Ficha nº5

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Revisão: geometria analítica no plano e no espaço

10.º ano – Matemática A – Tema 5 (Geometria analítica)

📝 15 exercícios, do mais fácil ao mais difícil

5 fáceis6 médios4 difíceis

Tenta resolver cada exercício antes de abrir a Resolução.

🟢 Nível fácil

1Fácil Calcule a distância entre os pontos $A (1, 2)$ e $B (4, 6)$ .

Resolução

$\overline{A B} = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

2Fácil Determine as coordenadas do ponto médio de $[A B]$ , com $A (- 2, 5)$ e $B (4, - 1)$ .

Resolução

$M = (\frac{- 2 + 4}{2}, \frac{5 - 1}{2}) = (1, 2)$ .

3Fácil Escreva a equação reduzida da reta de declive $- 2$ que passa no ponto $(0, 3)$ .

Resolução

$y = - 2 x + 3$ .

4Fácil Escreva a equação da circunferência de centro $C (2, - 1)$ e raio $3$ .

Resolução

$(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ .

5Fácil O ponto $P (3, 0, - 2)$ pertence a que plano coordenado? Justifique.

Resolução

A ordenada é $0$ , logo $P$ pertence ao plano $x O z$ (de equação $y = 0$ ).

🟠 Nível médio

6Médio Determine a equação reduzida da reta que passa em $A (1, 2)$ e $B (3, 8)$ .

Resolução

$m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ . $y - 2 = 3 (x - 1) \Leftrightarrow y = 3 x - 1$ .

7Médio Determine a equação reduzida da mediatriz de $[A B]$ , com $A (1, 1)$ e $B (5, 3)$ .

Resolução

Os pontos $P (x, y)$ da mediatriz verificam ${\overline{P A}}^{2} = {\overline{P B}}^{2}$ :

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = (x - 5)^{2} + (y - 3)^{2} \Leftrightarrow - 2 x - 2 y + 2 = - 10 x - 6 y + 34$

$\Leftrightarrow 4 y = - 8 x + 32 \Leftrightarrow y = - 2 x + 8$ .

8Médio Determine o centro e o raio da circunferência $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ .

Resolução

Completando os quadrados: $(x - 2)^{2} - 4 + (y + 3)^{2} - 9 - 12 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ .

Centro $(2, - 3)$ e raio $5$ .

9Médio Determine os pontos de interseção da circunferência $x^{2} + y^{2} = 25$ com a reta $y = x + 1$ .

Resolução

$x^{2} + (x + 1)^{2} = 25 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 x - 24 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \lor x = - 4$ .

$(3, 4)$ e $(- 4, - 3)$ .

10Médio Defina por uma condição a parte do círculo de centro na origem e raio $4$ que está no $2 . º$ quadrante (incluindo a fronteira).

Resolução

$x^{2} + y^{2} \leq 16 \land x \leq 0 \land y \geq 0$

11Médio Calcule a distância entre os pontos $A (1, 2, 3)$ e $B (3, - 1, 9)$ .

Resolução

$\sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + 6^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ .

🔴 Nível difícil

12Difícil Escreva a equação da superfície esférica de diâmetro $[A B]$ , com $A (1, 0, 2)$ e $B (3, 4, - 2)$ .

Resolução

Centro: ponto médio $(2, 2, 0)$ . $\overline{A B} = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6$ , logo raio $3$ .

$(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = 9$

13Difícil Considere o triângulo de vértices $A (0, 0)$ , $B (6, 0)$ e $C (2, 4)$ . Classifique-o quanto aos lados e calcule a área.

Resolução

$\overline{A B} = 6$ ; $\overline{A C} = \sqrt{20} \approx 4,47$ ; $\overline{B C} = \sqrt{32} \approx 5,66$ . Os três lados são diferentes: é escaleno.

Área: base $[A B]$ e altura $4$ (ordenada de $C$ ): $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ .

14Difícil Considere a região definida por $x \geq 0 \land y \geq 0 \land x + y \leq 4 \land y \leq 3$ . Identifique os vértices e calcule a área.

Resolução

Vértices: $(0, 0)$ , $(4, 0)$ , $(1, 3)$ e $(0, 3)$ (o ponto $(1, 3)$ é a interseção de $x + y = 4$ com $y = 3$ ). É um trapézio retângulo.

Área: $\frac{4 + 1}{2} \times 3 = 7,5$ .

15Difícil Determine o ponto do eixo $O y$ que está à mesma distância de $A (2, 1)$ e de $B (4, 5)$ .

Resolução

$P (0, y)$ : $4 + (y - 1)^{2} = 16 + (y - 5)^{2} \Leftrightarrow 4 - 2 y + 1 = 16 - 10 y + 25 \Leftrightarrow 8 y = 36 \Leftrightarrow y = 4,5$ .

$P (0; 4,5)$

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