A que distância estão do ponto médio de $[A B]$ ?

Resolução

Estão na mediatriz e na circunferência de centro $A$ e raio $13$ : há $2$ pontos.

Distância ao ponto médio: $\sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$ cm.

11Médio Explique por que razão, num triângulo obtusângulo, o circuncentro fica no exterior do triângulo.

Resolução

Se o ângulo em $C$ é obtuso, $C$ está no interior da circunferência de diâmetro $[A B]$ ; o centro da circunferência que passa em $A$ , $B$ e $C$ tem de ficar do lado de $A B$ oposto a $C$ , ou seja, fora do triângulo.

🔴 Nível difícil

12Difícil Num triângulo equilátero de lado $6$ , calcule a altura, a distância do baricentro a cada vértice e o raio da circunferência inscrita.

Resolução

Altura: $\sqrt{6^{2} - 3^{2}} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} \approx 5,20$ .

No triângulo equilátero, os pontos notáveis coincidem. Distância do baricentro ao vértice: $\frac{2}{3} \times 3 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \approx 3,46$ (é o raio da circunferência circunscrita).

Raio da circunferência inscrita: $\frac{1}{3} \times 3 \sqrt{3} = \sqrt{3} \approx 1,73$ .

13Difícil Considere o triângulo de vértices $A (0, 0)$ , $B (4, 0)$ e $C (1, 3)$ . Determine o ortocentro $H$ , usando as alturas relativas a $C$ e a $A$ .

Resolução

Altura por $C$ (perpendicular a $A B$ , que é horizontal): $x = 1$ .

$\vec{B C} = (- 3, 3)$ ; altura por $A$ perpendicular a $B C$ : direção $(1, 1)$ , ou seja, $y = x$ .

$H = (1, 1)$ .

14Difícil Para o triângulo do exercício anterior, determine o baricentro $G$ e o circuncentro $O$ e verifique que $O$ , $G$ e $H$ estão alinhados.

Resolução

$G = (\frac{5}{3}, 1)$ . $O$ : mediatriz de $[A B]$ : $x = 2$ ; $O = (2, y)$ com $\overline{O A} = \overline{O C}$ : $4 + y^{2} = 1 + (y - 3)^{2} \Leftrightarrow 4 = 10 - 6 y \Leftrightarrow y = 1$ . $O = (2, 1)$ .

$O$ , $G$ e $H$ têm todos ordenada $1$ : estão na reta $y = 1$ . ✔ (E $\vec{O H} = (- 1, 0) = 3 \vec{O G} = 3 (- \frac{1}{3}, 0)$ .)

15Difícil Mostre que, num triângulo isósceles, a mediana relativa à base está contida na reta de Euler.

Resolução

Num triângulo isósceles, a mediana relativa à base é também altura, mediatriz da base e bissetriz (exercício da Ficha nº4). Por isso contém o baricentro, o ortocentro e o circuncentro.

Logo $O$ , $G$ e $H$ estão sobre essa mediana: ela está contida na reta de Euler (quando o triângulo não é equilátero).

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